序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：

* M2 w! u6 i; iI是下闭的。
$ S: W, n0 ]; S) T" Z. cI对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

! U! z' M# g) S0 X% |) ]3 O' f理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
0 y  J% J+ w& P! J( D7 ]真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
: q* @+ z5 P8 e包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

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滤子的最一般定义是：
% {8 }& A/ |' ?
" {' B3 }* ~) l6 r! t7 B偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
* L. }$ _7 ]; V$ b9 `" O
∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
$ v4 n  M# W5 w: Z滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。


滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
. S$ `( U% Z! i真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
* q2 [& D$ W3 ~1 G( Z) v: c

孤寂冷逍遥