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2023全国大学生数学建模竞赛赛题

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A 题定日镜场的优化设计
构建以新能源为主体的新型电力系统，是我国实现“碳达峰”“碳中和”目标的一项重要
措施。塔式太阳能光热发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术[1]。
定日镜是塔式太阳能光热发电站（以下简称塔式电站）收集太阳能的基本组件，其底座由
纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以
控制反射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的俯仰角，定日镜及底座
示意图见图 1。两转轴的交点（也是定日镜中心）离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式
电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场。定日镜将太阳光反射汇聚到安装在镜场中吸
收塔顶端上的集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来，再经过热交换
实现由热能向电能的转化。太阳光并非平行光线，而是具有一定锥形角的一束锥形光线，因此
太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线[2]。定日镜在工作时，控制系统
根据太阳的位置实时控制定日镜的法向，使得太阳中心点发出的光线经定日镜中心反射后指向
集热器中心。集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。
图 1 定日镜及底座示意图
（https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9A%E6%97%A5%E9%95%9C/9109957）
现计划在中心位于东经 98.5°，北纬 39.4°，海拔 3000 m，半径 350 m 的圆形区域内建设
一个圆形定日镜场（图 2）。以圆形区域中心为原点，正东方向为 𝑥 轴正向，正北方向为 𝑦 轴
正向，垂直于地面向上方向为 z 轴正向建立坐标系，称为镜场坐标系。
规划的吸收塔高度为 80 m，集热器采用高 8 m、直径 7 m 的圆柱形外表受光式集热器。吸
收塔周围 100 m 范围内不安装定日镜，留出空地建造厂房，用于安装发电、储能、控制等设备。
定日镜的形状为平面矩形，其上下两条边始终平行于地面，这两条边之间的距离称为镜面高度，
镜面左右两条边之间的距离称为镜面宽度，通常镜面宽度不小于镜面高度。镜面边长在 2 m 至
8 m 之间，安装高度在 2 m 至 6 m 之间，安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及
地面。由于维护及清洗车辆行驶的需要，要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 5 m
以上。
为简化计算，本问题中所有“年均”指标的计算时点均为当地时间每月 21 日 9:00、10:30、
12:00、13:30、15:00。图 2 圆形定日镜场示意图（金台资讯，2021-11-22）
请建立模型解决以下问题：
问题 1 若将吸收塔建于该圆形定日镜场中心，定日镜尺寸均为 6 m×6 m，安装高度均为
4 m，且给定所有定日镜中心的位置（以下简称为定日镜位置，相关数据见附件），请计算该定
日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率，以及单位镜面面积年平均输出热功率（光学效
率及输出热功率的定义见附录）。请将结果分别按表 1 和表 2 的格式填入表格。
问题 2 按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率（以下简称额定功率）为 60 MW。
若所有定日镜尺寸及安装高度相同，请设计定日镜场的以下参数：吸收塔的位置坐标、定日镜
尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜
面面积年平均输出热功率尽量大。请将结果分别按表 1、2、3 的格式填入表格，并将吸收塔
的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result2.xlsx 文件中。
