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[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

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    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
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    1  拉格朗日多项式插值 - r$ y& X& X, }
    1.1  插值多项式 ! \) l: Q) t$ j; w4 d( X; T9 ^6 q

    : _! K9 d' y/ D% W0 g8 S5 Y3 {" G9 {% j0 K

    ) n8 h1 ^, U, R4 ^8 q范德蒙特(Vandermonde)行列式7 c% E4 c' ^* |9 w

    * J( a2 @3 _3 l" z  v, q
    ; D& ]; X+ i# [, k0 f5 T
      B! }, n7 b! R; z截断误差 / 插值余项
    $ `/ h( H4 u$ v' f" X' C6 b; M' {5 H5 T" @# x9 g, m+ I

    8 n, z0 l7 f/ W$ i) T# D% `! v8 o0 E# j

    2 @5 Z/ q' P6 u2 d. f$ o$ ^- A1.2  拉格朗日插值多项式 9 m  |/ ~  M1 d

    2 w( B( T6 y$ x5 ?
    ( e) A: f! `" R5 l9 N; ~
    0 z- }) `2 }6 k' x5 Q- m1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
    % F8 e8 e3 t' f: q  AMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:7 ~  C# ^1 ^4 c- s6 x5 i# T
    8 x  \5 E& U# v
    function y=lagrange(x0,y0,x); - e) m5 S  m% R
    n=length(x0);m=length(x); / Z* o# ^8 L( s* d5 }) [
    for i=1:m   
    ( x0 r" R. b- y8 E    z=x(i);    , ?; }; B. R' x. |; U) m3 a1 j
        s=0.0;   
    : T2 H9 b1 J9 R) L" X+ p    for k=1:n       / w3 I% a8 ~8 [! y1 D
            p=1.0;      
    - H0 A7 X7 M0 o8 y  _/ d5 G  [( w        for j=1:n            e  e, I% E" [: @  h+ ?3 |- w
                if j~=k            
    6 R* D, U$ e  ~+ Q                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));          4 l, S  @$ a# Q& P
                end      
    ) V& s0 I5 W& j        end       / c/ Y9 P) ]# s+ j8 h
        s=p*y0(k)+s;    - g# Z: D% ?3 o1 x$ D; u
        end   
    6 C/ ^) B: S* U! Yy(i)=s;
    ! p. n+ T  v2 f* F! e8 {1 b( oend
    0 ?' ]: U9 c, ?' }$ z* O+ J9 F, D" F% ^: z5 s
    2  牛顿(Newton)插值 # \9 }9 [* J9 B
    在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。: N7 s# x( k. M
    ( t$ q6 c4 ]% P  h+ n
    2.1 差商 : 定义与性质6 ?# T5 m8 [( s; J6 z- t$ n0 d

    9 l. m" y& \, ^; v$ X3 s1 P/ o9 C; H2 d7 }- N) ~. ]

    - z8 _- H3 ~4 Y+ Z2.2  Newton 插值公式 & r: q2 x3 @* k8 V5 J

    / [$ k# g1 Z6 u' P2 g6 [5 {& v0 b& p- {3 L- W' o# r1 Y" w
    2 h% b' n2 ]. m0 Q  E: f' F1 a

    1 s1 x- I9 n) p1 o; CNewton 插值的优点0 D$ x9 [1 u  C6 H! l( y/ f* P
    - n/ X3 {$ }" G1 k2 O
    ! R* l' h% x2 ~* y& ~3 T, m
    # \$ q: e% ], y8 `2 o! O
    " [# u0 p9 H3 \1 Q! r& j
    差商与导数的关系 % g* Z5 [% \; x
    9 f8 X. N0 b3 O0 |5 T

