|
【经典悖论漫游(上)】
' O8 w7 o4 ^0 |2 R+ Z; {9 i) s古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。: }; {: }: E$ e* `: o
C4 F4 y% f; P- [! C9 M本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它归纳为六种类型,分上、中、下三个部份。这是第一部份:由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论. K$ D6 |+ E; k! t+ L
. o4 t0 x/ W) k5 {. G7 r2 Q( L
(一)由自指引发的悖论
3 A9 |* P X3 f- `5 j1 X% N- Z, t4 m* I
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手,就会得到它的否定命题;如果从否定命题入手,就会得到它的肯定命题。6 e# T( _5 Y! }, b9 T
! B. K; r# F0 D+ U" h1-1 谎言者悖论
( K9 g, ?1 d, T$ s8 Y1 e* y
& G/ {. u0 `, D s- `公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
9 Y, K* k" t, ?' Y1 g- O6 n" I《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
# ~) t1 d* D$ h9 U; W# N8 `6 z* H
, b$ D. k7 J6 [1 D人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:) a# x% L( \; ]# h) g" } X+ K
2 V$ Z+ m" S5 I
1-2 “我在说谎”, `" D; X- f! b6 n9 E1 J
) o! d6 H/ i5 E2 i7 X9 p O
如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:. V; V! r1 |0 b; R' Y M7 |
' L& B" v% P. L2 r& q/ j1-3 “这句话是错的”
' C7 V6 }: d6 M
) ?( V# M6 B) t1 ^8 q4 I) x; ]+ r这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。
3 m. E: P' j8 e
: S! B, W( y5 `% d% B( U) v哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”) E7 A( P" S8 w$ S
( q( x% s, u2 r; i他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上)
) B- S5 ?6 t$ A' ^1 g+ h
7 R" J. q: \# w& f罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上)/ p7 a0 a4 }" l& X9 X5 Z4 L, H
8 m' o+ G% k0 F. ^3 Z4 e+ g
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
2 T5 x3 L& W1 Z! H1 J
, W2 @% F0 Z0 X' Q1 w3 w接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单。0 W! ^' }5 S8 D3 }8 J& ^
* _# u& @9 I+ B6 R
1-4 理发师悖论
7 A3 o1 \3 a% l- {
, W P- G: }" ^3 v# {$ t2 N5 \在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。% T/ m7 h. O% \+ P" M3 M
7 ~6 T. S$ u& \0 a' u这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。1 B) H p" H! _2 y0 H
1 |- T e4 @3 H. s因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
1 [/ q7 ]' {$ U/ l9 L2 L0 \3 G/ A. k; ?( W1 N
1-5 集合论悖论
7 Z+ Y. c% S8 d/ Q+ b. z2 T5 ?
0 X! x$ W) u5 [! S9 s" i( E“R是所有不包含自身的集合的集合。”, i- e& W( g! E3 q3 k
, s1 e& p/ l* x5 U+ x! N7 ^人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。
$ N: k* y+ }: Z, s0 ?, n/ ~ b9 ~, \" R. e0 U1 ]8 {1 K$ o
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
. I0 q& O' E# t4 [2 d; N
/ Y. z4 j4 y8 ]1-6 书目悖论5 n0 w( ~) {' [' V
* u; f. y3 R$ V: }! d6 Y* W+ S4 R
一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?: ^: L4 I, |( u
$ B/ e6 R( b9 _& ^1 U- c这个悖论与理发师悖论基本一致。
4 D+ ]9 T+ Q2 |6 x9 o, r$ T" p5 F0 N( `4 [5 u0 }9 A( j
1-7 苏格拉底悖论
9 l& ~- n9 M; M3 ?2 |6 `1 n
, V2 i- ]) w' j# u1 v/ D% A有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。
6 e2 X: a/ X' h' j% y( H n8 n! Y
苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”+ c2 K' k7 ^3 a
+ W6 u. n2 y2 G+ ~
这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:
& q* x: X7 E0 q) }5 {, ~
# n4 D; S6 V) M: j# |" }5 c% |2 D1-7 “言尽悖”
* u" U9 E3 L2 j- w( _
$ V; a6 X# Y$ N" E, ^' G& d这是《庄子.齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄子的这个言难道就不悖吗?我们常说:7 ~% T! n2 F' s/ W% d3 m' b) s
9 R& z/ h9 A& U/ t, \" |7 U p1-7 “世界上没有绝对的真理”
0 R& x' l! A+ N+ X6 Z {
8 Q# R$ u1 p/ K! U9 ^我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
! }$ ?+ A1 q q( f2 C, e
/ G" z+ O2 x0 X: x% H0 H' l) I1 G1-8 “荒谬的真实”
1 Q0 X4 J& d- F4 r& L) V1 C7 ~0 O# Y) K1 {) p9 m4 w
有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。
5 \: G& G# g1 W( H/ n1 S
$ k% U& O- c( Y5 d7 _这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。2 Y, \7 ~8 M( ~- Z
; `0 k( P7 t) s, `+ x
(二)引进无限带来的悖论
% a& z5 u7 V% F/ e. r: ^, r; M/ A! W: O# ^ F2 K
《墨子.经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。”如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。
