遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介
# N( l& h- N; u0 b* b, {7 f
# {7 @  Z+ H* a% \5 i1 _


# B/ |# `3 Z; M- [. I$ C! m
7 f) I: P7 P# j& L/ E1 Y. t& J模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
, |) G# |9 D  E  ?. Q$ h
! `" k$ U# r) w- l! N3.5.1 模拟退火算法的模型
" [0 p; o# p4 L: N0 A5 j
7 {3 i" i' ~4 ~1 |  e: j　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
+ ]5 e3 G6 ^- {3 U$ m& s
　模拟退火的基本思想:
9 o0 M2 h8 ~& D
　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

1 s& O# J4 g% d+ C, D$ _　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′

6 U& }8 H% b, x5 _　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
8 F$ \) Q/ y. i8 d1 j
　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

2 L$ x: L: @& f6 S6 f3 p　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
# X" X! x: w. G9 O+ X* r# o
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

# h1 d7 e7 E: ~; b+ O  X0 W* W　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

; X# L1 o* T9 Z3 w3 n　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

. _6 I* ]. o" R! B% L5 F' p　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
# @( v, j8 R# b: Z; N6 E
5 K. Y  H. b3 j9 ~　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
' d2 g2 f4 l7 W$ S
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

; k4 W* @( [4 R: L( K+ w+ W8 ?　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。


9 m2 [% K. W$ H, w* Z# f  g9 G( [
3.5.2 模拟退火算法的简单应用

  H) p  u: k3 j+ ~, V+ z( _- ]　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
, o* N8 B' ^$ Q% o1 Q2 ^8 c. j
7 O% M5 K# F) Q2 G$ [# X　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

- @# b9 g# e& b　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
) L$ V; U) a0 f9 Q  `
7 W/ L# D, v) C9 v+ {) ~7 d　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

/ I! C6 V8 m3 N/ ~7 v

　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

* l* I, X) A2 B! e# x" o　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
6 ~( z% p1 r7 s
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

　　如果是k>m，则将
& L( p$ ]* ~# e7 D
* m( t, K3 @' E* q' Y! q　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
% Y# I& H" L2 I) }; e- g
9 i' T+ L( f+ S- c　　变为：
# Q6 X/ q, \# \7 r: o; |& E
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
6 V& S, F% T9 w+ r% D, L. h3 o7 [
8 b% t/ v) N/ R! u　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

, b* z, F/ Z& y/ [/ E2 ]　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：


. w$ m4 H" {1 A# v) v9 w
0 B; [" _  u* R2 r! r  m! Q根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
0 j6 x6 Z3 Q1 @% i
7 S: R: U6 o; W; RProcedure TSPSA:

　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}
4 @: h+ F3 V8 A& ]9 g; {3 \' }
　　S={1，……，n}; {S为初始值}
/ B- @8 W9 h1 [. J- I
) Z; U2 V+ Z$ {　　termination=false;

8 T+ G2 r' J" g5 w　　while termination=false
- [, t8 ~; F/ I# }2 ?6 m8 u6 Y; }0 j
) Z& v9 w* u8 h　　　begin
  e, F7 E" T/ @+ J2 u3 {
3 o" ]3 S$ A- }  z& t) N( H- _/ c　　　　for i=1 to L do

0 u8 z5 q% @) j  }　　　　　　begin
. d3 U3 |! _' N- `
; C# r2 V' N! V# R; {1 Y4 q: ^　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
$ ?0 ]/ w) C3 E+ ?+ {) r
　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
/ l0 U( {3 f  s6 A, r- s+ Z, }
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
6 c! u, K! U1 y! E9 l
- [6 N) C' s0 v! C& o　　　　　　　　S=S′;

/ u, }0 ~: k8 P; A5 ^2 e* F　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
7 Z" q. e1 X" O0 P7 s+ w2 s
　　　　　　　　termination=true;

　　　　　　End;

　　　　T_lower;

1 Q- D4 \2 V8 M+ _　　　End;

* ~( W5 i1 h) y3 f7 b0 P　End

, h0 f6 g0 N- `　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
" k6 }+ Y* M. E


3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
4 V' K6 D& P* ~0 }0 c9 \
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
* x% C8 R5 Z' b8 @
! g5 x. k% [2 d6 p. r! ^( E1 O　　(1) 温度T的初始值设置问题。
: e. s; `% n; }* {  h" E( P
　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

6 g- o! J$ R' u# T( Q5 U　　(2) 退火速度问题。

, x6 ^. |$ [4 p　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
9 N, M1 h  R3 z7 H2 N
　　(3) 温度管理问题。
; j* G0 y$ x4 G% j# ~
　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

5 {' a: ^0 ?; ^
5 y9 t7 a4 P2 \8 O$ `9 l
T(t+1)＝k×T(t)

式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
4 M4 f) X' A; O  D/ a/ z) M复制代码

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