遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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模拟退火算法简介

- m: J$ k- q( `/ Q. Z8 j
* W8 M# \( S% @: y9 `9 c! C% x- g. @
+ ~3 a! S' v# o& z/ B
4 Z: S7 ]: `1 N
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

; D- t+ X; c) L: J% O2 y3.5.1 模拟退火算法的模型
! o9 I2 V$ e5 h; a, f
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

0 x! I+ ~/ W, u% c　模拟退火的基本思想:
0 B8 d. P! U1 [
　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′

　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

1 R0 K9 z: o" Y终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
  y- K4 n: y' O. n4 g
7 @; }3 Z: j/ k# l* H5 A算法对应动态演示图：

* x  i( D2 q4 g% K1 T" u模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

4 f. w; j% E( h& g9 h, t  W8 h7 [　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。


' _. J. m6 C& Y9 m0 g* H
3.5.2 模拟退火算法的简单应用
' a2 a$ l' ~# s- b" N
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
1 ~3 ]: {' e! ^% @! P9 f
# P, M- W1 p% j; ~　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
4 j! A, ^, M# F) U
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
5 c! {& p* B8 ?" j

) c0 L* y0 q: S( B$ t- ?. [# F
/ [' J$ b+ K0 R6 ^3 p2 n, c0 I　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
: y+ s1 q' `2 i) W, g4 l
- g; K; e/ J/ y" Q- F　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

; B6 Y0 o9 ]9 |　　变为：
6 y6 A1 l5 P6 Y
, \5 F' F) P. Z7 s; Y& o　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

  ]3 g7 s$ l6 y% @. k2 t　　如果是k>m，则将
# E- n# o) F- c$ v( j1 @8 E
  p5 q3 @3 d* i5 u) v2 F: b% z　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
+ k- q  ]' k  L0 t$ z
　　变为：
. ^0 N& }/ m% ~7 F' P- U. `
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
/ X( X+ s- L& S* {
$ }" v1 y) i$ r! v　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
/ E" [6 D" p6 f! {# A! R6 o! W4 {+ S! c


# z! B% {5 C6 v5 s6 _( x根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:

" d) S0 j) i$ W4 L　begin

8 p" L  B& q& O8 V2 O4 K　　init-of-T; { T为初始温度}
- A; @& X" E0 T: p
　　S={1，……，n}; {S为初始值}
# X, H5 |8 F+ v9 {* j
　　termination=false;
$ H/ a8 W$ B# K. X9 c! m
0 K- e9 ~+ o5 a# c. W) _　　while termination=false
, I# T: e, K! e; g" u; x" R1 d
　　　begin

　　　　for i=1 to L do
& a8 Z2 C2 C/ W: o
　　　　　　begin
- ~0 o$ Y# r, G/ j( ]
4 f$ x' ]: f( C4 e+ J# M" i　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

　　　　　　　　S=S′;

　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
: _, p3 r+ _7 l+ r
　　　　　　　　termination=true;

, n" \; d& t& W% {" A　　　　　　End;
8 [# `/ v) w+ F3 t  T0 p  ^% {
, U3 O) h6 T' i8 g6 X8 Q+ w7 Q　　　　T_lower;
; I0 F4 e) L' l" P, W& N
( G* m( |& |9 }% P　　　End;

　End

3 k2 q$ V, T2 u' p- C! B　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

6 Z6 G0 E$ v- h' o

, T6 {1 O$ l) L1 N( e& G) w4 W. c3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

$ H1 t* O% D- l  d1 d　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

　　(1) 温度T的初始值设置问题。

# m6 V. v0 N5 A1 q' g9 i　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
4 t& f0 M, g1 I4 }# r; R* _
4 d  V! c9 |* o5 M( f* f　　(2) 退火速度问题。

: ~! s! ?: B6 |" i5 F; P　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

　　(3) 温度管理问题。
1 t& d  D6 q+ u
　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：
7 Y; d" v7 ^0 p; _, z7 E

6 V. s/ u; l  x- p( H* x# I
7 X% Y4 E& f7 ~/ `( z. x( TT(t+1)＝k×T(t)

. x; E* ^2 [7 R9 \式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
: x( M4 Y5 ^' z8 n5 P, ^7 G+ |7 n1 W复制代码

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