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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
|---|
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 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
1 拉格朗日多项式插值
1 @) W+ _' Y0 W, y/ P7 P1.1 插值多项式 " L1 c# a4 S! r( v
0 c8 l! q7 I- B. q/ n! J
' r* @& R( o4 E8 _! I- Q
6 [+ } Y- S1 V# d( \
范德蒙特(Vandermonde)行列式
9 t8 ?: X0 x4 j8 X6 P; l& i6 S7 `6 U, O
![]()
+ w/ i2 O% N/ k Z L% j8 ^
; T3 q% h" w9 p& ]1 p截断误差 / 插值余项
; M. s# q. f# Q& M' U& q. L6 t2 G; f$ }0 L5 o( k' a% D3 ~
$ l' e% d4 A) T
# c; A G5 v" L! N/ v( G9 m' X' R
/ {2 K/ n) ^, }! _ `
1.2 拉格朗日插值多项式 : p6 g( p E8 r
, R2 g9 E) O/ Y$ M; ~![]()
* a- z) T& |/ b! l
- F% ~$ u3 K2 y1 r9 K1.3 用 Matlab 作 Lagrange 插值 ; e5 g/ N6 P5 b1 K8 d
Matlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0 输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:/ ~& I7 |5 N8 G7 x4 g8 M
6 E6 n2 l- L, {0 h1 ^; Hfunction y=lagrange(x0,y0,x);
+ h) I# r0 M" e" X% G2 E* n% ~n=length(x0);m=length(x);
. {' n" y0 q* P. O. rfor i=1:m
, N) H6 u/ {( h4 ^# a z=x(i); ! D; ~5 C$ x0 s& u- v6 ]5 C( n
s=0.0;
- Z4 r3 C- n/ \4 E5 G" T for k=1:n ' [2 `0 M6 H5 Q8 E
p=1.0;
* I' L( G$ v5 p7 V& W for j=1:n ' b5 O5 g$ E7 [! n. y. M
if j~=k
5 B# L0 h: g0 @& o9 ~; `! M% ]- R p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
; v, i+ _3 m, H7 k; j: w end
! s6 }# j9 D, B% D0 h! W5 N$ ~ end ! {6 i- x( F9 i
s=p*y0(k)+s; : ]$ m( I$ Y! H# j3 K: {% }
end
8 H" [) x3 D. e0 s9 |2 zy(i)=s; , D& ]0 T; j' u$ E$ K4 ]
end
- A1 t" i7 j u/ X5 j- Q& b& k/ b3 L9 L7 l! [6 z+ S/ h' j
2 牛顿(Newton)插值
8 e( k+ g& H& q1 ?8 V* X在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。
# ^8 B% p3 m& u3 p- W5 l& m. \, P% {- I0 ^: S
2.1 差商 : 定义与性质
3 E. q3 A& P! i m6 k8 D+ Z
/ H1 c( v# G5 i6 S$ Y A+ O7 i! ?' C . b' G8 T+ b2 r0 a
/ |' [8 m( ~' V5 l' p9 N2.2 Newton 插值公式 ; H4 x) @- z2 v8 q3 ~5 H9 P
+ @8 T$ L+ c# O9 {- i, O2 i
![]()
. E- O6 N; s; m8 V![]()
7 j- Q2 y1 p1 M" H
1 D4 `* C. q$ |" p$ p2 TNewton 插值的优点
# n2 E0 G r5 \7 X/ Y# _
" }( ^ y8 T& x! N) u![]()
. ]. B7 e% C( l2 }* ?
