常用模型&算法总结—图&网络模型应用—树：连通性、最小生成树

浅夏110

1 基本概念
连通的无圈图叫做树，记之为T 。若图G 满足V(G) =V(T ) ， E(T ) ⊂ E(G) ， 则称T 是G 的生成树。图G 连通的充分必要条件为G 有生成树。一个连通图的生成树 的个数很多，用τ (G) 表示G 的生成树的个数，则有公式
5 _, ~) Z( U# a4 g( N& z+ N

: R7 k4 e7 [+ @+ Q树有下面常用的五个充要条件。
) f" I1 L- f; M* f3 M
定理 1 （i）G 是树当且仅当G 中任二顶点之间有且仅有一条轨道。
$ S& q9 m( W* |0 H3 d: `
' f1 b0 U$ f1 ?8 ^# }/ }& N（ii）G 是树当且仅当G 无圈，且ε =ν −1。
) H/ a. `) K& s& b
（iii）G 是树当且仅当G 连通，且ε =ν −1。

（iv）G 是树当且仅当G 连通，且∀e∈ E(G) ，G − e 不连通。

（v）G 是树当且仅当G 无圈，∀e∉ E(G) ，G + e 恰有一个圈。
3 I4 m$ |8 q3 o( Q
2 应用—连线问题
欲修筑连接 n 个城市的铁路，已知i 城与 j 城之间的铁路造价为Cij ，设计一个线 路图，使总造价最低。
- q( g' |0 B; y1 X5 L7 u
连线问题的数学模型是在连通赋权图上求权最小的生成树。赋权图的具最小权的生 成树叫做最小生成树。

下面介绍构造最小生成树的两种常用算法。

2.1 prim 算法构造最小生成树
设置两个集合 P 和Q ,其中 P 用于存放G 的最小生成树中的顶点，集合Q 存放G的最小生成树中的边。令集合 P 的初值为 { P = v1 }（假设构造最小生成树时，从顶点 v1 出发），集合Q 的初值为Q = Φ 。
* o* ^9 j% e$ ^+ ~% K- M' N
prim 算法的思想是，从所有 p ∈ P ，v ∈V − P 的边 中，选取具有最小权值的边 pv ，将顶点 v 加入集合 P 中，将边 pv 加入集合Q 中，如 此不断重复，直到 P =V 时，最小生成树构造完毕，这时集合Q 中包含了最小生成树 的所有边。
1 a; g4 B& b+ G  Y/ w
* ^4 s8 W9 K, D" r% ^0 ~8 N
7 ^4 T* F; G6 u
例 13         用 prim 算法求图 5 的最小生成树。 我们用  的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下：
& J6 k0 R1 c% b: T6 v
. b9 Q7 I' e2 |# B) G0 `
! j9 h2 k3 Q5 ~) f* Eclc;clear;
a=zeros(7);
a(1,2)=50; a(1,3)=60;
a(2,4)=65; a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45;
; Y; \$ V1 y% n+ K0 O3 ua(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;
a(5,6)=70;
a=a+a';a(find(a==0))=inf;
* d& z! ~5 J8 |3 Q& eresult=[];p=1;tb=2:length(a);
9 Z3 C3 m5 \# m  w* t% `while length(result)~=length(a)-1
    temp=a(p,tb);temp=temp(;
    d=min(temp);
    [jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
    j=p(jb(1));k=tb(kb(1));
6 E4 D* U. A0 y2 h: L    result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
! D5 g& [# C  z; ?. U; E1 m% ~end
result
. J9 @. E9 R) i6 x
2.1 Kruskal 算法构造最小生成树
科茹斯克尔（Kruskal）算法是一个好算法。Kruskal 算法如下:


5 ^# f3 q) O( E! H$ W+ a4 w% n
例 14   用 Kruskal 算法构造例 3 的最小生成树。 我们用 存放各边端点的信息，当选中某一边之后，就将此边对应的顶点序 号中较大序号u 改记为此边的另一序号v ，同时把后面边中所有序号为u 的改记为v 。

! x0 }5 m! Q% [) E1 y2 X' `此方法的几何意义是：将序号u 的这个顶点收缩到v 顶点，u 顶点不复存在。后面继续 寻查时，发现某边的两个顶点序号相同时，认为已被收缩掉，失去了被选取的资格。 Matlab 程序如下：
( g: U0 k* U  U5 O
clc;clear;
a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;
a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;
a(4,7)=42; a(5,6)=70;
2 W* A& N7 R- F( T/ @5 `7 v) Q[i,j,b]=find(a);
data=[i';j';b'];index=data(1:2,;
loop=max(size(a))-1;
9 z9 p, W5 E* _. [! T1 J1 Presult=[];
while length(result)<loop
    temp=min(data(3,);
' r- D. J+ U; P8 x4 |  R/ t9 N    flag=find(data(3,==temp);
    flag=flag(1);
    v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);
    if index(1,flag)~=index(2,flag)
' W9 L: j4 q' K5 `; U8 n5 j        result=[result,data(:,flag)];
% e* Z" M2 x# |    end
    index(find(index==v2))=v1;
. Q! J' A" h* x9 ^' n' T    data(:,flag)=[];
    index(:,flag)=[];
8 e( m. f% r6 r5 `end
result
9 g3 G4 D  a; D* ~6 i$ d


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& [8 y$ Y0 f2 C, j/ c; x& ~0 b+ M
9 e  R. _& q8 U1 m0 m' I; c