问题 3 如果定日镜尺寸可以不同，安装高度也可以不同，额定功率设置同问题 2，请重新
设计定日镜场的各个参数，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输
出热功率尽量大。请将结果分别按表 1、表 2 和表 3 的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐
标、各定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result3.xlsx 文件中。
表 1 问题 X 每月 21 日平均光学效率及输出功率
日期
平均
光学效率
平均
余弦效率
平均阴影
遮挡效率
平均
截断效率
单位面积镜面平均输出
热功率 (kW/m2)
1 月 21 日
2 月 21 日
3 月 21 日
4 月 21 日
5 月 21 日
6 月 21 日
7 月 21 日
8 月 21 日
9 月 21 日
10 月 21 日
11 月 21 日
12 月 21 日表 2 问题 X 年平均光学效率及输出功率表
年平均
光学效率
年平均
余弦效率
年平均阴影
遮挡效率
年平均
截断效率
年平均输出热
功率 (MW)
单位面积镜面年平均
输出热功率 (kW/m2)
表 3 问题 X 设计参数表
吸收塔位置坐标
定日镜尺寸
（宽 × 高）
定日镜安装高度
(m)
定日镜总面数
定日镜总面积
(m2)
注在表 3 中填入问题 3 的结果时，“定日镜尺寸”及“定日镜安装高度”两栏可空缺
附录相关计算公式
1. 太阳高度角 𝛼𝑠[3]
sin 𝛼𝑠 = cos 𝛿 cos𝜑 cos 𝜔 + sin 𝛿 sin𝜑
太阳方位角 𝛾𝑠[4]
cos 𝛾𝑠 =
sin 𝛿 − sin 𝛼𝑠 sin𝜑
cos 𝛼𝑠 cos𝜑
其中 𝜑 为当地纬度，北纬为正；𝜔 为太阳时角
𝜔 =
𝜋
12
(𝑆𝑇 − 12),
其中 𝑆𝑇 为当地时间，𝛿 为太阳赤纬角[5]
sin 𝛿 = sin
2π𝐷
365 sin
(
2π
360
23.45),
其中 𝐷 为以春分作为第 0 天起算的天数，例如，若春分是 3 月 21 日，则 4 月 1 日对应 𝐷 = 11。
2. 法向直接辐射辐照度 DNI（单位：kW/m2）是指地球上垂直于太阳光线的平面单位面积
上、单位时间内接收到的太阳辐射能量，可按以下公式近似计算[6]
DNI = 𝐺0 [𝑎 + 𝑏 exp (−sin𝑐𝛼
𝑠
)],
𝑎 = 0.4237 − 0.00821(6 − 𝐻)2,
𝑏 = 0.5055 + 0.00595(6.5 − 𝐻)2
,
𝑐 = 0.2711 + 0.01858(2.5 − 𝐻)
2
,
其中 𝐺0 为太阳常数，其值取为 1.366 kW/m2，𝐻 为海拔高度 (单位：km)。
3. 定日镜场的输出热功率 𝐸field 为
𝐸field = DNI ·∑𝐴𝑖𝜂𝑖
𝑁
𝑖
,
其中 DNI 为法向直接辐射辐照度；𝑁 为定日镜总数（单位：面）；𝐴𝑖 为第 𝑖 面定日镜采光
面积（单位：m2）；𝜂𝑖 为第 𝑖 面镜子的光学效率。
4. 定日镜的光学效率 𝜂 为
𝜂 = 𝜂sb𝜂cos𝜂at𝜂trunc𝜂ref,
其中阴影遮挡效率 𝜂sb = 1 − 阴影遮挡损失，
余弦效率 𝜂cos = 1 − 余弦损失，
大气透射率 𝜂at = 0.99321 − 0.0001176𝑑HR + 1.97 × 10−8 × 𝑑HR
2(𝑑HR ≤ 1000) [7],
集热器截断效率 𝜂trunc =镜面全反射能量集热器接收能量
− 阴影遮挡损失能量,
镜面反射率 𝜂ref 可取为常数，例如 0.92,
其中 𝑑HR 表示镜面中心到集热器中心的距离（单位：m）。
参考文献
[1] 24 小时连续发电！“清洁+储能+调峰”，超万面定日镜“绽放”戈壁滩，CNTV，13 频道，
新闻直播间，2023 年 8 月 14 日 16:46:23.
[2] 张平等，太阳能塔式光热镜场光学效率计算方法[J]，技术与市场，2021，28(6):5-8.
[3] 百度百科，太阳高度角，
https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%AA%E9%98%B3%E9%AB%98%E5%BA%A6%E8%A7%
92?fromModule=lemma_search-box
[4]百度百科，太阳方位角，
https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%AA%E9%98%B3%E6%96%B9%E4%BD%8D%E8%A7%
92?fromModule=lemma_search-box
[5] 蔡志杰，太阳影子定位[J]，数学建模及其应用，2015，4(4):25-33.
