[转帖]笛卡儿

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笛卡儿（René Descartes，1596～1650），法国数学家、物理学家、哲学家和生理学家。出身于一个贵族家庭。 ! g! \# K6 _8 i8 o( G ; A6 U& `( N6 f2 S e. E幼年丧母，父亲是一位律师和法官。早年就读于拉弗莱什公学。1612年去普瓦捷大学攻读法学，20岁获博士学位。从1618年起多次从军，军旅和漫游生活达10年之久。1628年秋移居荷兰，开始了长达20年的研究和写作生涯。1649年应邀到瑞典为女皇克里斯蒂娜讲授哲学，1650年2月因病在斯德哥尔摩逝世。 0 E4 @2 J |" c# Q6 p 笛卡儿是17世纪一流的科学家和哲学家。他的数学著作有《几何学》（1637）；物理学著作有《论光》（1633）、《折光》（1637）；生理学著作有《论人》（1633）；哲学著作有《方法论》（1637）、《形而上学的沉思》（1640）和《哲学原理》（1644）等。 0 Y$ K" E. Z1 I- } ) w% S) l' v+ b " r3 @* J/ K; D6 c1 E# k; @; \) |创立解析几何学 ) _- B( o; G3 z0 m6 n * X1 u( ~" V6 T g 欧洲文艺复兴以后，16世纪至17世纪科学思想和科学方法正处在一个变革时期。笛卡儿在自然科学研究中，敏锐地看到推行数学方法的必要性。他深信数学方法是一种知识工具，而且比任何其他知识工具更为有力，人们可以通过它去揭示世界运动的规律。他认为物质的最基本和最可靠的性质是形状、延展和在时空里的运动；客观世界是固化了的空间，因此形状和延展的性质完全可以从几何学的基本原理推导出来；至于运动，它的轨迹呈几何曲线；而致使物体运动的力也是服从于不变的数量定律。因此，笛卡儿认为一切自然现象都可以用数学描述出来。他说：“……所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关。至于所求的度量是关于数的呢、形的呢，星体的呢、声音的呢，还是其他东西的呢，都是无关紧要的。因此，应该有一门普遍的科学，去解释所有我们能够知道的顺序和度量，而不考虑它们在个别科学中的应用。事实上，通过长期使用，这门科学已经有了它自身的专名，这就是数学。它之所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多的别的东西。” ( S( x* E% g! P 在笛卡儿强调在自然科学中使用数学方法的时候，数学的大厦在当时主要是由几何学、代数和三角学这三门分支堆砌而成的。几何学作为一门独立的数学分支已有它自己发展的悠久历史，特别是平面几何学和立体几何学的基本理论，早在希腊亚里山大里亚时期已经形成，其代表性著作是欧几里得的《几何原本》、阿波罗尼的《圆锥曲线》，以及阿基米德的《论球和圆柱》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线的求积》和《论螺线》等有关几何体面积和体积的著作。这些经典著作一直被人们誉为几何学史上的丰碑，以致后来的学者从几何上几乎不能对他们所论及的大多数问题有新的发言权。这些经典著作，在文艺复兴时期已被译成拉丁文。随着中国造纸术和印刷术的传人，它们以印刷版本在欧洲广为流传。代数作为一门独立的数学分支发展是在公元100年之后才开始的。到了16世纪，代数学在欧洲得到了长足的进步。人们不仅熟知一次、二次代数方程的解法，而且已经能用纯代数方法来解一元三次或一元四次代数方程，此外人们还对方程论的问题，如一个方程能有多少个根的问题，也有一定的探讨。在这个发展过程中，数系也得到形式上的扩大。数学家在解方程中形式上使用了负数、虚数，虽然他们还没有完全承认它们是具有真实意义的数。特别是由于数学家韦达在代数中成功地引进了符号体系，促使代数迅速发展。韦达是第一个在代数中有意识地、系统地使用字母的人。他不仅用字母表示未知量和它的乘幂，而且用字母表示一般的数系。这样代数便成了施行于事物的类或形式的运算方法，成为研究一般类型的形式和方程的学科，因为用字母表示的一般情形的研究包含了对无穷多的具体情形的研究。 ( y3 u$ {$ g) T# u9 J- A7 T 笛卡儿作为那个时代伟大的哲学家，作为一个多才多艺的自然研究者，作为一个极为关心数学用途的人，无论在科学观还是方法论上，确实有高于前人的地方。在仔细地考察和研究了前人的数学工作之后，他认为欧几里得几何学常常根据各种几何图形来考察它们的性质，这显然具有直观具体的优点。但在几何学中囿于图形进行综合推理的做法，又往往使证明过于繁琐冗长，使人们的思维过于疲劳。至于代数，其方法具有刻画数量和表述一般性的威力，但有时也因过于强调规则和某些数字的约束而使人容易陷入一种混乱、晦涩的困境。由于这些原因，笛卡儿认为有必要去建立另外一种新的数学分支，把几何学和代数学结合起来，使它们互相取长补短，以便把数学从以往繁琐的几何证明和令人费解的代数规则中解脱出来，而具有清晰性和简单性。于是他在一封给友人的信里说：“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。”