不能错过的数学建模过程

洛桑曲旦

转自：浅谈数学建模过程

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1.建立数学模型过程中几种不同的情况

建立数学模型的过程大致要处理如下几种不同的情况：

第一类是问题的条件尚不完全明确，有待于在建模过程中通过假设来逐渐明确化。这一类问题比较典型，并且在数学建模过程中经常遇到。

第二类问题是指通过对实际问题的分析可以得到完全确定的情况，而且也有其特定的答案。处理这一问题主要在于对问题的条件给出恰当的分析，从而得到所需的模型，利用数学的知识和方法就可得出结论来。这一类问题在建模过程上与第一类问题稍有不同，比较明确和确定。

第三类问题所涉及的情形比第一类要复杂，特别是在问题中需要考虑一些随机因素时就更是如此，需要借助计算机来处理。

关于这一类问题不妨用如下两个例子来说明：

例1.某城市建了一个超级市场，在进行内部装修设计时要考虑设置几个出口比较合理。出口设少了，将来会使顾客在出口处排队等待付款而无法解决；出口设置太多可能会使服务效率降低并且会浪费商场的营业时间。尽管商场的地理位置.规模.经营的商品可以认为是确定的，但顾客的到来.顾客购买的商品的种类和数量，因而顾客在出口处接受服务的时间都是随机的。这个问题必须解决于市场开业之前，无法通过对各种方案进行比较试验来作出决策。于是可以使用数学和统计学构造一个超级市场出口处的模型。资料可以来自类似商场的调查结果。这个模型就可以用来模拟实际将要建设的该超级市场出口处的排队的状态。这个模型可以写成计算机程序，由计算机来运行它。考虑到模型中的随机因素，在计算机上反复运行这个模型就可以得到顾客排队的平均队长.顾客在出口处的平均逗留时间.服务员的平均工作效率等结论。针对出口处的不同的个数.出口处不同的服务方式反复运行这个模型，就可以得出在不同出口设置的方案下顾客的排队情况和服务效率的结论。比较这些结论就可以作为对出口处设置方案作决策的重要依据。

例2.一个城市的天然气管道干线的铺设是城市建设的基础工程。如何设计管道干线的网络，既保证整个城市对天然气的需求又不会造成浪费，是工程设计中的一大课题。

设计中了解整个城市及将来的发展对天然气的总需求是非常必要的。但还需要掌握天然气的物理性质以及它在很长的复杂的网络管道中流动的规律。一般，天然气在不同口径和长短的管道中流动的规律，根据物理学的知识，可以用微分方程来刻画。但对于一个庞大的复杂的网络管道系统将会得到一个庞大的微分方程组，作为天然气在管道中流动的状况。在不同的管道网络条件下运行这个模型就可以模拟实际的管道网络系统。通过不同管道设计方案的模拟效果的比较就可以得到一个最优的方案。当然再考虑到需求的情况，特别是需求过程中季节性的或者逐日的波动。在同一设计方案下针对不同的需求情况多次模拟的结果就可以给出一个比较可信的预报结果，从而为管道干线铺设的设计工作提供重要的思考。

上面的例子表明，数学建模有时还要处理一些比较复杂的实际问题。这时仅仅使用数学的知识和手段就比较困难了。对于这一类问题，可以把模型翻译成计算机程序，使用计算机程序运行这一模型，这就是通常所说的“模拟”或“仿真”。虽然对于这一类模型难于通过理论的分析得出更深入的结果，但它不失为处理较复杂的实际问题的一个有效的手段。

当然从数学建模的角度出发，这三类模型并不是明显不同，截然分开的。建模的过程是类似的，分析的方法有时也是相通的，只是根据不同的实际情况彼此之间有所不同的侧重。

2.数学建模过程

数学建模涉及的范围相当宽，无论是在实际问题方面还是在数学的领域。尽管这些问题之间无论在内容还是方法上千差万别，它们之间有一点是共同的，那就是他们都是针对实际问题，通过辩识问题中变量之间的关系而把实际问题转化为由数学语言描述的形式。与数学方法的使用相比，这个过程是建模工作的一个明显特征。这是数学建模工作中的一种有效的处理问题的方式。每当面对新的实际问题需要用数学的手段来处理时，这一程序化的处理方式将提供一条有效地组建数学模型的途径。

数学建模的过程一般包含有若干个有着明显区别的处理阶段：

（1）对于面临的实际问题，首先需要明确研究的对象和研究的目的。问题所依据的事实和数据资料的来源是什么，他们是否真实，以及与问题有关的背景知识。需要明确所研究问题的类型是确定型的还是随机的。

（2）辩识并列出与问题有关的因素，通过假设把所研究的问题进行简化，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素。通常在建模之初总是把问题尽量简化，在最简单的情形下组建模型以降低建模工作的难度。然后通过不断的调整假设使模型尽可能地接近实际。

（3）运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系。通常它可以用数学表达式来描述，如：比例关系.线性或非线性关系.经验关系.输入输出原理.平衡原理.牛顿运动定律.微分或差分方程.矩阵.概率.统计分布等。从而得到所研究问题的数学模型。

（4）使用观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的参数给出估计值。

（5）运行所得到的模型.解释模型的结果或把模型的运行结果与实际观测进行比较。如果模型结果的解释与实际状况相合或结果与实际观测基本一致，这表明模型经检验是符合实际问题的，可以将它用于对实际问题进行进一步的分析讨论。如果模型的结果很难与实际相合或与实际观测差异较大，表明这个模型与所研究的实际问题是不符合的，不能直接将它应用于所研究的实际问题。这时如果数学模型的组建过程没有问题的话，就需要返回到建模前关于问题的假设，检查我们关于问题所作的假设是否恰当，检查是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。对假设给出必要的修正，重复前面的建模过程，直到组建出经经验是符合实际问题的建模为止。

将一个数学模型应用于实际问题时主要是通过对模型作进一步的分析和讨论得到的，使用代数的分析的或数值的方法给出模型的解。从理论上讨论解的性质，必要时也可以写出计算程序或者使用恰当的软件包由计算机进行模拟。把数学上和计算机运算所得到的结果再回到实际问题中去，用以对实际问题给出解释，解决实际问题或加深我们对问题的认识，从而达到使用数学模型研究实际问题的目的。

“胡说”心得：

数学模型和通常我们所见到的数学问题是不同的。数学问题的叙述是严谨的，明确的，通常它的答案是唯一的；而数学模型所描述的实际问题有时并不十分明确，而描述这个问题的模型和答案通常不是唯一的。对于同一个现象可以有不同的模型来描述它，从而会得到不同的答案。一般来说数学问题的假设是逻辑推理过程中的自然需要或是研究范围的一个严格的届定；但对数学模型来说，假设则是建模者在建模过程中用来明确和简化实际问题的一个主要的手段，操作起来要灵活得多并且有较高的技巧。数学问题的分析求解过程有赖于严格的逻辑推理和恰当的数学工具和技巧的使用；而数学模型的建立则更多地依赖于对实际问题的理解以及一定的创造性的想象力把有关的变量按照实际问题内在的联系组合在一起。

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洛桑曲旦

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