[6] 杜宇航等，塔式光热电站定日镜不同聚焦策略的影响分析[J]，动力工程学报，2020，
40(5):426-432.
[7] O. Farges, J.J. Bezian, M. El Hafi, Global optimization of solar power tower systems using a
Monte Carlo algorithm: Application to a redesign of the PS10 solar thermal power plant [J],
Renewable Energy, 2018, 119:345-353.

B 题多波束测线问题
单波束测深是利用声波在水中的传播特性来测量水体深度的技术。声波在均匀介质中作匀
速直线传播，在不同界面上产生反射，利用这一原理，从测量船换能器垂直向海底发射声波信
号，并记录从声波发射到信号接收的传播时间，通过声波在海水中的传播速度和传播时间计算
出海水的深度，其工作原理如图 1 所示。由于单波束测深过程中采取单点连续的测量方法，因
此，其测深数据分布的特点是，沿航迹的数据十分密集，而在测线间没有数据。
（只有一个波束打到海底）（多个独立的波束打到海底）
图 1 单波束测深的工作原理图 2 多波束测深的工作原理
多波束测深系统是在单波束测深的基础上发展起来的，该系统在与航迹垂直的平面内一次
能发射出数十个乃至上百个波束，再由接收换能器接收由海底返回的声波，其工作原理如图 2
所示。多波束测深系统克服了单波束测深的缺点，在海底平坦的海域内，能够测量出以测量船
测线为轴线且具有一定宽度的全覆盖水深条带（图 3）。
图 3 条带、测线及重叠区域图 4 覆盖宽度、测线间距和重叠率之间的关系多波束测深条带的覆盖宽度 𝑊 随换能器开角 𝜃 和水深 𝐷 的变化而变化。若测线相互平
行且海底地形平坦，则相邻条带之间的重叠率定义为 𝜂 = 1 −𝑑
𝑊
，其中 𝑑 为相邻两条测线的间
距，𝑊 为条带的覆盖宽度（图 4）。若 𝜂 < 0，则表示漏测。为保证测量的便利性和数据的完
整性，相邻条带之间应有 10%~20% 的重叠率。
但真实海底地形起伏变化大，若采用海区平均水深设计测线间隔，虽然条带之间的平均重
叠率可以满足要求，但在水深较浅处会出现漏测的情况（图 5），影响测量质量；若采用海区最
浅处水深设计测线间隔，虽然最浅处的重叠率可以满足要求，但在水深较深处会出现重叠过多
的情况（图 6），数据冗余量大，影响测量效率。
图 5 平均测线间隔图 6 最浅处测线间隔
问题 1 与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 𝛼 的斜线（图
7），称 𝛼 为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。
图 7 问题 1 的示意图
若多波束换能器的开角为 120°，坡度为 1.5°，海域中心点处的海水深度为 70 m，利用上
述模型计算表 1 中所列位置的指标值，将结果以表 1 的格式放在正文中，同时保存到 result1.xlsx
文件中。
表 1 问题 1 的计算结果
测线距中心点
处的距离/m
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
海水深度/m
70
覆盖宽度/m
与前一条测线
的重叠率/%
—问题 2 考虑一个矩形待测海域（图 8），测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹
角为 𝛽，请建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。
图 8 问题 2 的示意图
若多波束换能器的开角为 120°，坡度为 1.5°，海域中心点处的海水深度为 120 m，利用上
