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新法书证四色定理

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wzlm_!

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	无聊 2011-11-27 23:03

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发表于 2011-11-3 23:32 |只看该作者 |倒序浏览

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本帖最后由 wzlm_! 于 2011-11-4 00:25 编辑

      “一个好的数学证明应当像是一首诗，而这纯粹是一本电话簿！”

                                       ——对1976年机证四色定理的一则著名评论

- P1 p+ V, f2 @6 k; N! a3 ^! w

1 J" y9 Q3 X% p3 F/ {
, _! S: Q( Z: J9 j% h' k- ~                前言- v0 ~+ @0 |* F$ X9 R

! O& E" g* t4 |, u5 z! m  设球面的区域个数为n个,分别以A1、A2、A3、...、An标记，点O为这个球的球心O。显然，有多少个区域就用多少种颜色去染，一样能确保相邻区域不同色；但是这样做，四色问题就失去它的魅力，因为它的精彩在于是否仅用四种颜色可以达到区分区域的效果。而我们所要做的就是证明其可行性。
0 B2 e0 ?1 \' J1 ?
# z$ a1 Q3 N; s  D9 {6 }                                  分析
/ j% Q0 u5 f6 {% S! P- q- V6 |4 t) I6 f8 M
  一、域色射线、色射线、构面、可直接性构面和不可接性构面 7 K) D2 l7 _& Y0 s, M8 e
设点Bi(i=1,2,3,...,n)为区域Ai的一个点，并且以这个点为端点按下面的规定作出射线,：(1)一个区域只取一个点作为端点.（2）射线的颜色须与端点所在的区域同色.（3）平行于跟它颜色相同的已作射线（端点在另一个区域上）.(4)不平行于跟它颜色不相同的己作射线。这种捆绑了区域和颜色的射线被本人称为域色射线。* }- _: O* ?& X0 e# A7 R" ]% x
  根据上面的论述，域色射线有下面的性质：（1）任一条域色射线只能对应一个区域及对应一种颜色.(2) 相邻区域分别对应的域色射线不同色.(3) 不相邻的区域分别对应的域色射线可以同色或不同色.(4) 同色的域色射线互相平行.(5) 不同色的域色射线互相不平行.(6) 平行的域色射线分别对应的区域不相邻。* k/ L2 p6 I& x1 ^3 u
本人引入域色射线更为引出另一种射线－－色射线。! h( ?6 S' W: j+ b* m( a6 M! n8 C
根据域色射线的性质可以知道，同一种颜色的任两条域色射线是互相平行的。因此，在这个球的外面任取一个点O'，然后以这个点为端点，作出符合下面条件的射线：（1) 须平行于端点在球面上的域色射线.(2) 作出的射线的颜色须与它平行的域色射线同色。这样的射线被本人称为色射线，顾名思义，就是代表颜色的意思。8 \, D0 e) t' R0 m' S3 V9 b# A
根据色射线的作法和域色射线的性质，色射线有下面的性质：（1) (任一条域色射线能且只能与它同颜色的色射线平行.(2) 一种颜色能只能对应一条色射线.(3) 任两条色射线不能重叠在一起.(4).用来区分区域的颜色有多少种就有多少条色射线。
  S) T" ~7 t# F+ l, e7 C+ z! S  我们知道，角是由两条端点为同一点的射线构成的，同时这两条射线也把它们所在的每一个平面都分成两个扇面。本人把两条色射线构构成的角都称为这两条色射线的构角，把它们构成的扇面都称为这两条色射线的构面。
6 T. R) a7 v) U4 e4 N  两条色射线的构面时可以分为可直接性构面和不可直接性构面。若某两条色射线的两个互补构角对应的两个构面当中有一个不会被其它的构面分成若干部分，那么这两条色射线是可直接性构面，否则是不可直接性构面。
" O2 V; u9 y4 g# c9 j  不难证明，在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的。证明的思路：“在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”，这实质上等价于“在立体空间上，并不存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”.先画出4条色射线彼此间的直接性构面（参照本文配图），可以发现它们实际把立体空间分为四个部分，同时可以发现每个部分空间实际由三条色射线和三个直接性构面围成。因此，假设“在立体空间上，存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”，那么第5条色射线得在其中的一个空间里，但是可以发现总有一条色射线和它是不可直接性构面的，矛盾，故“在立体空间上，并不存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”。) t$ e  y$ \  `  n8 p
+ `3 M/ p2 n$ s3 g! ~8 s( V
  二、颜色替代法则、色射线相邻关系和色射线不相邻关系 ' `# E6 o* R3 ~5 z
区域间的颜色替代指的是用在确保任两个相邻区域不同色的情况下用一个区域的颜色去代替另外一个区域的颜色。代替的过程中需要遵守下面几条法则：
" j$ t0 Y& D! z9 w  法则一相邻区域不同色。
: e% b/ B. |' ]1 Y: L# H  推论一同一种颜色的一组区域彼此不相邻。
  ], Z2 E' O: q. D  推论二任一个区域的颜色都不能被邻域的颜色所替代。7 l( r5 G, x; a9 E5 T( U
  法则二若某个区域Ai及其邻域都和另一个区域Aj不同色，则区域Ai的颜色可以被区域Aj的颜色替代。
' f: H3 a  ]/ e0 X  推论三若染某一种颜色的所有区域符合法则二，则这种颜色能被其它颜色替代。3 j7 h7 H6 ~6 ]  f/ S, M
  推论四若两个区域能互相替代（交换）颜色，则这两个区域都必须同时符合法则二。
" d1 {0 L: y" L  法则三在区域间的颜色替代过程中，若某种颜色能被其它颜色替代时，则这种颜色必须被替代。/ f, C" c- d! X
  法则四根据前面的法则不断地减少颜色的种数，直至对于剩下的每一种颜色来说，无论区域间怎样颜色替代，始终都至少存在一个染这种颜色的区域不能被其它颜色替代为止，即意味着总有一个染这种颜色的区域的所有邻域必须用其它颜色去染，且每种颜色都得用到。4 k4 S# S! d6 ?# h, m! v
   上面几条法则统称为颜色替代法则。! k% R' b4 f" T

7 n' Y# E5 H" {2 x6 b+ I9 o 本人称法则四中不能被减少的颜色所对应的任两条色射线的关系为色射线相邻关系。可以知道，这几条色射线彼此间都是色射线相邻关系。显然，在这几条色射线彼此间都是色射线相邻关系基础上，多于这几条色射线不可能彼此间都是色射线相邻关系，因此不能建立色射线相邻关系的两条色射线的关系就是色射线不相邻关系。2 x4 D& E  F' E" h
  两条色射线的色射线相邻关系体现在它们可直接性构面上，而其色射线不相邻关系则体现在它们不可直接性构面上。
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2 m  t* w. b" f. y! A7 u3 R                      证明
7 A, Y) T9 {8 n4 M+ b1 x: s" v+ o  证明：假设命题不成立，故则需颜色多于4种,因此，对应的色射线必定多于4条，因此至少有5条色射线彼此间是色射线相邻关系，可是在立体空间上并不存在5条或5条以上色射线是彼此间是可直接性构面的，矛盾，故命题成立。
/ R0 P1 P+ U$ d1 `/ b  证毕。
( O( K! R: m2 C2 H+ V% r4 v- l  r( N+ M" u" R

( g3 g2 O, E- ^+ G9 d
3 X/ F1 _1 S+ S6 H                                                                  2011-10-03 写于广东潮州

zan