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中考数学应用题归类解析

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    发表于 2018-11-9 08:52 |显示全部楼层
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    中考数学应用题归类解析
        应用题源于生产、生活实践,是中考数学的常见题型.解题时,要求学生要熟悉其基本的生产、生活情景,善于积极地用数学观点和方法去解决实际问题.为了帮助九年级同学系统地复习这一题型,本文以2008年中考题为例,归纳其类型与解法,供参考.
    一、方程型
        例1、(长沙市)“5·12”汶川大地震后,灾区急需大量帐篷.某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线,工厂决定转产,计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线,一天可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线,一天可生产帐篷178顶.
        (1)每条成衣生产线和童装生产线每天生产帐篷各多少顶?
        (2)工厂满负荷全面转产,是否可以如期完成任务?如果你是厂长,你会怎样体现你的社会责任感?
        解:(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷x、y顶,则
    答:略
    (2)由知,即使工厂满负荷全面转产,也不能如期完成任务.
        可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力,或动员其他厂家支援等,想法尽早完成生产任务,为灾区人民多做贡献.
    二、不等式型
        例2、(青岛市)2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A、B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题:
        (1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程;
        (2)根据计算判断:哪种购票方案更省钱?
        解:(1)根据题意,得
    所以满足条件的x为5或6。
    所以共有两种购票方案:
    方案一:A种票5张,B种票10张。
    方案二:A种票6张,B种票9张。
           (2)方案一购票费用为
    方案二购票费用为
        所以方案一更省钱.
    三、一次函数型
        例3、(乌鲁木齐市)某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台,现在运往甲、乙两地支援建设,其中甲地需要15台,乙地需要13台.从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元;从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元.设从A地运往甲地x台挖掘机,运这批挖掘机的总费用为y元.
        (1)请填写下表,并写出y与x之间的函数关系式;   
    (2)公司应设计怎样的方案,能使运这批挖掘机的总费用最省?
        解:(1)
    .
    因为
    又y随x增大而增大,所以当x=3时,能使运这批挖掘机的总费用最省。运送方案是A地的挖掘机运往甲地3台,运往乙地13台;B地的挖掘地运往甲地12台,运往乙地0台。
    四、二次函数型
      例4. (河北省)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为了投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价(万元)均与x满足一次函数关系。(注:年利润=年销售额-全部费用)
    (1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,,请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与x之间的函数关系式;
    (2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,(n为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元。试确定n的值;
    (3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?
    参考公式:抛物线的顶点坐标是
    解:(1)甲地当年的年销售额为万元,
    (2)在乙地生产并销售时,年利润
    解得n=15或-5。
    经检验,n=-5不合题意,舍去,所以n=15。
    (3)在乙地生产并销售时,年利润
    将x=18代入上式,得(万元);
    将x=18代入(万元)。
    因为,所以应选乙地。
    五、统计型
      例5、(呼和浩特市)学校要从甲、乙、丙三名长跑运动员中选出一名奥运火炬传递手.先对三人一学期的1000米测试成绩做了统计分析如表1;又对三人进行了奥运知识和综合素质测试,测试成绩(百分制)如表2;之后在100人中对三人进行了民主推选,要求每人只推选1人,不准弃权,最后统计三人的得票率如图1,一票得2分.
        (1)请计算甲、乙、丙三人各自关于奥运知识,综合素质,民主推选三项考查得分的平
    均成绩,并参考1000米测试成绩的稳定性确定谁最合适.
    (2)如果对奥运知识,综合素质、民主推选分别赋予3,4,3的权,请计算每人三项考查的平均成绩,并参考1000米测试的平均成绩确定谁最合适.
    表1
    侯选人1000米测试成绩(秒)平均数
    甲  185  188  189  190  188
    乙  190  186  187  189  188
    丙  187  188  187  190  188
    表2
    测试项目
    测试成绩
    奥运知识
    综合素质
    85
    60
    70
    75
    80
    60
    解:(1)甲民主得分=100×25%×2=50,
    乙民主得分=100×30%×2=70,
    丙民主得分=100×40%×2=80。
    甲三项平均成绩=
    乙三项平均成绩
    丙三项平均成绩
    所以,而甲、乙、丙三项考查平均成绩相同,故选择丙最合适。
    如果用极差说明选丙也给分。
    (2)甲平均数
    乙平均数
    丙平均数
    所以乙平均数>甲平均数>丙平均数,而三人的平均测试成绩相同,所以选择乙最合适。
    六、几何型
    例6、(哈尔滨市)如图2,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).
    解:过点P作PC⊥AB于G,则
    ∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=80。
    在Rt△APC中,cos∠APC=
    PC=PA·cos∠APC=
    在Rt△PCB中,cos∠BPC=
    所以当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时,轮船与灯塔P的距离是海里。
           答:略
    七、方程与不等式结合型
      例7、(哈尔滨市)荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售,经与春晨运输公司协商,计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆,用这6辆汽车一次将货物全部运走,其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨,每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨.已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元;租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元,
    且同一型号汽车每辆租车费用相同.
        (1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?
        (2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元,通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来,并求出最低的租车费用.
        解:(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元,租用一辆乙型汽车的费用是y元,由题意,
    答:略
           (2)设租用甲型汽车z辆,由题意,得
    解得
        因为z是整数,所以z=2或3或4.
        所以共有3种方案,分别是
        方案一:租用甲型汽车2辆,租用乙型汽车4辆;
        方案二:租用甲型汽车3辆,租用乙型汽车3辆;
        方案三:租用甲型汽车4辆,租用乙型汽车2辆.
        三个方案的费用依次为5000元,4950元,4900元,所用最低费用为4900元.答:略.
    八、不等式与函数结合型
      例8、(武汉市)某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖
    10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
        (1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
        (2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?每星期的最大利润是多少?
    解:(1)y=150-10x
    因为
    所以且x为整数。
    所以所求的函数解析式为
    (2)设每星期的利润为w元,则
      