    2 h7 B" e8 a4 d& F
    # O5 F  r6 i' f( g3 G; R2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分6 l/ `/ i2 f2 v3 W. r6 W# B
    当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
    9 k+ ?3 _3 c9 ?0 e
    ) V: O9 z5 a8 a. G2 i1 F* C
    # c% a: o# @$ P! C7 }8 [$ K
    6 e/ |/ S. E5 @+ l" A6 J# R; A" P0 c, }9 q4 G# U7 K9 }* {

    8 }$ _$ w( X: ^8 `/ v8 C差分的两个性质
    # J' R3 _5 J2 }  g2 a- N- W4 U(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
    ' f' p* B# U5 |5 y5 y/ {0 ~  p: k
    : B9 i0 }3 l' I/ P: M, m2 K6 }, C' X" e! v
    7 I$ K( ]$ c; r2 f7 B5 x& {
    (ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:
      G8 N" {- z0 e# L) u
    " Q' E; M9 T: @# {* V' ^9 _% \, Y& j! f! L
    ' j9 K6 e8 ]0 N! J/ B
    2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式  x- m* Q6 w+ A: y* Z+ _5 i3 a: P; h

    . p- |9 X+ k# o' I% O$ E2 c; {9 @8 H3 n
    5 s' w( m0 _0 S
    3  分段线性插值 : Q* c# o% s! S/ [* }4 W8 ^. y) z
    3.1  插值多项式的振荡 " Z" t) `; ]5 s; a
    , h5 ^( w7 U' C3 x" F$ |$ P
    + Y" S- E/ `9 d

    0 D4 Q/ b; B! _) U% Q; o) A
    , h# d, @3 V! |' S# O; x高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。   R" \# X2 E" z2 a
    4 V( t: n" a! }9 D5 l4 s$ G
    3.2  分段线性插值
    - K$ A2 E4 k% [1 a" w/ e. A4 ?. n& v, u0 f2 v2 ^
    1 ]9 V; h, M, T" A6 ~. W
    0 P/ S4 Z2 x- r) L" D* ^

    * }% h9 p8 \  Q" i
    5 q7 R" X1 u& ?* }
    # C/ m) t) N* V用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 ' Z5 p* ^& f, P4 q. D; G2 f
    0 q1 m+ v* q7 |  K1 t
    3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 ( E8 N7 {. ^/ I# ~6 @
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。
    : b3 ^* \/ b$ r! I4 g3 D) _: L( N* [" y( f. L' V6 `7 u
    y=interp1(x0,y0,x,'method') 2 ~% p2 ]3 v* v% I- \' I

    , w! G! B0 ~9 _% R, G" ]( M8 umethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    " S$ A5 ~! H" W$ X* I. V. Z& J
    7 \  p' b$ `, V1 X* U0 ?'nearest'   最近项插值
    & {9 f! a# O- Y" O
    / I4 W4 ]# J  M' e; K5 G'linear'    线性插值
    ' A' [. H' ]* C8 I1 M" P! ]% Q* T% R: K8 ]/ t
    'spline'    逐段 3 次样条插值
    : u. z/ S, C( m- J0 l7 z
    : K: }+ s: Y0 |5 a'cubic'    保凹凸性 3 次插值& R) n5 U' \* ~7 J

    0 l9 m# C( @( v 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。0 l3 B! `2 I  U- ?2 \7 e" U( ~9 u
    . i! L  F" a) E5 b; c: O* d# s
    4  埃尔米特(Hermite)插值 / v+ c3 w3 a7 `' C/ ?7 [
    4.1  Hermite 插值多项式
    . B+ m4 T' x' n: b3 Y如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 % U$ }; A0 p/ N5 Q' O
    / [0 d( T2 G& J' T
    " l8 P" Q, ^% Q; G! \; E  p

    . q# B5 d0 B) R$ t1 Q3 [# z! i6 {5 R
    & c8 T1 w! Z. C; R4 p) p
    4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值   o' y6 U( ^0 b- a' b" h' |
    Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 ( b2 X5 N8 f% U% c+ R  Q9 U

