遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介

6 W$ A1 m1 c  F
, E) Y$ @1 v; u3 }, G2 M' p

" [1 y! z3 e% E1 T
* i; H) I0 y. c. U5 H模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

- {& J; k- _7 j# F1 ^2 ^# L8 j3.5.1 模拟退火算法的模型

( l1 d# g" [; Q7 D* ]　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
3 j+ Z0 q# ~: \% x# I! o. ^* [
9 P- N/ [, Z7 {) ~3 h9 H6 Y4 P　模拟退火的基本思想:
, F3 c  m5 z7 _6 ]3 m- a$ _
　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
: P* b9 x' b0 g
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
9 }$ Y# h2 c7 H8 d
　　(3) 产生新解S′

　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
7 R# c- V9 T& Y2 b
　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
% Q, W) m) r+ f( }: T
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：
6 o+ Q! t; u! _0 o& o
- D3 W; F! h9 J# O/ T( F( G. Q# l模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

, Y" q3 ^  C5 j　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
$ e5 h# a' O1 y5 a
, e4 I$ h9 `  D, ?, `- Z$ Z　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
9 X) i6 z& C7 M" e9 H) O3 {
! w- ^) S, h$ r$ y　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
& {; t' g" _, L* s


* D3 O% V+ F% a% s9 a3 ~1 n3.5.2 模拟退火算法的简单应用

　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

9 {, n$ c5 [/ q! m& m　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

; Q  ^7 |, L* ^+ d5 |& U" h0 n

9 w5 U( T( B1 T7 P　　我们要求此代价函数的最小值。
) z) T1 e$ s/ S% u
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

* W3 d; r: z  F; O. ]# m$ W3 Z　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

　　如果是k>m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
9 d( [6 O5 Q) a1 z
# Y6 E' n6 L" x3 _　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

7 X+ D7 O) I7 A+ h　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
. M* s: [7 X' Z. `
$ t# p6 i3 k, n　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：

; ]1 c/ h4 o' Q, p5 y% R
' x. c) j) y: G* D" Z6 N' S7 d' J+ o
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

2 q$ s, ?6 o* r! [* v: K, _/ GProcedure TSPSA:

　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}

　　S={1，……，n}; {S为初始值}

2 @; |$ m& H, b# T( i1 {2 \　　termination=false;
' k8 S, N, [; U9 f
　　while termination=false

　　　begin
! o3 H, k7 p9 Y; H; I
　　　　for i=1 to L do
" c2 n0 M+ Y# T% N% |' x
　　　　　　begin
2 u8 s1 r5 v2 b* f
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
* k7 f) _3 M8 b7 m: P7 N5 ~
　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
( C$ u7 t& Q' g, M
　　　　　　　　S=S′;
" Y1 H5 g6 C0 q8 |  A; X
& V) h$ E7 v& X7 b$ @) s2 c- z9 c　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

- U0 D4 u. r# v2 z1 F/ Q　　　　　　　　termination=true;

7 e! I& N9 s' R8 P) |  r　　　　　　End;

2 z& X( Y+ \3 A" w　　　　T_lower;
* p# v& E: l; d, m, p- C
7 y, Z/ E3 N1 u1 ^% r　　　End;

$ ?6 }% e1 m7 Y& h　End
' g8 @, _! k; n; b: @
$ k1 Z# Z1 Y8 t: @　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。



3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
1 U* z0 M  S* {0 o* O) l
' @6 k7 f- [( T% @% E% N　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

/ B6 G/ e6 c* v6 C* j, `, y　　(1) 温度T的初始值设置问题。
$ B2 E& r# u* R
　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

　　(2) 退火速度问题。
( ~1 |, W( @9 A. F" O. N% S
5 J# v6 o3 N. ^) A/ |' C　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
" q7 U3 l, \1 r% ^) E7 U: p, ^! _& r' Z$ T
1 n9 l, X+ A" Q8 H8 K) q- J　　(3) 温度管理问题。
& H7 u1 j7 _+ E) |
/ G5 Q% r% W. K9 A$ G# U5 M5 u　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

4 x: A5 m- M( z" |2 q3 [
! `7 G1 f2 N% n+ d
9 h; k" }( F5 A7 ~4 @T(t+1)＝k×T(t)
* ]9 z2 V3 N2 P' x. B* @
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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