笛卡儿曾在1619年就设想了这种“崭新的”几何学的雏形，他说：“……根据这种科学，各种量所产生的问题都可以被解决，不管它们是连续的还是离散的，而且每一个问题都可以根据它们自己的性质被解决。例如，像在算术里那样，一些问题可以用有理数来解决，另一些问题仅可以用无理数来解决，而其余的问题可以被想象应该如何解决但实际上最后解决不了。因此我也希望揭示，对那些连续的量的问题，一些可以仅用直线和圆来解决，一些可以用由简单运动生成的其他曲线来解决，……其余的仅可用几种运动复合所生成的曲线来解决。” + A% d [) p+ D9 l! p1628年笛卡儿进一步认为，在这种几何学中，应采用“代数”的技术，给以上各种曲线以代数的表述，这样也就给物体运动以定量的描述。至此他的解析几何学新思想已经形成。 : ?" D& E9 E& ~/ e7 G: P/ Q2 c $ H# P) v5 k' W7 V1637年笛卡儿的解析几何学著作《几何学》发表了，该著作是作为他著名的哲学著作《更好地指导和寻求科学真理的方法论》的第三附录问世的。它由3个“大卷”组成，全文原长达106页，内有43幅几何插图。第1卷是解决“仅用圆规和直尺就能解决的作图问题”；第2卷是“论曲线的特性”；第3卷是处理“三次和三次以上的代数方程的作图问题”。 + Y1 F( j9 l# P 9 K3 W0 }. a" T# D9 H& J 几何代数化的思想 - n- {0 _4 E- s1 x7 _: E5 J& c6 j+ N* j ) C0 ^7 r9 l1 Q 9 I& q6 y$ ^0 Z8 S笛卡儿解析几何学的核心思想是用代数方程来表示几何曲线，这个创造是数学中最丰富和最有效的设想之一。下面我们先来看看笛卡儿是怎样表述这个思想的。 首先，笛卡儿认为，我们可以把代数中形式化的符号体系的表示方法引进到几何学中去。他认为，当我们知道了一些几何线段的长度，便足以作出它的图形。几何作图要求对线段作加减乘除，对个别的线段取平方根，而这些几何作图的步骤是可以用代数的术语来表示的。而且，由于我们在几何作图中引进了代数术语从而使几何作图的步骤变得更为明晰。因此他认为，在几何作图中，我们往往没有必要像以往那样必须一步一步地把线绘在纸上，而只需把每一线段用一个文字表示出来。这样两条线段相加，可表示为a+b，而a-b则表示从a线段中减掉b线段，至于ab则表示线段a为b所乘，a/b则表示a线段为b线段所除， a2表示线段a为它本身所乘，等等。 2 P3 h# C& a/ S+ q 其次，笛卡儿认为，不仅是代数的符号表示方法可以引用到几何中去，而且更重要的是可以进一步用代数方程来表示几何曲线。这种思想在笛卡儿用代数方法解决几何作图的问题时就呈现出来。他论述说，在考虑作图问题时，我们必须假定问题已经解决，而用字母表示所有那些看来是作图所必需的已知和未知的线段；然后，不管线段是已知的还是未知的，我们必须这样去解除困难：弄清楚这些线段之间的相互关系，使得同一个量能够用两种方式表示出来，这样就得到一个方程。我们必须求出与未知线段数目相同的方程。如果方程不止一个，我们必须把它们组合起来，使得最后只剩下一个方程；其中只有一个未知的线段，用已知的线段表示出。例如，假定某几何作图问题归结到寻求一个未知长度z，经过代数运算知道z满足方程z2=az+b，其中虑负根的）。这个式子便指明了z的画法。在这个例子中笛卡儿是用代数中最简的一次方程来表示一个未知的几何线段的画法。 上述问题，是用已知量表示未知量，因而称之为“确定”的作图问题。这只是古典的几何作图问题，是代数在几何上的一个应用，而不是现代意义下的解析几何。在这种问题中，有几条未知线段，就必须找出几个最简的一次方程。“但是，如果在考虑了所包含的一切情况之后仍找不出那么多（方程）的话，这就显示了这个问题是不能完全确定的。在这种情况下，我们对于每一条不具有对应方程的非折线段，可以任意的选取已知长度的线段。”其结果有许多长度可以作答案，而这些长度的端点充满一条曲线。那么这条曲线怎样描出呢？这就要根据最后得到的不定方程，此方程把未知的长度y用任意的长度x表示出。对此笛卡儿着重指出，对于每个x，长度y满足一个确定方程，因而曲线可以画出。这条曲线就被称为该不定代数方程的轨迹。用代数语言来说，当方程的个数少于未知线段的个数时，便出现了不定方程。这种不定方程，实际上就是多变量方程。在两个未知量x和y的情况下，如果任意给定x的一个值，就得到一个关于y的确定方程，从而解出y的值，于是就可以把y画出来。如果我们取无穷多个x的值，就得到无穷多个y的值，从而得到y的无穷多个端点C，所有这些C的轨迹，就是原不定方程所代表的曲线。从这个意义上来说，笛卡儿指出，几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。如果方程是一次的，则此曲线便是直线；如果方程是二次的，则此曲线就是圆锥曲线。 + d9 e" E. r% Y 笛卡儿的几何代数化思想，给数学研究带来了变革。它奠定了坐标系方法的思想，进一步提出了“变量”的概念，为微积分理论的提出奠定了基础。它也为自然科学特别是力学研究提供了迫切需要的数量工具。