% b: T! c; j3 _1 v t
; Q! y$ c/ @! o8 g差商与导数的关系 , v! C/ g2 g4 ?! J: ]/ m
, [1 ^" g% J( M& A3 a0 s2 p![]()
$ G2 S& A, g) D% G+ ]% m' p3 J! e9 ]. u% P6 k
2.3 差分 :向前差分、向后差分、中心差分
% d9 y9 |' F$ v+ c# z- b2 n# Q当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
, o: e \0 a2 J! V7 K) h6 a( @& G/ Q
![]()
/ r/ P/ p/ W$ {" g2 D% @% Z& U( v% G, D$ I+ b5 g( J
7 K+ @, F6 N5 C) t) o7 I
X2 c8 B% k5 s! E差分的两个性质% w' Q/ l6 d1 F3 A1 c
(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
5 ]& ] \& `% T7 P X: z
0 n7 _! w+ q) U; u8 U' j; A& v2 @![]()
8 I3 M) @, ?0 \) y$ ?2 a8 F& L' z# c' p" ^; A }
(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:
/ O+ X- P& t$ Q* X' A
8 \. O# I& M" v e8 ~![]()
& }8 h5 [' T! ]; w O
: r. S& f5 C3 v8 N2.4 等距节点插值公式 、 Newton 向前插值公式3 O2 H) E% s' u, T
2 s& N* [1 J* I# t6 K' T, k/ |9 e; p |' b! A" y- \# y8 x) ]6 o
8 T1 ]/ o0 v7 {6 \3 W9 V1 }0 Y3 分段线性插值 7 Y% i2 s6 j' g {
3.1 插值多项式的振荡
! B3 M3 r k; U" }9 s/ _, X
6 @1 @9 C* Y6 U' N' E![]()
0 o: M& m. f* g7 ^$ F. d- G4 b# |
7 \! p4 g4 @- n; K9 Z9 q: a
' B, M9 k+ x3 N( e: n$ h高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 - g8 W& t+ {! ]
8 J, D R6 i# |; T
3.2 分段线性插值 : B+ ^9 _$ x: v1 p1 a9 @" r
. Y1 p% l: Y, V5 l2 p
![]()
T. F: C7 D _9 v9 l* o% s# ]![]()
! k4 \& d7 \, T3 }; {* `3 _
& p: |' L. x& o$ T
t/ U. f3 _3 l' l; ~8 T
5 T0 f7 R7 h& i用 计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。
# y- [" _: s" k1 \# D5 D) J0 c& i# P7 n% c& [3 _$ U
3.3 用 Matlab 实现分段线性插值
4 w9 `) I0 K: ~用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。
: b) V+ J7 ?" h( [5 W0 I* C) w: O
/ B* o9 e$ W0 R: C% y, [6 Sy=interp1(x0,y0,x,'method')
0 G: n% j7 J/ f$ P3 w2 T, t) }* w6 Q2 b4 ~
method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
4 Q' k3 |+ z4 j
9 {4 B8 t3 m d: m# M( `3 @4 G'nearest' 最近项插值
% b7 i8 o+ B( J- }4 W
9 W+ |9 y/ y4 O# `2 ~1 v+ @ ?'linear' 线性插值
$ k- E7 }5 p8 F
, @( N0 l) \* o0 U: p- o/ F1 r'spline' 逐段 3 次样条插值" a* W% K2 s* h3 `: a9 k8 L) C: a
! p2 x" s( ^6 f0 K. _9 E+ W'cubic' 保凹凸性 3 次插值3 t4 e. x1 W2 h
6 q. D$ p4 z' X1 E% E$ X
所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。7 z; a6 S! x. d, r" k
w/ Y$ b7 O0 ~# z, d
4 埃尔米特(Hermite)插值 5 a* H" p4 H; n$ X3 i8 C
4.1 Hermite 插值多项式 9 [) f3 i3 O w- c
如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。
2 Q' r; U$ v0 b. R5 {; E" p* v' e2 @7 d9 T
6 P! `) k, }" `' G- v- _+ P
![]()
9 _! C2 q# ~% q" ^! C1 K- J; o U# e( {) P$ @# n
6 M* ]' M: h+ m5 x4.2 用 Matlab 实现 Hermite 插值
* \4 F0 \+ a$ gMatlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。
3 h5 J7 |6 j6 y& O, L; L7 Q1 l1 K/ H$ I, W& r
function y=hermite(x0,y0,y1,x); - }2 g; b; q( ]7 f
n=length(x0);m=length(x); , q7 w0 i/ R* Y* J
for k=1:m
7 g7 R9 G( o' ^5 I8 f yy=0.0;
* L8 t) J" \, M5 M for i=1:n 2 i" L+ Y1 v$ M% r: u" D. Z
h=1.0;
- l \' O/ p# E1 t a=0.0;
8 S( R8 s+ p8 ?; H: d7 g9 u for j=1:n
! v4 ?0 C9 M- ~0 `& ~ if j~=i
# f7 M1 Y2 r" L9 x: O h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; ) j8 @$ n! R* f5 g6 A/ Y
a=1/(x0(i)-x0(j))+a; % w9 h4 v0 M$ y T3 ]# @$ U1 S4 Z) o
end 8 U/ z( u: V5 P/ N3 M5 n# i
end
