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楼主: frid

陈省身先生谈数学1

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陈省身先生，一位伟大的数学家……

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下来看看啊。。

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中西文化比较——数学 2011-12-31 12:06阅读(12)下一篇：作业2 |返回日志列表赞赞赞赞转载分享评论(2)复制地址更多

作者作为2年级数统学院学生，已经接受了近一年半的数学基础教育，在此想通过个人对数学的一点粗浅的了解来比较中西方的数学文化。

阅读本文对大学数学知识没有要求，如对下面所述的数学知识已有了解，可直接阅读对中西数学文化的比较部分。

为了后面对中西方对数学认识的比较的方便，首先需要对数学的一些内容和思想进行交代。

下面将围绕大学数学的两大基础部分进行交代。
1、数学分析

数学分析（其粗浅的应用部分又被称为微积分）是大学数学中最为基础和重要的部分。其创立一般被认为是由Newton和Leibniz完成的。前者在研究瞬时速度时引进了微分（对一元情况是导数）的概念，后者在研究切线时做了同样的工作。无论从瞬时速度的角度还是切线的角度我们都可以看出那是一种在非常小的限度内的一种非常细微的变化，所以数学分析又被称为无穷小分析。

虽然由以上问题所产生的微分学能解决很多细致的问题，但显然在理论上并不具有严谨性。请看下面的例子。

从图上可以看出，黑点所在的位置有切线（黑色直线），而在蓝点除却做不出切线。于是便要对所处理的问题提条件。当这种条件足够严禁并保证了某个必然的结果的时候，它便成了数学上的定理。

然而人们对严谨性的认识也是个渐进的过程，如上面的例子，如果对上面的曲线提条件，如要求上面的曲线连续，或许就能做出切线了。（我们要求每一点的切线是唯一的）

但是从下面了例子我们发现这是错误的。

上面的曲线除了蓝颜色的点以外，其余点都是有唯一切线的，而蓝颜色的点都有两条切线（即蓝点两侧的直线）。可见，单是要求曲线是连续的是不够的。（还应要求可导，在一元可导可以理解为处处有切线，从直观上还可以看到可导的曲线一定连续，即处处有唯一切线一定连续）

数学分析中最重要的两部分内容是微分学和积分学。上面只是对微分学作用的展示（切线），积分学作为微分学的逆问题，它相对复杂，在这里不再举例说明。但可从上面的问题发现，可导（处处有切线）必连续，而连续未必可导（连续是可导的必要条件），（在这里不加证明地给出事实）连续是可积（对应积分学的内容）的充分条件。足见连续性无论是对微分学还是对积分学都是非常重要的性质。连续是数学分析的基础。

2、高等代数

高等代数（其简易的计算部分又被称为线性代数）是教授大学数学中处理大量数据运算的重要学科。它作为中学阶段初等代数（解方程）的延伸，在很大一部分时间中是为了解高次幂的方程（方程组）而建立的，其线性代数部分更是在解线性方程组的问题上形成了了自身的一套完备的理论。

下面有一个例子来显示高等代数在处理大量数据计算方面的能力。

计算下式：1*5*9+2*6*7+4*8*3-3*5*7-2*4*9-8*1*6

直接计算：上式=45+84+96-105-72-48=0

上面的行列式算法就是高等代数所提供的计算方法。当引入行列式及（线性代数的核心工具）矩阵后就可以通过Cramer法则建立起解线性方程组的一般方法。（这里对行列式这一形式算式以及矩阵这一形式表达式的定义因篇幅所限不再说明）

对于高等代数的线性代数部分，其数学思想总的来说是用相对简单的形式表示来完成复杂的计算。在大部分人眼里高等代数的主要及重要部分是其线性代数部分，其实不然，由于我国现今大学数学教育对于非数学类专业只要求其掌握线性代数的知识，但高等代数所揭示的更为本质的数学思想却体现在其多项式理论及线性空间理论部分。

下面举一个多项式理论的定理。

因式分解及唯一性定理：对于数域P上一个次数>=1的多项式，它可唯一的分解为数域P上的不可约多项式的乘积。

在对上面这个定理不了解的情况下，可以参看下面这个初等数论（中学范围）的定理。

整数的唯一分解定理：设a>1,则必有a=p1*p2*…..*pn ，其中pi (1<=i<=n) 为素数，在不计素数乘积顺序的情况下，上面的表达式是唯一的。

对于线性空间，我们来举一个比较特殊的例子，即欧式空间（即欧几里得空间，一种特殊的线性空间）。我们身边的三维空间就是一种三维的欧式空间，高等代数所研究的是n维欧式空间，并把内积运算引入其中，使其能够实现在三维空间中类似的运算。（线性空间中更为一般的理论是对其空间结构的剖析，如空间的同构问题等，这些问题很复杂，在这里不再赘述）