述模型计算表 2 中所列位置多波束测深的覆盖宽度，将结果以表 2 的格式放在正文中，同时保
存到 result2.xlsx 文件中。
表 2 问题 2 的计算结果
覆盖宽度/m
测量船距海域中心点处的距离/海里
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
2.1
测线
方向
夹角
/°
0
45
90
135
180
225
270
315
问题 3 考虑一个南北长 2 海里、东西宽 4 海里的矩形海域内，海域中心点处的海水深度
为 110 m，西深东浅，坡度为 1.5°，多波束换能器的开角为 120°。请设计一组测量长度最短、
可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足 10%~20% 的要求。
问题 4 海水深度数据（附件.xlsx）是若干年前某海域（南北长 5 海里、东西宽 4 海里）
单波束测量的测深数据，现希望利用这组数据为多波束测量船的测量布线提供帮助。在设计测
线时，有如下要求：(1) 沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域；(2) 相邻条带之间
的重叠率尽量控制在 20% 以下；(3) 测线的总长度尽可能短。在设计出具体的测线后，请计算
如下指标：(1) 测线的总长度；(2) 漏测海区占总待测海域面积的百分比；(3) 在重叠区域中，
重叠率超过 20% 部分的总长度。
注在附件中，横、纵坐标的单位是海里，海水深度的单位是米。1 海里=1852 米。
附件海水深度数据

C 题蔬菜类商品的自动定价与补货决策
在生鲜商超中，一般蔬菜类商品的保鲜期都比较短，且品相随销售时间的增加而变差，
大部分品种如当日未售出，隔日就无法再售。因此，商超通常会根据各商品的历史销售和需
求情况每天进行补货。
由于商超销售的蔬菜品种众多、产地不尽相同，而蔬菜的进货交易时间通常在凌晨 3:00-
4:00，为此商家须在不确切知道具体单品和进货价格的情况下，做出当日各蔬菜品类的补货
决策。蔬菜的定价一般采用“成本加成定价”方法，商超对运损和品相变差的商品通常进行
打折销售。可靠的市场需求分析，对补货决策和定价决策尤为重要。从需求侧来看，蔬菜类
商品的销售量与时间往往存在一定的关联关系；从供给侧来看，蔬菜的供应品种在 4 月至 10
月较为丰富，商超销售空间的限制使得合理的销售组合变得极为重要。
附件 1 给出了某商超经销的 6 个蔬菜品类的商品信息；附件 2 和附件 3 分别给出了该
商超 2020 年 7 月 1 日至 2023 年 6 月 30 日各商品的销售流水明细与批发价格的相关数据；
附件 4 给出了各商品近期的损耗率数据。请根据附件和实际情况建立数学模型解决以下问
题：
问题 1 蔬菜类商品不同品类或不同单品之间可能存在一定的关联关系，请分析蔬菜各
品类及单品销售量的分布规律及相互关系。
问题 2 考虑商超以品类为单位做补货计划，请分析各蔬菜品类的销售总量与成本加成
定价的关系，并给出各蔬菜品类未来一周(2023 年 7 月 1-7 日)的日补货总量和定价策略，
使得商超收益最大。
问题 3 因蔬菜类商品的销售空间有限，商超希望进一步制定单品的补货计划，要求可
售单品总数控制在 27-33 个，且各单品订购量满足最小陈列量 2.5 千克的要求。根据 2023
年 6 月 24-30 日的可售品种，给出 7 月 1 日的单品补货量和定价策略，在尽量满足市场对各
品类蔬菜商品需求的前提下，使得商超收益最大。
问题 4 为了更好地制定蔬菜商品的补货和定价决策，商超还需要采集哪些相关数据，
这些数据对解决上述问题有何帮助，请给出你们的意见和理由。
附件 1 6 个蔬菜品类的商品信息