5 m: L0 J$ h1 l7 O# ~! C, ~9 E0 [ yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
( ?$ [+ z: _7 R `3 c7 `1 R1 h end : L1 a7 `1 P) a, H
y(k)=yy;
+ v* Y/ ^7 w+ g- qend
% \. s8 _' n0 F$ ~6 K# @* }4 f
q8 M$ D1 I) g {/ F
& F" a6 C* l( M* y# b
5 u+ T$ M. G9 s! Q# D, N![]()
6 d+ o6 J) c# w' |: J8 P& V
7 z# b# i- [. F' N5 样条插值
3 L3 V( Q. M( n# s8 R许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。2 t9 i+ O5 ?/ H5 B
+ c+ Q- L* M Q/ @: o/ }. b6 Q
5.1 样条函数的概念
( l8 \7 S2 Y/ [; L8 p' @1 M9 B( m8 j- G+ b6 C- }/ D
所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
9 R# M; P; `7 _9 Z% f
. o' }# e6 O. \3 H. `/ W( K 内节点 、边界点、k 次样条函数空间8 e2 I. K% J! b9 t7 @1 d u
7 c; e }0 n/ x) \5 R# Q![]()
6 p6 O) u8 Z: p5 I+ B# p* P) j% ^) d) f& L4 V' B& X
3 q" p! F7 s1 f0 A6 F! }
% D* F) t. k4 a( t! f- p* W/ y. U& S$ o+ `3 l# f
二次样条函数
: C& T# [6 F( s* y8 K: ~* F
7 w- R% v4 K3 o3 P* {1 ~- l![]()
. W' z3 @4 a0 F* E7 _8 S
L8 z- v* P" P# l0 x' O& v三次样条函数
) h) P9 F( H, d* L) T- ]6 h
" ~. m2 T- [" r) L4 o 2 c3 n: Q+ _0 [( r
B0 V5 u3 B$ S* {7 ~+ d利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。 Q7 D0 d# {5 p
+ W8 D4 o) L9 o0 B5.2 二次样条函数插值
& r- G$ G1 A% b( ^) G两类问题
, R' U" z$ j# k9 K! i
5 b- R3 A+ x! Q5 v![]()
: G' v/ Y2 e; P$ m# f( h4 D* i. t7 n
证明这两类插值问题都是唯一可解的1 d% g+ V0 d O, h0 W
2 @$ e; Z: ~. | " x3 K; `+ ~5 {) h: }7 q* `
' i( ?# d( {' @; }5.3 三次样条函数插值 ; @9 F6 y C8 Z, v
2 w- z" w0 Y9 v) ?, m; O- i![]()
7 j9 |7 V) o( L% {# v
2 b2 m5 Y/ u/ N2 n p 3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
+ P) G( r' y8 V0 n& ~; F4 [$ K, y; {1 r i" L
![]()
5 N2 N3 s$ d% Q% \: i
M( W: R4 O7 j5 o, y* T. {- E![]()
0 n" u9 k4 }# R0 E- e5 i1 z: G4 ^" r7 M6 n) e2 `4 J6 Z* i
) @# ~1 ^3 w, p$ d
5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现 . Y* i; D9 N2 |. d+ n. z
在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。5 R* R3 X5 L0 _+ u+ r: Y' B
" N; a! {/ m5 N6 F) CMatlab 中三次样条插值也有现成的函数:8 r5 _( \1 A0 B0 W
y=interp1(x0,y0,x,'spline'); ( B2 g; D- d' X% n6 z7 I
8 V/ I* t0 P2 c9 k' R7 }
y=spline(x0,y0,x);
, ^* I, q! B" L7 a* H" b9 t" O" h4 h8 Q. {% T# c- u- n7 G
pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)
+ B, r) }0 b! i9 f& S9 k( d9 l; p8 r; e7 g
# O1 M# Z7 h' L9 L
, h9 I0 V8 d1 [其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。7 C9 A4 j$ m L7 J1 b) T! p
0 k: W" D& m; Q' }4 D' f4 Vpp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。. N' @& z$ z5 l# x, }. g' _2 _
6 F. M2 h$ k7 ^( j
pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
+ }+ x& s s* J+ ]2 L* W
3 J# r# O& r( L/ f'complete' 边界为一阶导数,即默认的边界条件
; K, ^8 L: Z; Q6 p: O'not-a-knot' 非扭结条件
; C- X9 t. J4 ^, C* ?2 ~+ I'periodic' 周期条件
/ c- n, ~4 W* b'second' 边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。7 ~5 g( r5 n7 p: M _
'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。
- P* U: L& N" p9 F l5 C对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令8 m1 w: h2 g3 e9 B% b; _
: N* s6 K4 G+ b, Q$ t4 {
pp=csape(x0,y0_ext,conds) 5 Z7 c' n! W8 x. }7 `2 c2 i
; {$ Q1 b7 ]+ z2 J. S
- m+ N G6 p) x2 a) J6 l
$ ]4 y E: }- ?( ^+ G% w0 ?