    1 {9 T9 m6 A% Z+ _" J0 F4 Mfunction y=hermite(x0,y0,y1,x); - [3 ^; l+ Z4 o- w
    n=length(x0);m=length(x); + d" p2 ?* I6 `. w
    for k=1:m      K5 P1 \; n% ^( Z+ ^- x' P8 {" K2 Q
        yy=0.0;   
    $ g0 y. T0 M( C$ z+ \1 r; |    for i=1:n       1 r( q( c0 h' B) w! y4 A
            h=1.0;      
    7 m# L  ^' c# Y5 a        a=0.0;      
    % Z9 |5 g* F' W( m* {        for j=1:n          9 e+ m5 f2 `$ F% s
                if j~=i            
    , C$ ]9 c, x; u, h: f                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;             # ~2 k' x0 F- x
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
    % t& I, n& z: b) _( \. f! n            end       ( u2 `2 F- T8 I' {" B
            end       $ O/ n' f( h# f9 |. O- J
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));   
    1 O0 q9 O6 s" c; E3 \    end   
    ( d( g# i1 i# P# ~  \/ t    y(k)=yy; & c9 {2 `3 m9 L" I  i$ l6 K1 X
    end
    . o" F/ e/ ~* N9 e
    6 a7 E' b0 ^* K% w( x, c0 G
    - B9 ?5 Z$ L! y1 V
    2 |0 C. ?5 |6 `
    & _5 ]5 a; v8 V' T+ U  n, l% c8 e/ ^! \6 f3 t) V# W
    5  样条插值. I! V- |) O% c! b
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。! n5 C+ j$ ^* R( ?

    1 `/ U. b5 J' \2 \( j' m# g5.1  样条函数的概念3 }+ I! k/ t! a

    . ?8 W5 d# s5 q, @* n所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
    8 [! B: ~5 r8 H) V0 \" {
    , C' M6 M+ H  ^( a0 W9 Y    内节点 、边界点、k 次样条函数空间1 Z" y3 Z& i2 _  c6 Q7 Y
    0 T& c  P0 D! f! b) J+ e

    1 d2 l$ w$ x9 [* N8 c, O# n/ \5 g  y% |8 x5 S9 p
    ! d; Y6 n7 u, H! C
    2 L5 a/ U* M  _
    5 p4 d. E# t7 u9 L
    二次样条函数& U% h  ^& s" A6 g
    8 q& d7 U8 ~1 j" J) M& \+ o
    - Y+ m( A3 |/ v9 \5 O2 F% g/ g' z
    6 O0 o/ ~$ D# Q# g1 z3 P
    三次样条函数3 b- n# c' B2 P6 i2 X5 M5 D

    . j' C' ^5 y. `- `# [1 ]" s0 a: Q. c7 E, T: k7 U# {# L; z

    ( X5 ?4 f& Q# X利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  
    3 k8 P2 v0 l6 }- n4 r* Q2 i# P/ A! y/ k& i3 [
    5.2  二次样条函数插值  
    5 {/ i# X" j& s两类问题
    ) U5 {) [3 {0 l3 o0 @6 Y% C% C+ w0 }: _. S; O" B, U/ G! U7 c7 R

    / A) @+ E/ K6 [# Q6 v8 w% g, k* M* y5 R. n2 O/ ^: k
    证明这两类插值问题都是唯一可解的
    8 u! n$ ?/ b3 I+ \% L/ K
      c7 ]! p% D; H/ Q1 H6 s( I
    / Y0 i, l2 ^# Y
    ! `; N# w2 ]* g5.3  三次样条函数插值 ( E; f+ C2 L+ R: @: ]

    4 Y9 E0 E* o0 E- Z# G- j/ o1 G0 Y  F" g* Q: `6 k* s7 }0 [* w, n
    9 I' `# V1 Q& j7 A- _. a3 \) Y
    3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件 / G8 i, O  R& ^5 A7 }1 ]- P
    . _$ b$ ?7 n. _# m0 l
    5 g/ `# ?8 e1 L$ M