0 b. r% N G& j* o- K/ ^
1 |- @+ v5 v1 O1 a2-1 阿基里斯悖论
, E, u2 S! Z. o% [+ A2 G. f- J. V2 Z' B9 } ^: F
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea),曾经提出过一些著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个。
7 ]5 \, w. v; p) Y. I! q _ t: C1 F. _; C8 K
阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。* @9 Q' V9 e; i" x, O8 S4 x
8 \8 g9 A6 \% y5 {: |. a3 W+ E方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟。1 ~/ N2 V8 b/ q: u4 R
. ?# U4 ?) z% S, E1 o
但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T’。对于任何T’,可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T’无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。4 Q ~$ ^9 }% K |. o# z2 U
* N$ B7 ?) Z, `1 a/ z6 W2-2 二分法悖论, | Y" b% [- }/ k) b0 ^
& T' Y9 F7 W r& x" \# L# f* o这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。7 L- R5 O2 N7 O! m$ h. G" }1 w
' {9 U6 \1 G2 d9 r这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。- V8 M3 {. b! \: R$ q5 Z7 ?( z; K
5 w! o; \8 z* r( m" O4 W$ g! W4 |
芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。) Z# T2 K/ Y/ F
- o/ Z/ b& r* J% O" e0 o5 f
他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:& ~! o9 {2 S. c1 t ~3 t( c
6 S' {( e* p, a& O) R
2-3 “飞矢不动”
8 s& @' ^. i# [. W d. D) h j$ k. N7 T
在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:6 ^ L. r, |, U+ [7 u
3 A9 j' M: ?) H; ]
2-4 “飞鸟之景,未尝动也”
" e0 e1 L- ]3 E
6 G' l9 K1 R. G; J8 c; J4 g这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。% D, F- D6 o A( {6 c
( X3 B# f% I6 v% ]! J Z( w5 F德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾。
* `+ N; Z5 K+ P9 F( }
' y4 _- ]& x3 ^" j1 G0 j* i尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。
' f b( J9 ^! A. O# h) O' L9 C$ l( n. ]# [- H* ]+ A U; F
换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析:
9 J* z9 v) u0 A
2 c" W Y9 S o/ s+ a假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念!2 q( A) _1 w; B* e0 F& d
1 x+ X7 V+ n3 R0 F' \9 u假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点!* z; ?% T% u' q# f$ I
8 Q$ l' E, S- z' Q' H# Z假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念!( X7 \) o/ ?7 T* R7 R! p7 k( X, b
& u# _+ l) ^4 _! D$ x尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果有绝对的多样性,就不会有统一性。
8 L7 Q( T/ s2 B" w: f1 J- N/ w' e* E$ | H- F
事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分,但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初,法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解释。
7 y# I- \1 G/ y( Y$ h' b* \
/ z7 H% p( y& X: P可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。
l2 i0 I; p: n ] n
3 v4 a! w1 K5 D: m$ V; l0 V, |2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭”! o% S' `) T1 w4 B% V; Y/ s5 f
' S! Z0 i0 R+ @, t) _+ V( T3 }, J这是《庄子.天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。0 ?: K/ h) @7 C: _
- U2 i% q8 [: h
战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。
' w. r0 D& R. i0 q# V/ k4 S& q% p2 T# A, Q2 U2 D
惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
2 V! S8 w" F- j- ?
- G2 G5 {4 O$ `6 |毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。”
/ ]8 F3 A ?% N' _" K2 u5 |% v$ {( ]2 Y6 w. o T+ s
有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九六四年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。2 r1 B6 r8 F* c7 K
2 \% B/ D) s; @6 G1 k2-6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
5 H B. A% P6 C" ?$ d! q' ?1 Y8 m" @1 e! O
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。
1 } ~6 } v" c# V7 A* U3 D1 {" j& O- k+ V3 @" `
然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”, o5 }0 z! ~* m& k$ x: G
8 b! w( L8 S0 T6 |" t9 {同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学家们进行了不懈地探讨。# A) m# f7 v' N8 Z
& `5 L! U( s" q0 `
例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引
% P d x4 S; q X2 C8 C, ?/ ?2 R起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。 |