数学建模基础和竞赛指南

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发表于 2004-10-5 18:40 |只看该作者 |倒序浏览

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数学建模基础和竞赛指南

Ⅰ、什么是数学模型与数学建模

　　简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 # B' u/ P! A g/ x. F具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。7 Q3 ^/ r4 y* b- x* ` 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 - @& i% R& O6 ~% v4 Z( k　　数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

Ⅱ、美国大学生数学建模竞赛的由来：

　　1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The William Lowell Putnam mathematical Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。" D$ y6 A( N$ a8 B2 Y9 ~ 　　我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。 . x M1 @' ? H& [4 `. D　　数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。

Ⅲ、数学建模方法：

一、机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。 1 _( T" d& {6 P% _, x1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。9 ~8 l5 Q7 A' K; D3 @ n9 P 2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 0 @+ a& O' M) u/ ^* @1 N7 Q3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 8 f: t1 G# F2 b9 p; K$ @) A1 ? 4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 ; t6 A, ^3 A1 V 5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 + m+ E# | ~1 x9 L2 X7 i2 I Y 二、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。 , d$ T; R9 ?+ x, X% g0 R1. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi, fi）i=1,2… n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 : ^) z# U+ R7 ?2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 " d! @& a2 X" l; g% D. Y6 [3. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi, fi）i=1,2…n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。6 c K" s c2 @. _% \/ L- }; t5 C 4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。3 p9 F4 o7 ~' k8 E3 Q# ~6 U 三、仿真和其他方法 5 f8 S8 W/ `$ [1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。① 离散系统仿真--有一组状态变量。 ② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。 ) R# I9 Q( b, p, V' `# E2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 ' h; @' x1 L* G q3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 V4 j( K0 G2 T# o8 J3 B（参见：齐欢《数学模型方法》，华中理工大学出版社，1996）

Ⅳ、题型：

赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 9 u3 e8 j4 ~) v. x& _一、实际问题背景 1. 涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2. 一般都有一个比较确切的现实问题。 9 E5 R! a( H" [8 r/ s% N) } 二、若干假设条件有如下几种情况： 1. 只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形； 4. 蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。 & n1 Z/ O K" ?! ?* E三、要求回答的问题往往有几个问题（一般不是唯一答案）: 1. 比较确定性的答案（基本答案）； 2. 更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。

Ⅴ、竞赛答卷: & W1 K& m0 l) [9 \. E+ h( \ 提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：

一、标题、摘要部分：& d5 ? ^8 {7 ~" Y5 X! l9 [; b 1．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。 % c6 E' k( A2 Y9 u2．摘要--200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。/ l# o8 M0 M$ p3 S+ h! ?8 Q 3．内容较多时最好有个目录。2 r: o, B/ o& z# z; \ 二、中心部分：6 p; t/ c, c- I/ I 1．问题提出，问题分析。 , g7 y S9 L! `3 @. c2．模型建立： " ]3 \6 m* _# a. g$ m4 \- [ ①补充假设条件，明确概念，引进参数； 1 m- n1 R7 ^3 N$ y' r2 O②模型形式（可有多个形式的模型）； 2 {2 O( F, T, {0 ?' F③模型求解； 8 r, `" H3 S9 |: Q5 K0 N& A$ x; l' o④模型性质； * ^3 m5 P, e- C1 v9 ?3．计算方法设计和计算机实现。 + q& k; H5 y4 F( k7 ] 4．结果分析与检验。 $ Q& U+ N/ l. n& H& a: \ 5．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。 ' ?9 Q1 i7 c. g4 O, Q" R6．参考文献--注意格式。) C# Q9 w$ G! t; ^- P, G6 { 三、附录部分： , O- U# f, u' M9 d8 [0 \* W1．计算程序，框图。: H8 Z# w- E6 l# b8 y' r5 H) D 2．各种求解演算过程，计算中间结果。! ?8 P) [: M H7 X O 3．各种图形、表格。

Ⅵ、竞赛题汇集：

中国大学生建模竞赛题目汇集 ' y2 H$ v r8 E _; d" {年份题号题名参考文献 ( s" y& J; c$ @4 o E 1992 A 施肥效果分析 [1],1993年第3期 B 实验数据分析　 s9 ]; Z# h/ A8 m+ {- } 1993 A 非线性交调的频率设计 [1],1994年第2期 B 足球队排名次　 ) A. Z# e! N. d+ N. A 1994 A 逢山开路 [2],28-55. B 锁具装箱　 / U& x+ j& m$ [; i; S) V 1995 A 一个飞行管理问题 [1],1996年第1期 B 天车与冶炼炉的作业调度 [2],55-93. % ^1 q) O7 ^ r. ] 1996 A 最优捕鱼策略 [1],1997年第1期 B 节水洗衣机 [2],93-124. 6 _- R- n) D7 T* u/ a 1997 A 零件的参数设计 [1],1998年第1期 B 截断切割 [2],124-162. 4 {8 f5 }# a" f& K# r0 ^( R$ d) d 1998 A 投资的收益与风险 [1],1999年第1期 B 灾情巡视路线工科数学,2001年,17(1),71-77 9 h+ ]( ?: _' T5 G1999 A 自动化车床管理 [1],2000年第1期 B 钻井布局　 C 煤矸石堆积　 D 钻井布局 (注:比B稍易) 　 ) o# G4 S: A. ^6 j- H 2000 A DNA序列分类 [1],2001年第1期 B 钢管订购和运输　C 飞越北极 D 空洞探测 3 y4 @ m, e, T$ p0 w( H2 [* R6 ` c 2001 A 血管的三维重建 B公交车调度 C基金使用计划 D 公交车调度 0 o+ A7 n3 `$ S9 S0 k E2002 A 车灯光源的优化设计 B 彩票中的数学 C 车灯光源的计算D赛程安排, p9 h+ o4 y4 ~/ w 2003 A SARS的传播 B露天矿生产的车辆安排C SARS的传播 D抢渡长江 & b: {, `& p/ e. z( ?注：C、D题是大专组赛题 * i6 r! e. G- q# @0 n参考文献： [1]《数学的实践与认识》,（季刊）,中国数学会编辑出版. ; t- l% {& \" l[2]中国大学生数学建模竞赛,李大潜主编（1998）. ) k0 n9 A1 |: Y9 t9 ^( Y1 l [3]数学建模教育与国际数学建模竞赛--工科数学专辑(1994年). # s, a v |, `: Y, W7 o/ y0 S[1],[2],[3]均有赛题题目全文和优秀论文选.

Ⅶ、推荐资料：

----国际数学和计算机建模协会，International Association for Mathematical and Computer Modelling Home Page。 5 }0 U2 ?; N+ H: g----应用数学建模，Applied Mathematical Modelling (Elsevier)。 3 G- Y0 L- l7 V, B& e----应用数学和计算，Applied Mathematics and Computation。 ; r( e Q. o4 }. N" Z( D# P----欧洲应用数学杂志，European Journal of Applied Mathematics (Cambridge)。% n( d: o# X9 p' R2 d& k ----IMA 应用数学杂志，The IMA Journal of Applied Mathematics (Oxford)。 8 Z2 u' c; h1 G& [' O----SIMA的应用数学杂志，SIAM Journal on Applied Mathematics。 6 W: g( P6 g( s* K ----数学建模和数值分析杂志，Journal Mathematical Modelling and Numerical Analysis-Rairo。 ! {+ ?; y3 U; F. d* C----数学建模和分析杂志，Journal of mathematical modelling and analysis。7 y3 f# l! u5 p. P# N/ z# n m ----美国工业和应用数学会评论，SIAM Review 。