    0 t8 x) F; |+ c7 [+ N1 j" d$ l
    5 t) O) _" X8 j! a
    6 _; u. D, a6 o3 [2 C* q% J6 M/ y, g3 w
    5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现
    / K0 ]; M& b3 @" x0 O! G1 `  h" {2 a在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。
    6 ?2 a4 H) T8 B# t+ n0 ^: C2 h5 O
    7 a" c# b, O3 R4 a0 J9 o2 A" B7 BMatlab 中三次样条插值也有现成的函数:( d1 ]/ h7 o2 m' s% I! C& V
    y=interp1(x0,y0,x,'spline'); ( L) o/ \1 {1 x' r& I: w

    " T8 y* q4 Q6 f/ Ay=spline(x0,y0,x); 6 W8 d1 H# `& d6 N& J

    , L' B* A; K6 Z8 \0 b& Z5 o1 A4 Zpp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)
    & `' F& `# G9 u' O  |) e1 |: `2 t, P& U' F- I

    ) N  Z$ D6 l  @- j! d" \9 S& `( d
    + D- {( x0 T0 d* s9 _1 q% q- W其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。
    ; W( F6 }6 u7 _% ^/ p6 d4 e* ]& x0 c3 g# q' C' u
    pp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。5 \  i; }% w5 k; C% F6 w! q7 R2 x

      N: i" E- r; p! K) I! x; {$ Qpp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:+ f9 ]' ?# D7 n' b9 T

    7 G# D' q& }4 D4 `'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件2 m% v  H4 e8 `: `" K
    'not-a-knot'   非扭结条件  
    - Q  n6 Y* I0 \2 l5 j$ x'periodic'     周期条件
    1 a0 {' E7 D) |; ^) d$ l, E3 q'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。
    : s5 ]  ]" t6 f7 b8 B" }4 ~'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。; Y: h$ R" B$ i, b1 X& v. p6 |+ H
    对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令
    / L; U5 ~# Q- C" {9 [+ q$ d- o' E
    pp=csape(x0,y0_ext,conds)
    + {; {; f9 p3 q9 h
    7 P9 z% Z/ \' l! K+ ]7 _& n# ~  z9 D+ l3 f2 V. L: I0 B  Z% C5 m

    8 `' x6 L; w' j2 x$ e/ c- ?: W+ l2 P: Q4 v( ]
    其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。/ b% N" ]1 s: {' ~- m
    3 H8 h1 P# r. ?4 Y" P+ _# s
    conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;2 g( a3 ~" s; z/ k

    5 C/ ~+ Z% g' S5 K% nconds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。
    , g* p2 Q- U5 F- d2 L! `: X* I  U% k3 T: s
    详细情况请使用帮助 help csape。 9 S7 W- l. @7 h