0 I/ N* b f- j' u1 f其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。- P2 x6 {! I% d; c% i# Z/ h
8 V y3 I0 O# M6 g W+ F) X+ v
conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;
% p( U4 T Q3 T) g. d8 x* j
0 `9 u r/ h: p! o6 X, x# S! O( @conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。; n2 H. ]& e- G' T' h% U
, J7 E& p4 `/ x; p/ |) l2 A- x$ O% v
详细情况请使用帮助 help csape。 / R6 C k( J1 q- Z
, _+ X- R, {! ~% G7 a) F7 ]8 S例 1 机床加工 0 }) J# {% y$ v5 g' y
6 B3 z; y% z( | / M. k. V. ]$ L6 E5 Y3 o k. }
' w! \ z0 G! A5 F7 C1 b解 编写以下程序: 1 M& A# E& y$ _5 [' j# e8 Y$ U
clc,clear - G, t& i; V. ^% u
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
! k* \- m5 ~" Y! _+ K$ I, ky0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; ' _+ c1 ?% d$ `8 f' R' M
x=0:0.1:15; " i# H& |3 w- l; x, l" C( q _) X7 u
y1=lagrange(x0,y0,x); %调用前面编写的Lagrange插值函数 0 N5 N$ b4 c& ~* r; X' C
y2=interp1(x0,y0,x); / \- @( ]9 m# N: _' N
y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); ( ^3 [, X& c! U# S6 h) _7 Y6 Y
pp1=csape(x0,y0);
, U4 x2 Q( X) Y* ?* \y4=ppval(pp1,x);
" c+ x6 Q, ]" W, S6 fpp2=csape(x0,y0,'second');
9 @' H! R) ~ ^$ T. gy5=ppval(pp2,x); 7 C4 w U7 v: f+ H
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
- p/ z' b( j" A0 }5 o( X2 Ifprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')
3 m8 f% P6 d1 u! Hxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
. B6 k/ f! H5 g; Yfprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') ; i3 P% s/ q) d: r: E
subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
A8 [/ y- v1 j- g# Osubplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') . E* U. T% V! u' I# P s
subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') ! k! w. }$ S# O0 s/ D9 R
subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') # \( R1 C8 o7 P. |; h
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数
) ^3 a. v* L* }ytemp=y3(131:151); + V" n# {' @3 q& D
index=find(ytemp==min(ytemp));
9 M- P$ [0 Z# u7 {5 x" nxymin=[x(130+index),ytemp(index)] / U- W# o5 s$ \# k
, F8 m7 m3 B! r& s _6 C
计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。
4 m/ ?' i. [ U
) l5 {1 I6 E( F5 ? Q6 B 样条函数插值方法
6 n+ d' V. ]' | s4 h+ j6.1 磨光函数
3 d' i6 G& R8 v$ \/ c实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。 4 I7 l% x( T" x+ y
/ \! [' m. O# U) B# E" r$ e9 Z - o+ i& ~6 x7 w. w E1 c, t. E
# v) c) v* i: c3 @3 i! W% g/ \: y
6.2 等距 B 样条函数 4 M) x/ D. k8 g$ E+ l
2 x9 \1 _9 r4 W9 s+ ]![]()
& V. c9 J! h3 E6 U: O9 a. a" \$ l$ t: s; ?
