20×20 的Hilbert矩阵

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[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]计算一个 [color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]20×2020×20[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)] 的[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]Hilbert矩阵[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]的行列式
" J0 w- I. I1 r4 @3 {上述代码用于计算一个 \(20 \times 20\) 的**Hilbert矩阵**的行列式，并测量这一计算所需的时间。让我们逐步分析这段代码：
( A/ o' w, R6 s1 q5 ^' i3 C/ f' X* O7 {
### 代码分解
  D+ }# s) b9 g' B# h1. **tic**：
   - `tic` 是 MATLAB 中的一个函数，用于开始计时。它会记录当前时间，以便随后使用 `toc` 计算经过的时间。

2. **A = sym(hilb(20));**：
   - `hilb(20)` 创建一个 \(20 \times 20\) 的 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵是一种特殊的正定矩阵，其元素是由 \(1/(i + j - 1)\) 构成的，其中 \(i\) 和 \(j\) 是行和列的索引。举例来说，Hilbert 矩阵的形式如下：
1 C* Y% o/ d4 Q, {$ X: Q" g0 K     \[
$ @6 e: r8 B' x( |9 j$ j1 Y     H_{ij} = \frac{1}{i + j - 1}
     \]
& f9 _( e2 \; C  b   - `sym(...)` 是 MATLAB 中的一个函数，将输入转换为符号矩阵。这意味着矩阵的元素以符号形式表达，而不是数值形式。这对于数学计算、符号计算或需要提高计算精度的应用非常有用。
5 j! ], S1 x5 G$ {, f8 K   - 最终的 `A` 将是一个 \(20 \times 20\) 的符号 Hilbert 矩阵。
6 M/ p8 L, U* o2 h4 Z7 D4 v7 h8 P' h
3. **det(A)**：
! Y* L9 F2 v3 R   - `det(A)` 计算矩阵 \(A\) 的行列式。行列式是一个标量值，可以提供有关矩阵性质的信息，例如其可逆性（如果行列式为零，矩阵不可逆）和几何意义（如体积缩放因子）。
   - 在此情况下，即便矩阵具有符号形式 `sym`，`det` 仍然可以计算其行列式。

: Z  R% M# i7 ?4. **toc**：
8 I2 D1 Y# b( X% S# I0 ~   - `toc` 记录自 `tic` 开始以来的时间，并输出计算所耗费的时间。这让用户了解执行 `det(A)` 操作所需的总时间。

; x0 E2 R: `% S8 p! V### 总体功能
/ Y& k; |( v2 j3 ?* G- ?此代码片段的整体目的是计算一个 \(20 \times 20\) 的 **符号 Hilbert 矩阵**的行列式，并测量和输出此计算的耗时。这在数值分析、线性代数以及相关领域中是一个很常见的操作，因其涉及到高维矩阵的特性与计算效率。
* u3 O0 w% |$ I- I6 V
  _/ ]2 j5 s1 D; N4 D% K- ]8 ]