遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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模拟退火算法简介
+ L6 ~# ]+ I2 f% X  ?



( l6 K) X  m* z' x
. |8 X  G$ T% T# M' N; @1 e! d+ i- w# A模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
- Y# y' j: o7 z8 C
+ ^$ V0 }! {% Y* Q1 I3.5.1 模拟退火算法的模型

. ?" c; X/ Y# s1 N/ d　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
1 i3 Y( v  d/ d  z8 w: _5 M
　模拟退火的基本思想:
; [3 {' m0 `! \6 s
* [$ b5 |% ^% o( b　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
% b: J' Z$ B  I2 b
  `* n; m7 @7 i4 @; J! e6 |　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

$ A6 b! \0 p6 c0 \8 c) ?; g　　(3) 产生新解S′

- z, T3 Y, H) x9 }$ {　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
4 q0 ?1 t7 Q9 S( e, Z
　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
  T# T8 b  I' [
8 _* P* w& H, \# i+ I终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
8 @1 g3 w8 F, Y0 F: N6 q
4 o: f" @- {* `; R" d1 P' h0 J　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

5 m' ~' l( H8 f- v# `: Y$ x  ?算法对应动态演示图：

. [/ h! d, k/ B3 ]2 g7 t模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

) L; [  b" P$ A9 K　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

) f% X, _; Q% `0 x" p! `7 c: b; }　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

& c# x. O& F$ y! d  z　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
* E3 V  X6 q( r
+ f8 l  s5 J+ ]" L　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
# w& }9 P: J& r+ t
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
+ X% Q! d& b2 k7 C: }/ R

) E7 q5 E, i3 p0 e8 G; l
7 \8 {. D% E: F/ W) u, C3.5.2 模拟退火算法的简单应用
: G1 U2 l6 T  X# l8 |
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

% ]( [8 C# _8 `  G4 F　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
& p5 G& M2 P' b; `
/ @" c/ I& h2 w　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
& F  B8 d( O3 u! j
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
3 X5 }) n5 @5 V! b


　　我们要求此代价函数的最小值。
" ~( L) H4 U. W4 b
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
1 v4 r- a1 e* {+ i& T& H
2 Y3 d7 s2 U  z# w, ^" o0 D　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
4 H' J. _3 N- c% c- c& j
7 `/ ]  V: A" ?3 y' W7 e/ g7 Q　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
  }% Q1 ^. n/ @1 h& t
( r9 R* s+ }+ g* D8 j/ Y　　如果是k>m，则将

' o- M5 n8 W, s0 j7 y　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
! F- h. ?$ e( C( K% j
　　变为：
% f/ {3 d3 {3 h; a3 u/ i5 {
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

7 S9 e" |6 W2 T- e7 k/ }, l　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
+ l. t2 B2 e3 Z( R9 E6 K# L

' s  g4 \& F: P5 J4 G( {9 r
- t; E% u# A' F# T根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:

% x, k! c' U" v6 u4 U% z$ m　begin

5 ?( E/ o9 c4 Y3 b　　init-of-T; { T为初始温度}
) p( D/ h' Z! e" }' k- v4 n% W
! j2 m0 X) y1 Y3 Y　　S={1，……，n}; {S为初始值}
  W4 b9 q% u0 c2 \: S
3 [9 g: ~% o- M2 B% W8 {　　termination=false;

0 I! `. M+ h8 f% j, Q. `　　while termination=false

; Q. D0 C0 Q4 y　　　begin
$ u8 ^* G% Y$ ]
: \* M3 `8 D# i8 k% q& H! w　　　　for i=1 to L do
; H. }& p2 a# K& z
& }! l3 z" i8 `1 Z4 V/ i　　　　　　begin
1 L: ?+ K* y: j# Z0 x2 y: l
- ^/ R: `4 m* J　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
' Q; ?" C7 x1 x- S
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
9 Y2 f: c7 T4 X3 K# p
9 e1 q8 q, U0 S9 u　　　　　　　　S=S′;
$ [$ ^8 C, g* d: _( o5 }
8 i$ U, Y: K9 s, B4 u/ e　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
5 v$ }) x$ ]4 Y5 D% T9 a
7 `; q+ S6 |& i! L0 K5 T! k* T$ ~: V　　　　　　　　termination=true;

" X" m3 }% N6 x) @! ^# E" M　　　　　　End;
% ?( N9 M( ~( @
　　　　T_lower;
6 P5 E" n/ h9 H; t
　　　End;
2 t" _" g  c$ K/ `
) L; D3 h' T- q- I: S" Q+ D　End
1 b3 Z( l9 w+ B2 {# ?6 O
8 K+ L! R9 K6 A- o: C　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。



3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
: I" [' A0 A0 U1 ^
% ]4 v$ \9 u& \9 Q: I　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

  r; x* k6 h$ ?6 D8 V- `9 N+ }　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

　　(2) 退火速度问题。

　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
3 I7 M& y8 `# p; N" s5 x" \
* |* n$ U: r+ v+ y  y　　(3) 温度管理问题。
0 ^- ~' O+ j% k6 F7 h
8 y# p  D" @6 n2 Y- A　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

: P+ J8 \$ c. @3 G7 W' C3 V+ N

, N$ ^% {2 V% i- jT(t+1)＝k×T(t)
* r* f7 O! @+ |9 ]
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
' D# y4 V2 G" S0 z* s7 V复制代码

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