以上是对大学数学两大基础部分的粗浅内容的举例，由于作者正在学习概率论课程，对其后续课程数理统计还未接触（加之本校培养的主要是应用型本科生，从而弱化了以上学科理论基础的教学，对概率论的理论准备——实变函数论，我国大部分学校在本科阶段基本不涉及），在此不再对概率论与数理统计内容进行介绍。

下面以上文为基础对中西方文化在数学上的差别说说个人的看法。
上面数学分析的例子首先要说明的是数学定理的严谨化是一个比较细致的工作，造成条件不满足的因素是很细微的（参看第一幅图：一点的不连续就会破坏可微性）。为了使微积分的理论严密化，欧洲的数学家们花了几个世纪建立了极限理论，实际上在极限理论建立之前，微积分学在不严谨的情况下已经应用到实际科学生产中，并取得了很多成功，但欧洲数学家们并没有因为定理严谨化在短期内不会产生实际价值而放弃，经过Cauchy、Abel、Taylor、Weierstrass等的努力，极限理论形成了。而中国在西方创立微积分的同一时期，对数学文化最为痴迷的当属清朝的康熙皇帝了，他本人曾向西方传教士汤若望等人学习了三角学等数学学科（主要集中于比较基础的应用性知识，如测量角度），但学后也只是止步于感叹西方数学的精密，而并未对数学本身的严谨**兴趣，更未能正视数学的重要性，康熙作为中国古代最博学的皇帝未能体会到数学的重要，不能不说是一大憾事，而其他中国人对数学的态度就更不用说了。

下面要就上面数学分析中的第二幅图的例子来说明中西方在数学问题中对直观与严谨这连个概念的偏好。下面要说明的是，中国更倾向于直观而西方趋于严谨。如上所述，第二幅图中的曲线是连续的，而使其不可导的点是蓝颜色的点，这些蓝色的点共同的特点是它们都是“尖点”（这些点要与蓝色点右边的光滑曲线的峰谷相区分）。在中国教授数学分析或微积分或高等数学的老师为了使学生对这种情况有一个更为深刻地认识，他们提出了一个观点，即“尖点”一定不可导（这显然属于中国人直观的思维）。而很多西方教材在面对这种较直观地描述性语言时往往采取保守态度。而从个人的角度来看，我认为这个观点虽然直观但并不严谨，下面是我举的一个反例。

上面的函数是由两条平行于x轴的直线和一个与它们相切的半椭圆构成的（非单值参数）函数，其中椭圆与直线相切与黑点，从黑点的左侧看图像是“尖”的。但该曲线在黑点有切线（可导），即与椭圆相切的直线。（这里半椭圆上侧还有一条直线是为了严谨，使之左右导数都存在且相等，否则只能保证单侧导数存在。还要声明的是，可导可以是对一个x有两条斜率相同的切线，不再赘述）

从上面的例子可看出，“尖点”不一定不可导。要将其严谨化只需将“尖点”改为没有唯一切线的点即可。（这里将这个问题转化为左右导数的问题，不再赘述）

数学分析的例子的下一个启示是中国在数学领域的潜能是很大的。如上文所述，无论是微分学还是积分学最后都统一到极限的基础上，这正体现出数学本身的联系性（上面对高等代数的介绍中，因式分解及唯一性定理与整数的唯一分解定理的相似性也说明了这种联系性），东方人虽然在数学的严谨性上不占优势，但以联系的观点看待事物的习惯加强了中国人对数学从总体上的把握和认识，从而为联系各部分知识的实际应用创造了有利条件。

对高等代数方面的介绍，其目的是借助n维欧式空间（线性空间）这一概念说明中西方在数学方面研究的侧重点不同。n维欧式空间在实际生活中是无法触及的，但是西方的数学在很多领域都是在追求这种“理念的”东西，甚至在数学理念不再完备时出现过数学危机（历史上共有三次）。而（古代）中国的数学重点却在实用，这一点可以从中国古代数学官员的品级及古时传下来的算经内容看出。中国古代的算学官员虽也有一套选拔制度，但官阶很低，他们的工作不是解决理论问题，而是解一些类似方程组的实际问题。