附件 2 销售流水明细数据
附件 3 蔬菜类商品的批发价格
附件 4 蔬菜类商品的近期损耗率
注 (1) 附件 1 中，部分单品名称包含的数字编号表示不同的供应来源。
(2) 附件 4 中的损耗率反映了近期商品的损耗情况，通过近期盘点周期的数据计算得到。

D 题圈养湖羊的空间利用率
规模化的圈养养殖场通常根据牲畜的性别和生长阶段分群饲养，适应不同种类、不同阶段
的牲畜对空间的不同要求，以保障牲畜安全和健康；与此同时，也要尽量减少空间闲置所造成
的资源浪费。在实际运营中，还需要考虑市场上饲料价格和产品销售价格的波动以及气候、疾
病、种畜淘汰、更新等诸多复杂且关联的因素，但空间利用率是相对独立并影响养殖场经营效
益的重要问题。
湖羊是国家级绵羊保护品种，具有早期生长快、性成熟早、四季发情并且可以圈养等优良
特性。湖羊养殖场通常建有若干标准羊栏，每一标准羊栏所能容纳的羊只数量由羊的性别、大
小、生长阶段决定。
湖羊养殖的生产过程主要包括繁殖和育肥两大环节。人工授精技术要求高，因此湖羊繁殖
大多采用种公羊和基础母羊自然交配的方式。怀孕母羊分娩后给羔羊哺乳，羔羊断奶后独立喂
饲，育肥长成后出栏。自然交配时将若干基础母羊与一只种公羊关在一个羊栏中，自然交配期
约为 3 周，然后将种公羊移出。受孕母羊的孕期约为 5 个月，每胎通常产羔 2 只。母羊分娩后
哺乳期通常控制在 6 周左右，断奶后将羔羊移至育肥羊栏喂饲。一般情况下，羔羊断奶后经过
7 个月左右育肥就可以出栏。母羊停止哺乳后，经过约 3 周的空怀休整期，一般会很快发情，
可以再次配种。按上述周期，正常情况下，每只基础母羊每 2 年可生产 3 胎。在不考虑种公羊
配种能力差异的情况下，种公羊与基础母羊一般按不低于 1:50 的比例配置。种公羊和母羊在非
交配期原则上不关在同一栏中。
某湖羊养殖场设置标准羊栏，规格是：空怀休整期每栏基础母羊不超过 14 只；非交配期的
种公羊每栏不超过 4 只；自然交配期每栏 1 只种公羊及不超过 14 只基础母羊；怀孕期每栏不超
过 8 只待产母羊；分娩后的哺乳期，每栏不超过 6 只母羊及它们的羔羊；育肥期每栏不超过 14
只羔羊。原则上不同阶段的羊只不能同栏。
养殖场的经营管理者为保障效益，需要通过制定生产计划来优化养殖场的空间利用率。这
里的生产计划，主要是决定什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种，控制羊只的繁育
期，进而调节对羊栏的需求量，以确保有足够多的羊栏，同时尽量减少羊栏闲置。当羊栏不够
时，可以租用其他场地。
请建立数学模型讨论并解决以下问题：
问题 1 不考虑不确定因素和种羊的淘汰更新，假定自然交配期 20 天，母羊都能受孕，孕
期 149 天，每胎产羔 2 只，哺乳期 40 天，羔羊育肥期 210 天，母羊空怀休整期 20 天。该湖羊
养殖场现有 112 个标准羊栏，在实现连续生产的条件下，试确定养殖场种公羊与基础母羊的合
理数量，并估算年化出栏羊只数量的范围。若该养殖场希望每年出栏不少于 1500 只羊，试估算
现有标准羊栏数量的缺口。
问题 2 在问题 1 的基础上，对 112 个标准羊栏给出具体的生产计划（包括种公羊与基础
母羊的配种时机和数量、羊栏的使用方案、年化出栏羊只数量等），使得年化出栏羊只数量最
大。
问题 3 问题 1 和问题 2 中用到的数据都没有考虑不确定性，一旦决定了什么时间开始对
多少可配种的基础母羊进行配种，后续对羊栏的安排和需求也就随之确定。例如，用 3 个羊栏给 42 只母羊进行配种，孕期需要 6 个羊栏，哺乳期需要 7 个羊栏给怀孕母羊分娩和哺乳，哺乳
期结束就需要给 84 只断奶羔羊和 42 只母羊共安排 9 个羊栏进行育肥和休整。但实际情况并非
如此，配种成功率、分娩羔羊的数目和死亡率等都有不确定性，哺乳时间也可以调控，这些都