    0 a. n3 [0 o+ ~, G6 J9 b/ ~, h例 1  机床加工 1 L4 E( ]% @& }! D+ ^, \

    / o$ \# e9 T9 \( T, u/ k! W1 z
    . ^2 \8 A; R7 p, T& ?# W' L; E5 w( ?" z7 S
    解  编写以下程序:
    # E& r2 o6 w' z* zclc,clear 4 x% S) a" Y+ [8 k* n& E8 b/ {* G+ j
    x0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15]; - @. Z7 P8 \& m9 a6 v
    y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6]; 2 B3 ]; c, r7 g8 U- a3 j) ^8 ]
    x=0:0.1:15;
      n% n; I& L, l  Vy1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数 ! s2 K8 k1 _& v/ }
    y2=interp1(x0,y0,x);
    7 K  B! A$ X0 s8 L2 my3=interp1(x0,y0,x,'spline');
      D* |. b- Z- T" @pp1=csape(x0,y0); 1 J8 w5 |1 x( C% b$ Z7 P* f
    y4=ppval(pp1,x); 1 r" K' v- B  h+ j
    pp2=csape(x0,y0,'second');
    ; a0 A$ S! F/ }) M; Zy5=ppval(pp2,x);
    & {3 b4 E6 H0 F! a$ kfprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
    7 g) L7 ~8 e# z- {5 Q8 s: X9 a* v% [fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n')
    # m7 L( a0 o+ D9 r+ ?4 dxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
    % c4 ?' l# l( [  afprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') ' x% Q( b- b! D3 I' g0 Z
    subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
    ' f0 G! }  W- p- E$ Bsubplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
    2 k7 L) y5 X; h1 G& n) Zsubplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') % ]& g: K6 j3 S  j) L( s
    subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') . T2 g' _* S, `+ P* h7 S
    dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数 . Y- E6 g6 P1 ^
    ytemp=y3(131:151);
    0 W8 c6 x: C" pindex=find(ytemp==min(ytemp)); $ u! H2 e! o- B; m9 m8 x
    xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
    7 a$ @: L( Q3 M' J
    ; j' b& R: g# W# }$ N7 r' F计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。 6 x6 ?( v8 z& S& N+ C

    # f" w' E" }7 ~* V# b5 p6   B 样条函数插值方法
    5 }$ P( l! L9 x! y7 n. m3 s& Y9 Q6.1  磨光函数 ( H  C0 y* k$ L: `$ E3 l) @
    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。
    , ]: x& k( F  @: ?/ D, t* m
    # J0 b* S6 P, k2 Z5 q6 d9 ~, }' z8 [7 u& q8 K* r& t
    + S" z3 r& T! C& W+ T0 C, w" @. H
    6.2  等距 B 样条函数 0 K2 u: A) h; Z- u0 ^, d% i
    : u* |$ \! {; T9 D1 ?6 x$ D# q+ Q6 V
    0 g) H$ h3 [5 j: B: W/ ?/ H
    / a! S" x3 Q1 U5 _
    * P- Q" v! M3 a: W" t5 Y$ Y' f  L

    # H2 @- O; |2 F# R% W% D) h  B" J
    6 P  B$ R% @0 S5 p/ ]8 E
    ' {4 R1 X; @+ j  B* t5 n* e# t; j  R! R4 d9 i' U
    6.3  一维等距 B 样条函数插值
      ?! Z6 t7 C* A3 d. @* t等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: 3 q# N2 w+ I5 }* i, p7 F
    5 d& p9 j% |# y5 Z9 T
    " L$ q: g3 W9 r' w) i% j' ?4 J
    2 ~. s8 h- U- M- B/ |
    * a* c; E  O6 O3 L3 D
    # [$ ?1 |# x+ _% K5 \& O- g7 ]2 r

    8 X1 ]1 @+ @! n, L
    & z& [& Q( |  p" v6.4  二维等距 B 样条函数插值 % H4 F& A  |6 h& |$ \% X" d4 {. B

    4 N( J$ ?6 D& P" Z% [1 G& S$ x: Y

    6 ^6 A6 L) \4 H" C) B7 二维插值
    ! J- V/ A9 }; D4 f0 I( C2 }; g& U前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 8 j3 T" I9 ]2 O, d, S+ a  N
    2 J8 [3 U/ _! H+ Q6 K
    7.1  插值节点为网格节点
    & C) L" c, P0 V. j5 p- Y
    / {3 g1 K5 o8 u2 E  x4 X) m3 Z# R5 N  |0 M4 W3 Y, J" n" H8 ~

    : G; F! {' ?; r  E4 }Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  0 [4 n- f1 _8 d
    ) d8 U/ L, e0 D8 ^

    6 ^. q; z8 S4 C7 H8 d* p( nz=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') 5 D6 A$ Y, q6 |- u. \
    2 }% b5 O4 s2 A
    " H( z1 X, L' i2 B) a! M
    , _, Z9 s4 K7 P' `4 [/ {" z( r
    4 l( X2 L. w& i& ]! k1 H
    , }: R& ]8 s+ M' X9 ~

