[笔记分享交流]关于模拟退火法的基础概念及模型思路

ZMIA

/ L! T, d( W, R) P
1 N; k; C6 o& w. {/ _  本人代码废负责建模，最近读了论文深感有必要了解一下各种算法的建模思路及基本方法论和应用范围。
  因此以下笔记不涉及具体代码，只包括最基本的概念及思路。
  笔记中摘抄了网上资料的私以为有用的片段，并根据本人的理解进行整合。如果有理解不到位的地方欢迎补充及交流。~
2 v- r( p- a# e2 e3 q: @6 [6 P$ V  以下正文：
  模拟退火法（ Simulate Anneal Arithmetic，SAA）
/ H3 Y* G& B! `8 ^) j7 n% \/ o1.What:
. J9 l- R2 `; \9 ?6 N      是一种通用概率演算法，
2.Use:
      用于在一个大的空间内搜寻命题的最优解。
      开始用来解决TSP问题（Travelling Salesman Problem)。即，单一旅行者由起点出发经过所有给定需求点，最后回到出发点的最小路径成本问题，是最基本的路径规划问题。
3.模型(How?):
7 x5 U& J+ O/ W- F9 p      算法可以分解为三个部分：①解空间:将所求写成多元向量形式，该向量可能的全部值
                                             ②目标函数：使当目标函数取到最大值或最小值时代表目标达成，从而能够获得最优解
1 z' j3 o: p: x- R  a7 C                                             ③初始解：初始设定的值，理论上与结果无关。但一般要多次调试。
' E5 |7 }! N5 }3 \( J  基本思想：
9 S) w3 O4 @) u( ?/ r5 ^! p      ①初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S。
, z6 Y, B/ \  X* ?( V6 F* C5 w1 Z      ②由一个产生函数(要求该函数由一个S可得到不同S'，且简单)产生一个新解S'
8 ]: w. \0 F. o6 y: G% y      ③由评价函数C(S)计算增量△t'=C（S'）-C(S)
      ④判断：if △t'<0且T>=0，则S=S’
; G) Q7 c* S8 [5 j! ~! O2 }                   if △t'>0且T>=0，则以概率exp（△t' /T）接受S'作为新的当前解
      ⑤终止循环判断：if 满足终止条件，则结束循环。终止条件一般为：连续若干新解未被接受
6 M& A8 A% K% P5 w4.性质：
, h+ W9 L6 Q1 Q) m      模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
* R* n& Z1 V0 f5 y& M6 t9 |: j5.解决TSP的思路及伪代码：
1 \3 j, N% j/ f( k) ^5 s3 z  （1）思路：
1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温
3. 重复步骤1，2直到满足退出条件
5 K' x) U+ M# q' {; W0 K8 n) R  p. R0 m　　产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：
1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。
" y3 @; ~. v8 i2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
7 {9 X# \+ m3 S3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。
; m. D7 r4 Q0 I, ?
. D& w0 S% ^" H4 X  N（2）伪代码：
) H1 o5 C4 S$ `8 mProcedure TSPSA:
begin
init-of-T; { T为初始温度}
S={1，……，n}; {S为初始值}
termination=false;
while termination=false
begin
  l* I; ?9 g% f+ z& v# H' W1 t6 u5 V: Xfor i=1 to L do
begin
) b! e# `$ H. g5 G/ P3 J4 n: D: Wgenerate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
7 l5 f* `. y( ]0 NS=S′;
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
6 o% ?, }8 B7 x8 u+ ^% etermination=true;
End;
T_lower;
End;
End
6.应用：
' ~" W! K6 D5 @6 q. }+ k3 m! `  求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)
% D% K" v$ j. N9 [; ~7.重要变量及其选择标准：
（1）初始温度T：T大，则的得到最优解几率大，但计算时间慢。因此需要根据结果多次调试。
（2）产生函数的选取？评价函数的选取？
# e( `/ D. l4 O3 ~          评价函数就是目标函数吗？
: c* F1 o4 A0 a0 M/ Y. ]8.进一步陈述，评价：
    模拟退火法是对贪心法的改进。贪心法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解，但是这样不一定能找到全局最优解。
  而模拟退火法是以一定的概率接受非当前最优解。
6 e3 r8 G* x* _2 t) ~  模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。
, Q5 u8 q4 ~- @1 O3 J* i
8 Q5 H1 l$ L; t: q# _

chenxiaohao

这个我上网也都看到了，请问其中那个‘一定的概率找到最优解’是怎么理解的，那也有可能找到的还不如之前的最优解呢，这个一定的概率的核心是什么？

lingxin179

理论有点复杂呢，看案例理解比较好

数学数学345

能看。。。。。。。。
$ D1 l1 B3 l% a3 d" J$ s$ {6 |