    因为,所以当x=2.5时,w有最大值1562.5。
        因为x为非负整数,
        所以x=2时,40+x=42,y=150-10x=130,w=1560(元);当x=3时,40+x=43,y=150-10x=120,w=1560元.
        所以当售价定为42元时,每周的利润最大且销量最大,最大利润是1560元.
    九、不等式与统计结合型
      例9、(呼和浩特市)冷饮店每天需配制甲、乙两种饮料共50瓶,已知甲饮料每瓶需糖14克,柠檬酸5克;乙种饮料每瓶需糖6克,柠檬酸10克。现有糖500克,柠檬酸400克.
        (1)请计算有几种配制方案能满足冷饮店的要求?
        (2)冷饮店对两种饮料上月的销售情况作了统计,结果如下表。请你根据这些统计数据确定一种比较合理的配制方案,并说明理由.
    两种饮料
    的日销量
    10
    12
    14
    16
    21
    25
    30
    38
    40
    50
    40
    38
    36
    34
    29
    25
    25
    12
    10
    0
    天数
    3
    4
    4
    4
    8
    1
    1
    1
    2
    2
    解:(1)设配制甲种饮料x瓶,由题意,得
    解得
    因为x只能取整数,所以共有6种方案。
    所以
        (2)配制方案为:50瓶中,甲种配制21瓶,乙种配制29瓶.
        理由:因为甲种的众数是21,乙种的众数是29,所以这样配制更能满足顾客需求.
    十、方程、不等式、函数结合型
      例10、(河南省)某校八年级举行英语演讲比赛,派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品.经过了解得知,该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元,他们准备购买这两种笔记本共30本.
        (1)如果他们计划用300元购买奖品,那么能买这两种笔记本各多少本?
        (2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况,决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔
    记本数量的,又不少于B种笔记本数量的,如果设他们买A种笔记本n本,买这两种笔记本共花费w元.
        ①请写出w(元)关于n(本)的函数关系式,并求出自变量n的取值范围;
        ②请你帮他们计算,购买这两种笔记本各多少时,花费最少,此时花费是多少元?
        解:(1)设能买A种笔记本x本,则依题意,得
        12x+8(30-x)=300,
        解得x=15.
        故能购买A、B两种笔记本各15本.
        (2)①依题意,得w=12n+8(30-n),
    即w=4n+240.
    解得
        所以w(元)关于n(本)的函数关系式为w=4n+240,自变量n的取值范围是且n为整数.   
        ②对于一次函数w=4n+240.
        因为w随n的增大而增大且,n为整数,故当n=8时,w的值最小.
        此时30-n=22,
        w=4×8+240=272元.
        故当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时,所花费用最少,为272元


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