为什么13*13 = 8*21

mrx

故事是这样的,一个魔术师对他的地毯商朋友说他可以把一块13*13的地毯变成8*21的大小,显然,后者比前面少1平方厘米。

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效果如图1,2.

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mrx

怎么样,看到了吧?13*13 = 8*21吗?显然不是,那是怎么回事呢?那1平方厘米到底是哪来的呢?我们当然知道不可能凭空多出1平方厘米,我也没必要在这上面做手脚.在我讲出答案前呢,请先自己想一想,画一画,算一算.

mrx

好吧,你要非住下看,那我给你个提示:用简单的解析几何知识就能揭穿把戏.

2 _* h! y+ t, b3 n+ ]% M我想你已经知道答案了.不知道也没关系,毕竟是我们的眼睛背叛了我们.模型图如图
& h; }' O/ T+ z% N8 X

mrx

首先,我们对图中那两个5厘米的接口没有怀疑,只要不是测量错误它们一定是正好可以对接上的,唯一没有验证的是那条对角线,或者说是BFD(或BGD)三点在同一条直线上吗?根据斜率公式可得k(BF)=tanα=5/13,k(DF)=tanβ=3/8,而两斜率的差值是1/104,它们的角度差tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=1/119≈0.481度(约合28'53"),连1度都不到,这么小的差别我们怎么能看出来,又因为图形小,所以这个角无法使两条边开得更大.

* o8 p7 v6 C3 \2 c

也许这还不足以使你信服,那么下面我们用解析几何来算出那消失的1平方厘米.(限于演算较繁也较难输入法,所以我只写重要的结果.PS:计算能力不好的可以跳过下面一段).

方法自然很多,通过上面的证明我们可以知道DFBG是平行四边形,可得BE=sqrt(73),BF=sqrt(194),EF=sqrt(29),知道三边,可以求三角形BEF的面积了,你可以用海伦公式或者用上面的tan值,这里我们用那个古老的1/2*BF*BE*sin∠EBF来虐下自己的算术能力.因为四边形的面积就是三角形面积的二倍,所以有S(DFBG)=BF*BE*sin∠EBF,cos∠EBF=(BE^2+BF^2-EF^2)/(2*BE*BF)=119/sqrt(73*194)(这是个相当痛苦的过程,能不用计算器尽量不要用),sin∠EBF=sqrt(1-cos^2∠EBF)=1/sqrt(73*194),多么渺小的一个角呀(和上面算的arctan1/119完全吻合,激动人心的一刻来临了,BF*BE*sin∠EBF=sqrt(73*194)*1/sqrt(73*194)=1!,这就是那神秘的1平方厘米啊.通过不断地拉伸使它变得如此狭长,以致从我们眼前溜过我们都没有察觉.

我们再来看下题中的数字,你若对那个熟悉的话...对,是斐波那契数列,这就是其中一个我们熟悉的公式:F(n)^2=F(n-1)*F(n+1)+(-1)^n,(n>=1)(还有一点要说明的是这里的斐波那契数列是从F(0)=F(1)=1开始的).推及这类图,设F(n)为边长,当n为偶数时会少1个面积单位,当n为奇数时会重叠1个面积单位,这就是这种图形的神秘之处,真正揭穿了原来也没有什么.两件看似无关的事物却发生了相交,数学真是个奇妙的东西.

张子淇

好强大，还可以这样

87lv

renyu

我才8年级 看都看不懂

饕餮浪子

强  很欣赏数形结合的方法