遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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扬帆呢

模拟退火算法简介

0 _" y4 `6 K+ o. f5 j4 ?# m- b9 L3 I


# D3 F' T1 e% [! V
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
% G1 P. L" z' ~4 [2 ^
3.5.1 模拟退火算法的模型

: e* |/ {4 j) L9 z' ], V　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
& L' W$ g2 l- }: M% c% I
　模拟退火的基本思想:
% r5 \4 v7 @" k9 M: V
　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′

　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
6 m1 O. N) ~) e  S( R8 d# o; }9 R
" h) L8 q1 B5 h/ A( X% t4 Q　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

/ Q" I. _$ K7 l0 d2 D' b8 x) n5 A, x$ W　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
! T. l1 U1 i2 @3 F6 Z5 b. E5 p
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
, T) ?" ^8 G& B/ F
% ~/ n; V( m# |" {$ m　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：
/ f2 W  [: K! X
7 `$ @- H" w$ a$ v$ \; T模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
( m4 z2 G$ e6 A7 F. Y# Q9 E- X& \
　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
! P& q' E7 M1 T' r- `: X% w$ X
/ S  P2 n' I: @$ d+ j* i7 r! X4 V　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

- K1 z0 S5 r( T# h2 d; z　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
) V6 H  f/ S# D& l9 Z! i
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
: [4 k" d* n9 F2 d1 B
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

7 P" y, |. Q9 _4 q6 r( P* P1 T# x

3.5.2 模拟退火算法的简单应用
$ V9 ^7 Q4 U; q5 H# E' f3 Q0 s
( F7 e$ x0 B- m" [  E: U* ?2 X　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
; X3 Q- p& P& ^" V8 s$ s
9 y+ F8 \0 W+ `$ b) r* ?' G　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
0 {; p+ K) I0 c& U
) L- V8 n" V' z- @7 c
, Y# J0 c( t# e' h4 g! O9 T
8 [* T5 I' d! k  f　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

! ?2 S, B% p9 ]$ ~0 H  N/ ~　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
9 \$ H; c+ ~' x6 P& p& g8 ^1 I
　　变为：
5 w  l5 A2 `" ~
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
! }# p: j" F) v$ n% F; [7 S  G& v% r
　　如果是k>m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
; L3 u% M3 `' J2 W2 f
　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
! F9 e  c0 o, j1 }1 A' s, A
　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
4 W  m# B9 F5 \

+ p( q. a* k& N5 Y" R* h
: {! f0 B6 c; J: E根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:
7 A5 w% O7 @5 [: \$ x! E
8 e4 f! [/ r3 X　begin
/ ^! d6 L, ^( _. h2 T' j
　　init-of-T; { T为初始温度}
2 N0 L/ a3 q4 R( X8 z  G
　　S={1，……，n}; {S为初始值}

- i2 A. o* b2 }9 R1 v2 ?+ W5 H# ^　　termination=false;

3 Q+ S3 M$ R6 f0 }1 C5 R; p　　while termination=false
1 s* z6 ?/ ?, L6 y9 d
　　　begin
- A1 X! o4 A& D8 }# b7 o! S
　　　　for i=1 to L do
: s# L3 ^: G  s- l
　　　　　　begin

　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

5 |/ P9 Z9 Z/ Y# T5 V* T　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
& s3 L- g: A8 G! |
4 f( L' R6 }6 P. k( {6 u1 ?+ J　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
. W! ^( `0 ]( P. Z! v+ Z
　　　　　　　　S=S′;
, }/ V' A- K8 Z) n5 K6 e; D% _
4 c6 c; L* O% d　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

. s; l" B, ?: c) w. E　　　　　　　　termination=true;
% u+ p8 i- ^5 O/ w# g8 o
　　　　　　End;
( Q3 {- |0 N: t$ j8 ]+ Q1 A
4 e& V3 W. r, g  x# `. y) m1 v- _　　　　T_lower;

　　　End;

　End
& Q- I. k) h" G% b! r. W
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

  f4 G( E# j2 |5 V% N, ~

8 y( F8 l% q) K( O/ o3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
6 G! H$ {: ^2 b% U' p+ t% |
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

* `; t; o& F, B" D) \! H　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
7 M4 W/ M/ K+ Q6 J. n7 B
　　(2) 退火速度问题。

　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

0 l9 x& C' T; P" u　　(3) 温度管理问题。

' o% Y0 ~5 e" Q　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

, t: }9 w" `8 |' R, I

T(t+1)＝k×T(t)
4 J/ T/ a" u# ]4 y! t$ b: B% ^
( R4 n) p, x6 Q- Q5 x式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
. J" Y, n3 f0 S- S复制代码

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