[转帖] 侃侃计算数学 （微分方程数值解）

god

到现在，我们才说到计算数学里面最重要的一部分——微分方程数值解。记得以前有个老师说过：
$ \" h  z# f6 S( h* U7 P' n/ C. P世界是物质的，物质是运动的，运动是有规律的，规律要用微分方程来刻画。由此可见微分方程
; m& F. y5 U& @2 G' n1 J在现实中的重要地位。以前，人们更多的是研究微分方程的定性理论，如：解的存在性等等。但是
; [5 S4 e" p  S/ ~( {. K工程实际中需要求解微分方程。但是，如所至解析解存在的微分方程太少了，于是数值解就随着计算机的
% v, Y, W$ H6 J& ~4 p5 h/ }/ j出现而发展起来。本科的时候，我做的第一个科研工作就是关于微分方程数值解的，直到现在仍然记得
通过计算得到海水涨落，之后将其动画表示出来的激动场景。数值解的强大力量自此给我深刻的印象。

$ x/ B+ l# L" Z3 s' l不过庆幸的是，因为冯康先生在有限元及辛算法等方面的卓越工作，及以后中国人在诸如
非协调元等方面的漂亮工作，使得中国在这一重要领域在国际占有一席之地。
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- G. p% n0 i: r: ^, M数值解的基本思想是将微分方程离散化作代数方程，这其中最重要的是保证其物理意义。
& W4 P$ L! H% q4 `( m" o在实际工程领域中
应用最为成功的就是有限元方法。如今关于这方面的软件数不胜数。
& O+ V6 i, g. C- v' n8 M有限元方法穿插了计算数学中许多重要的
. B  F3 B+ K' r# A5 b% m7 F分之：如各种类型的元很多用逼近里的工具，做三角剖分要到计算几何里的方法，
- _' |/ `; ?: G; x% X, D7 q/ C( o最后形成的刚度矩阵计算则用数值代数里的方法，计算结果的可视化也要用到数值逼近的方法，
虽然现在，很多的其它数值解方法：如无网格，谱方法，小波方法等等仍然研究很多，
但是由于种种局限性似乎难以同有限元在工程中的应用抗衡。

xiaogao

[em05]有限元方法求解弹性力学的方程是十分有效的，但是在计算流体力学中，经典的有限元方法就遇到了很大的困难。[em05]

lipu_2003

数值解的基本思想是将微分方程离散化作代数方程，这其中最重要的是保证其物理意义。
在实际工程领域中
应用最为成功的就是有限元方法。[em04]

xiaogao

[em05]为什么不说一说有限差分方法？

iiistony

在学微分方程数值解

mooncold

    还有别的介绍马？

比如 离散元素法的，DEM。

dkl1231

顶

ladeng321

正在学习中

lugersun

好难啊

totti_harper

看来有限元法和蒙特卡罗不光是数学人感兴趣，物理人也感兴趣啊