会影响空间需求。
现根据经验作以下考虑：
(1) 母羊通过自然交配受孕率为 85%，交配期结束后 30 天可识别出是否成功受孕；
(2) 在自然交配的 20 天中受孕母羊的受孕时间并不确知，而孕期会在 147-150 天内波动，
这些因素将影响到预产期范围；
(3) 怀孕母羊分娩时一般每胎产羔 2 只，少部分每胎产羔 1 只或 3 只及以上，目前尚没有
实用手段控制或提前得知产羔数。羔羊出生时，有夭折的可能，多羔死亡率高于正常。通常可
以按平均每胎产羔 2.2 只、羔羊平均死亡率 3%估算。
(4) 母羊哺乳期过短不利于羔羊后期的生长，通常是羔羊体重达到一定标准后断奶；而哺乳
期过长，母羊的身体消耗就越大，早点断奶，有利于早恢复、早发情配种。一种经验做法是将
哺乳期控制在 35-45 天内，以 40 天为基准，哺乳期每减少 1 天，羔羊的育肥期增加 2 天；哺乳
期每增加 1 天，羔羊的育肥期减少 2 天。除此之外，母羊的空怀休整期可在不少于 18 天的前提
下灵活调控。
此外，如有必要，允许分娩日期相差不超过 7 天的哺乳期母羊及所产羔羊同栏，允许断奶
日期相差不超过 7 天的育肥期羔羊同栏，允许断奶日期相差不超过 7 天的休整期母羊同栏。为
简化问题，不考虑母羊流产、死亡以及羔羊在哺乳期或育肥期夭折和个体发育快慢等情况。
在以上不确定性的考虑下，生产计划的制定与问题 1 和问题 2 将有较大的不同：一旦作出
了“什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种”的决定，后续羊栏的需求和安排不再是
随之确定的，而是每一步都会出现若干种可能的情况需要作相应的并遵从基本规则的安排处理，
但无法改变或调整上一步。因此，某种意义上，本问题要讨论研究的生产计划将是一个应对多
种可能情况的“预案集”。
请综合考虑可行性和年化出栏羊只数量，制定具体的生产计划，使得整体方案的期望损失
最小。其中整体方案的损失由羊栏使用情况决定，当羊栏空置时，每栏每天的损失为 1；当羊栏
数量不够时，所缺的羊栏每栏每天的损失（即租用费）为

E 题黄河水沙监测数据分析
黄河是中华民族的母亲河。研究黄河水沙通量的变化规律对沿黄流域的环境治理、气候变
化和人民生活的影响，以及对优化黄河流域水资源分配、协调人地关系、调水调沙、防洪减灾
等方面都具有重要的理论指导意义。
附件 1 给出了位于小浪底水库下游黄河某水文站近 6 年的水位、水流量与含沙量的实际监
测数据，附件 2 给出了该水文站近 6 年黄河断面的测量数据，附件 3 给出了该水文站部分监测
点的相关数据。请建立数学模型研究以下问题：
问题 1 研究该水文站黄河水的含沙量与时间、水位、水流量的关系，并估算近 6 年该水
文站的年总水流量和年总排沙量。
问题 2 分析近 6 年该水文站水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性，研究水沙通量
的变化规律。
问题 3 根据该水文站水沙通量的变化规律，预测分析该水文站未来两年水沙通量的变化
趋势，并为该水文站制订未来两年最优的采样监测方案（采样监测次数和具体时间等），使其
既能及时掌握水沙通量的动态变化情况，又能最大程度地减少监测成本资源。
问题 4 根据该水文站的水沙通量和河底高程的变化情况，分析每年 6-7 月小浪底水库进
行“调水调沙”的实际效果。如果不进行“调水调沙”，10 年以后该水文站的河底高程会如何？
附件 1 2016-2021 年黄河水沙监测数据
附件 2 黄河断面的测量数据
附件 3 黄河部分监测点的监测数据
附录说明
(1) “水位”和“河底高程”均以“1985 国家高程基准”（海拔 72.26 米）为基准面。
(2) 附件中的“起点距离”以河岸边某定点作为起点。