93年数学建模 非线性交调的频率设计，球队排名次问题

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93年数学建模A题 非线性交调的频率设计，非线性交调的频率设计，关于_非线性交调的频率设计_的评注_A题的解答和有关情况

• 建立模型的第一步是确定输入和输出函数。通常情况下，我们选择多项式函数来描述输入和输出之间的关系。确定多项式函数的最高次数有以下考虑：
• 首先，从输入的形式u(t)可以推断出，交调是由于对D进行乘方运算而产生的，可能会产生某些高阶项的交调。然而，问题只要求考虑二阶和三阶类型的交调，因此多项式的最高次数一定是3的。
• 其次，当我们选择使用4次多项式函数进行拟合时，4次项的系数非常小，几乎不会对结果产生影响。这一点在后续的稳定性分析中可以明确体现。
• 根据以上考虑，确定输入和输出之间的关系为：
• y(t) = b₁u(t) + b₂u²(t) + b₃u³(t) + b₄u⁴(t)
• 接下来，可以使用最小二乘法来确定多项式的系数。
• 此外，模型假设是系统外的扰动可以忽略不计。对于输入信号u(t)的次数大于等于4时产生的高阶项交调影响也被忽略。对于拟合出的多项式，对于自变量负值部分的输出也是正确的。
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本文利用层次分析法建立了一个用于足球队排名的数学模型。模型首先判断用于排名的数据是否充分，然后对排名结果的可依赖程度进行估计，并给出最终的排名次序。研究中证明了该排名次序恰好反映了各队实力的顺序。

在模型中，充分考虑了排名结果对比赛成绩的重要性的反馈影响，基本上消除了由于比赛对手强弱不同而导致的不公平现象。同时，模型还经过稳定性分析，保证了各队在表现水平上的小波动不会对排名顺序产生大的变动。该模型在解决足球队排名问题方面比较完善，并且可以通过简单修改适用于任何一种对抗型比赛的排名。

通过层次分析法的运用，该模型可以考虑多个因素的权重和相对重要性，从而更准确地评估各队的实力，并给出合理的排名结果。该模型的应用不仅有助于解决足球队排名问题，还可以在其他领域的对抗性比赛中进行类似的排名评估。

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