    . P& y( H# t2 C4 O# s, F如果是三次样条插值,可以使用命令* y7 d# u' c: D/ m+ E3 p8 \( \
    6 L* |. z/ v  M, ?( ^
    pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
    9 {. _7 ~; I+ \; c
    + V$ S! n3 @$ L. [; d2 M
    5 d& `$ U" L! i" D$ l3 c. H$ Z" \% P) a1 y1 Y7 H* E' x
    clear,clc
    1 Y& Z' Z; m2 N! L& j+ ~9 x/ T! k' rx=100:100:500; & R. A. Y# @% |% \8 D+ X" O
    y=100:100:400; 6 K1 _9 b- ?) u6 e* S
    z=[636    697    624    478   450      - ?. N) y: n. V3 |. |# b7 g9 m" \
       698    712    630    478   420 4 `; u* _6 t! h. T5 p. @
       680    674    598    412   400    # L% R5 s# H! o; }# u) {
       662    626    552    334   310]; ! e8 {7 Q. ~0 \; F6 j- [$ A5 l
    pp=csape({x,y},z')
    % T+ U, B6 m& P7 zxi=100:10:500; yi=100:10:400
    1 Y, d7 L+ W9 E9 wcz1=fnval(pp,{xi,yi}) , C  V9 G3 e2 h4 s+ m7 {" J
    cz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') % c- W7 d1 `9 t' _+ G, T8 B
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1)))
    2 J- j9 }8 r; f! |# b2 Z1 bx=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j) ( }/ [! w: v2 i# _* n% G

    8 z& T: R0 `) Y: G9 |7 f  h
      S( v7 V! c0 |: ]
    8 |$ H& ^: x& F/ `  E3 ]! I- _7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:

    " R. J5 @) ?; A- H- w3 M/ v
    ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI) - @2 d0 r$ p* Z$ H

    9 r8 A2 i! d& f) B4 J6 t
    " q" x% f) G- ^4 ]- ^  @; B4 b- I
    $ O7 f4 h$ ?) n& L( J4 D3 r9 d% `- k; Y: g; h
    8 e- R4 k7 m9 R7 f; x' O; R

    3 A3 x( p# D0 h
    * d# w+ F  P7 E4 a, j( l" Y例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。
    6 ]& t0 G! j8 f# s3 k9 C7 D
    4 j# X; K4 F) p  ]+ C* f
    1 r3 j5 S4 @1 P& W) W# \% Y, O& M9 d# v" i
    解  编写程序如下:
    9 ^( H$ t5 t2 R0 s- ^
    : g: O, S1 y& k5 V# tx=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];
    : f$ [2 u  [$ A& Fy=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5];
    * u7 ?7 z* L( ~3 }& U! v. gz=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9]; . S0 E; T4 E4 Q! |% @$ ]/ ^
    xi=75:1:200; * g8 C) V% i! E. b/ P" m
    yi=-50:1:150;
    " j% \0 W7 {9 e- C3 N2 K2 zzi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 0 ~; x) P) x" z
    subplot(1,2,1), plot(x,y,'*') 3 b  E2 j" `; x
    subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi) ! ]* g& v5 P. a6 Z
    9 s0 }* |4 f5 B: P' e
    . J5 b# b9 P, X! q1 y0 o+ z  r0 ?
    习题
    2 h  t/ U$ M" I+ |# G: @0 Q4 y. a  E: J
    1 J# S6 l% S; H: J% j3 }4 k

    ) S8 [1 S- y4 {! S: a
    , M- ~4 `- H$ |7 K————————————————
    8 t8 M) J0 k7 ?, _# N版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    ' \8 G6 a% E# c( w: S: R' O原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179
    3 p: h" s$ A8 m8 Y6 k  O" S# h5 Z8 a$ ?+ ~* x! S5 x

    , t4 P1 n0 C- x' O: e
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