遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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模拟退火算法简介



3 l. b& S# q. z
1 J9 g3 K2 n( D: @4 x" [
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
$ _& ^7 c+ `* @  l6 n; C
. H; c# i, t! M0 e+ p8 J3.5.1 模拟退火算法的模型

8 G3 T2 n4 c, w- X! _; _　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

　模拟退火的基本思想:
, p& p' c7 q3 O  ?7 l
6 {% A: s- G) p# E　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
! e% F/ h, b4 E3 ?. n& j! s
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

- {4 c7 U1 C$ d+ p) a' h; J. D　　(3) 产生新解S′
! w. t3 y# w9 L1 M+ _3 E. n6 U
　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
  n/ R% Q# K! D
9 \1 X/ y" o( N; j) d3 A1 R终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
1 ?$ K9 i& W% H, W0 z0 _4 U) B4 W
　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
( i# {! m- F0 @' m5 o0 T/ ^: ?: [, A
6 b' ?; Y  O7 @* J算法对应动态演示图：
8 k3 |( n% _/ Y1 U6 w
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

: q1 [2 R; }' u0 n/ y& I8 U& r) I　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

3 _3 ~4 g* |! e1 L& r/ r4 b, T1 c+ }　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
9 N2 |- s5 k7 U/ r6 v
　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

3 _/ h# _5 b6 T; p$ w% Z/ Y( ~* \　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。



3 R# m+ p7 h# c( S3.5.2 模拟退火算法的简单应用

# B5 u: S; I, i2 q) K; J　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

+ o5 q, o# ~/ X' w　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

0 F! J7 j9 H* p7 D; V, \- P9 ^
8 U! r/ {2 O3 C2 q) f2 k/ Z1 O
　　我们要求此代价函数的最小值。
$ _, X* N/ g5 D0 P. k
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

) X/ V6 X7 T* w　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

! |5 O$ u% ~+ D  K% s" R2 ^# b　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
# W% B8 x9 j& a6 N$ H
4 l" l1 f, m5 ]5 @3 _9 Z! A- x　　如果是k>m，则将

6 d4 D# `9 E- F　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

( I2 U# n, v% ~8 r　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
2 d6 Z& }0 a" M
　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
, k$ l  l2 Z8 V, }3 A* T0 O$ X
3 V# ^, K2 s; R　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
: ^/ D* M0 |* ?+ B

5 F8 L2 E/ Y0 \4 X! D" ^
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
. }+ |3 J3 x4 L: C& n4 T
, |" S$ F: |9 {) c0 MProcedure TSPSA:

　begin

/ e& @0 e. h3 P8 z( o, N+ r: g/ V　　init-of-T; { T为初始温度}
% N1 d5 I/ j3 t3 z
　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;
: O' M; \) j) C( l( r, }6 g
, w* i. `0 V7 e$ V　　while termination=false
* [3 L1 t3 d: C  Y) v
　　　begin
% a* V# v0 w! D
　　　　for i=1 to L do
& P4 i, H7 X" b
　　　　　　begin
7 l8 i9 Z1 f9 y( _
' U1 Z2 X% g7 G6 r) d: B5 M+ q　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
" T! o) q$ t, H9 j' q6 O( ]7 d
. Q& y, R4 e! v0 ?2 ~6 k% m! x　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

# j9 d) Y+ D% w; |　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

" f* x& |- A& e# Z* ]　　　　　　　　S=S′;
: b0 F9 Q  T/ n2 ~
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
  l. F" O/ }. W8 F
6 t6 I( _# q3 F9 \& T* F- Z　　　　　　　　termination=true;

$ f" X# i* o* i6 s, C; _; Y: |　　　　　　End;
& @. q6 W; D# l+ l+ V/ w; w! \' G  t
　　　　T_lower;

　　　End;

4 t& W! h# ?, W7 d　End

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

6 Q2 g, d  g0 R7 t- v
) b, J3 [& }9 r0 p# m
3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

' |, G% }# H) u　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
7 U3 f; F1 L, X1 \' S% U
" k1 S% p$ U" k1 ^7 c　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
) h& j9 m8 }. @/ y( y: b0 S$ n
8 z2 F: q8 Y: Q& z3 a4 X- R) \8 u　　(2) 退火速度问题。
5 q) I" j" E/ [+ e" i8 d3 Q, l* k' C
+ p2 l5 |3 g4 Z# B7 B; \　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
2 o) }0 l! _0 [8 I5 j/ d
" l" C; U5 e9 ^　　(3) 温度管理问题。

: O4 o* e% [! y7 h& b　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：


5 g/ R% ^# |5 w' Q' k
3 @$ F* \, H. |/ @T(t+1)＝k×T(t)
* {2 \" o' x# ?% P  h( }- Y3 L" ]
$ S8 V9 S: D$ k2 R  t式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
, z& {+ s6 Q: X$ f  i# E& {, [+ Q复制代码

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