![]()
$ u8 k9 R' z% d1 y: s W4 q: i4 U1 D* S
) G$ Z- |: k" F* f& P" [
+ I/ ~+ t8 I- f- U2 x7 F5 u
: D; u( y; P8 s |* X4 d6.3 一维等距 B 样条函数插值 ) I0 }: a0 E! w/ ^$ M0 }6 m- Y
等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系:
# S, }# O% u! c: s0 ~: {
1 j5 Q7 |% \# z![]()
' a+ i9 R; R' s4 d g/ ?, O3 x; z) U p2 w( s0 h1 g
![]()
8 _) Y9 P" R( ?6 K% k8 U8 _1 G e X( N0 F% j2 o( J
![]()
7 |$ u6 G$ o; L/ _8 S7 M
0 {# s/ f1 C( Q8 h3 J6.4 二维等距 B 样条函数插值
" k1 v7 D. u! ~
& c7 c, _' K: k. E5 E8 c ! N7 r8 H" w, j4 z* R& t
9 c, s+ |: G0 ?% P
7 二维插值
9 |. M) g- \$ P前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。
5 A2 }: d) w7 J) t; e" x/ R8 R; l) s1 f7 j
7.1 插值节点为网格节点
4 V4 N. Y! Z6 [6 i- [% J b! E) Z3 \; G; ]0 e
![]()
9 M, H. y0 s6 \8 B3 g/ ~: V$ Z
* x2 g7 j2 Q" `8 P2 B5 E! q, oMatlab 中有一些计算二维插值的程序。如
/ H( r( i+ z) v2 o
# o( W8 @' a N9 v \
9 a( U9 P; {% p7 G g# ^z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
, h) J" h8 ~& B
7 i) v& Y1 |1 N8 }% k F! G& Z. b
2 \0 z+ c) l3 G2 M
# B. _- w& }8 w& k" z6 V4 N% o- r! f( v# A" p7 D. ~
![]()
5 j, N8 f! d! r5 F% L
# K! H5 `! z. U( H3 x如果是三次样条插值,可以使用命令
( w% i4 A6 N# \, V/ j! O4 q* J; I: ^
( u; [' T, M* q4 U9 e) C% r# cpp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
0 ~; Z4 p4 a: z- b- l) V
, f: g; O- P* q+ E' y![]()
( E0 m& z( W# u' [# ]7 A, _- w8 |9 Q6 m X/ A# L/ h, r
clear,clc
+ r2 T& J# p" ~5 ^2 Fx=100:100:500;
1 H; I1 }) o% |" p" T8 g+ s. py=100:100:400; 3 w* S% `# F/ w& H
z=[636 697 624 478 450
6 M; i. s9 Z( T' d9 E8 q- |0 d 698 712 630 478 420 % Q9 F9 Y& m7 \; s4 A4 ?
680 674 598 412 400
$ u8 F h8 e; n3 n" Z! ~+ u/ ^" G 662 626 552 334 310]; 2 u. Z. P, [: N3 X; {" M' V
pp=csape({x,y},z') , q8 F1 [6 K, {1 X+ {. N) F- f; i S
xi=100:10:500; yi=100:10:400
; W. D% W- Y6 Ccz1=fnval(pp,{xi,yi})
9 P3 O. j% q' \2 |: Xcz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline')
2 U% k- f8 a% C0 b5 Y3 I1 P[i,j]=find(cz1==max(max(cz1)))
& `* }1 O" \* S# G$ \# R/ r% `7 {x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)
/ U# i) p: b- G- u- o2 }8 n8 p. p" c1 w, y$ \- O1 `: L
0 Y% q1 Z/ J* O' S) M
: ^# }# A6 t( e, o% L! D7 D
7.2 插值节点为散乱节点 ![]()
对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:
5 n5 B! j/ p" d9 H) NZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
) ^. t0 ~2 G$ ~6 d9 w
6 L! P2 Q% W Z$ m" X+ ^6 w! Q+ W9 G( R5 L/ S, G$ D4 m
0 Z9 u' r5 D/ u% c3 g% y$ I Q5 |- F! I
$ Q) q5 h1 z) O$ n" j @ d 1 [/ @) n2 k0 v9 u8 a; v
# c; Q# c$ a4 L. u# h例 3 在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 2 N8 ^; I, S/ ^" X/ \* @
- V _ E7 G& v" G
) f; e3 \9 L' I0 O6 b/ ^, |! h/ _
) X2 e5 q- y7 n7 a
解 编写程序如下:
, N) p( F L' ~; S* Y3 o' G- P
- W s2 S5 s4 _$ \ i- px=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; # a% c k( I5 D& ^( H
y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; 9 P4 j' A4 t: F* \
z=-[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]; : T" h9 A( S8 A% U
xi=75:1:200; # v, l9 p, a: C+ D& l0 |9 O
yi=-50:1:150;
; H. M* @6 \, ?zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')
- ^" u! m& d8 dsubplot(1,2,1), plot(x,y,'*') * i& q# g0 m2 m+ B; F" w4 P
subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi) - H' j0 J; y( E" G. ]! W' F
" Z/ `( b6 f/ K+ ]! f+ i* W
4 v+ u% Q9 u+ d% B9 L- p
习题3 |; S2 F, u) w
# p$ x7 W- ^% g$ @
9 V' Y! A% j6 H5 N' }2 Q6 y% v6 w
9 K" V5 l/ d; J1 F) D/ K& ]7 a- V
3 S- v5 _: d2 M, U( E1 Z
————————————————
" f) R: |- r. J* b2 w版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。0 y& `: h5 f+ F$ ^! D9 P: `
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) w3 R4 S1 N! V* @( @# W: {5 G: z# _+ e. i2 Z3 ~: o# ~! W
4 B% z* a/ Z# s" e- {3 l
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