序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
2 V2 L3 a9 p* G( Q/ f理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
+ I- V  }1 R0 S5 G6 k1 c
9 @0 h/ t$ @) R. SI是下闭的。
4 l; e& K. I$ ~  v0 N! S  TI对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。
' T3 _9 e: o4 ?* v% |) B
理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
3 X$ P3 x; l9 X3 {) f  t8 t9 F- |真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
) w0 @4 l* Q* U& @5 Z2 {* U

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滤子的最一般定义是：

: g  {; F/ q. F8 p7 ], m7 O偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
' e0 [; W5 j, \1 F. Z
∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
' u7 `6 s- _( E) W5 ~5 }

. A/ n% f7 E/ S9 z  p  [' S8 g滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
4 f$ R$ R3 a. I& f. V: }3 e* Q' Q2 l8 O

孤寂冷逍遥