遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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扬帆呢

模拟退火算法简介
; h. s  F6 u4 \# S! s% U5 ^+ U# l
, o+ l: t  `  t% B7 l

6 u  [# L* ?) @3 v- f8 f
. ?5 s$ b) i" S& {9 {% I
3 _. {# n- E$ O3 X$ r; J2 M2 S模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
" Q9 U6 Y& s, G9 Q1 X; ~1 ~
! G1 {! h/ E0 A8 O7 z3 ^) ?3.5.1 模拟退火算法的模型

　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
, g5 l9 H7 f7 v$ T
　模拟退火的基本思想:
0 A; M+ }7 Y# E. `  \2 Q
　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
% q: c9 p' T5 c
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

3 a) X0 E; i9 S  V( Q　　(3) 产生新解S′
" r# L; M# \8 }4 {" i" Q+ }
6 j' B& ~% e% O& g* x; x9 [' s　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

# z& z! |. }3 v　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
! q$ M. U# K$ D" T& J' F
　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
( \0 t& f" T( U! S3 d* E
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
. q' k7 q* j; ]; r
  i* M6 Y6 K* @( n- o　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
% {" y4 g3 P$ l1 w; t# }
算法对应动态演示图：

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
- W, y1 M6 R. i  V3 G
. t7 c, r. W% Y　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

  H3 S$ u3 a. {3 e& f/ \5 \  f8 o/ d　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
, C: j0 N# L/ m4 r1 D
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
! Q# M# i1 R5 }9 `4 N
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

* j6 a, p! N# x$ e

3.5.2 模拟退火算法的简单应用
: M5 Q. T1 H+ U2 W8 E; Z/ n% S
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
- S. i1 z+ H! W
' q" J) y$ Q! q1 ^# h　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：



+ L5 t$ W. {- Q! f- H/ H2 K　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

! v! W1 p. v+ g5 P- r　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

! F) Q) c* b& p　　变为：
) i* O5 L( _8 z8 X; ?
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

9 p: e% t( A$ e　　如果是k>m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
) b9 X! e. C1 j; b' s- _( {
, I' v3 F; h# v- f0 _6 g- t　　变为：
% F0 F6 n) J& K; G; {/ s; p
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

  g2 X" o- G1 g) S2 Z$ U5 k/ M) h( ]　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
- U+ n: ^3 X; I6 W3 L
$ h+ p3 q( p2 p* a4 V' f) v　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：



4 E( f& _: \3 p" r根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
& m9 v- f- a" d5 [
Procedure TSPSA:
+ Y- ?( f: B# l1 T7 E8 n0 z" B
　begin
) R$ T, E/ y8 }7 G" u
5 i; X- J1 H& R* w　　init-of-T; { T为初始温度}
) W/ n! T9 U6 x% _  [& e1 q5 t
　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;
' o- Z# |6 |; }) D  o
" G* v" _+ V! U0 N　　while termination=false
2 c1 ~' W) n; n8 q9 j# u
" R2 G! \, Q3 b. W# F/ M# E　　　begin

　　　　for i=1 to L do

　　　　　　begin
8 U4 w4 I. J. `3 Y( {
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

( ?. q7 z; _! e5 d　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
  \2 e5 A# ~) H2 A8 o: `
- k$ f  t/ A$ x　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
  \! d2 Z& A' U$ c$ u+ W' M
　　　　　　　　S=S′;
& Z6 b: G, q# {, m4 ?5 d
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
* w' N. F4 W4 N( d- U- k+ a
　　　　　　　　termination=true;

　　　　　　End;
& e+ Y7 F8 ^5 x. T2 x
　　　　T_lower;

8 I6 ~5 W4 b9 u' V  T% a　　　End;
2 ~! [; a# e/ v; w& L. K5 Y6 T
7 |. I6 p3 d% L+ _; f* O9 S' q/ ~: F　End
. i- o4 E1 J0 Z% I( J# C% F
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
* ~$ {; R% R/ {2 J) J  p1 y

3 E/ k& H* {$ F+ x5 t9 t3 n
, E  f4 Y% o- @6 C  x9 d& H* X3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
; }: ^* G' G* E2 H+ K5 i
6 Q: {. f9 C5 f" Z6 R6 O　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
% f, K* P& {# o# z+ {. e+ C3 i
3 M7 \1 W' }; ?6 I) b; y( H. P2 ^! H9 h　　(2) 退火速度问题。
4 z! E& s2 u" L
　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
! L% z: I1 ?" |5 ~; \" o
　　(3) 温度管理问题。

1 V7 q8 ]% z$ F- [% ]- p$ c　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：
4 M  k2 s& M. u* E8 Z
% D# q: e1 s1 U

T(t+1)＝k×T(t)

5 v; k2 R+ R1 c式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
- W% Y% G. G% f- O, _& X0 S复制代码

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