序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：

' ]3 y4 |, i9 P. C9 O% S% n0 R偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
" h8 r% M* @% k/ e) U- |% X2 q! Y( t理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
) j% G6 a% G) J. t' {
I是下闭的。
I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

8 P* \1 t6 A  k4 K理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
- x; O+ I5 b. N5 F. _5 ]真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
, Y8 X9 R7 ~) ]2 Z' ?5 |4 m

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滤子的最一般定义是：

3 _4 m- t* I& `4 O9 `% z偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
* h4 A# Z) D+ _% ]0 I8 V" X6 m
; P" [8 `2 B' }% E4 j8 Q! k∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
6 p0 v3 I! S- N! W% [滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。

6 |( T+ ^% A0 ?- E
) n$ f% H" Q: ^& E5 n' p滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
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孤寂冷逍遥