遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介
8 S8 t3 @) c( P+ ?

1 Y0 ^8 e8 L1 K% O


: Z- h5 O9 x+ d) [* S: a$ J* r模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

3.5.1 模拟退火算法的模型
- Z. M& q& [: n$ }
, g/ ~9 X5 O0 s( X: r+ x4 l* `5 U　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

2 R' B- [' s5 ]" }　模拟退火的基本思想:

　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

& G/ i7 `, ~! r  r: D% T　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′
$ ~6 C; s9 z0 A. @6 B% Y2 c
8 `  T5 N9 g+ K9 R% _/ W7 g　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
+ X7 `" G+ }& \' v8 L& Q
　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

* B. z2 t  Q+ |3 l0 o' b　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：

/ y+ v0 w# x: ?; g/ a( ?6 n7 ^模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

$ E% \) U. v- u! z- i　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

' I: _6 G' i# _1 `. ^  h7 ]8 [　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
7 f( [  V& F' u& o" F+ J7 B% A
5 L# H; Y# l  n) a1 e　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
  j) P7 g# ?; n2 C


3.5.2 模拟退火算法的简单应用
, ^; a5 \' S! S( r3 g% ^6 H
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
. w3 v; j4 [+ M, l
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
, w) L& M5 p3 z4 o) t
' Z8 }1 U- ~- e  b　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
) W9 y  G0 \8 a, G  m0 `/ S
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

% |, J- T: I. V1 y

8 i2 t# X0 }2 X' D& r4 d, _: i　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
' K+ o% B4 N9 ]. Y9 \8 Q  @
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

7 T0 O# ?9 X! }, Z, H# i4 `, I9 M　　变为：
0 T. H  h1 s/ b8 g8 }6 S0 L( P
6 M( z6 c9 @/ O　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
# t, b, i3 w% P2 D' D8 K5 }
　　如果是k>m，则将
# i$ y! q: @: k5 b
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
6 R+ n( p2 V5 G# C0 Q" J) a# }, ^! ]( G
3 c( I$ u# m5 I% O. I" B　　变为：
* [8 d. a% n  {- [6 y1 I) n
* S" _, d# V' |7 e: h2 Z) c　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
9 W; V3 P# K5 g( l0 E4 {
" [& k& R, {% T+ D　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

& h( I: f: e+ |1 Y" M　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
. L4 D+ J; u: v


根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

4 u+ l4 |/ U5 ^: C3 j: G0 m, s9 A! tProcedure TSPSA:

　begin
) E2 F, |9 c# C4 q, [" A! I# ^1 I# Y
　　init-of-T; { T为初始温度}
$ S: y  M- O6 A% W% a7 V
　　S={1，……，n}; {S为初始值}
, L: }" c' r9 q2 K0 D
! O: b( {" }" Q% T　　termination=false;

3 E- _; F' r! p2 w/ d% O% g　　while termination=false

3 O& g5 ~& h) e　　　begin

　　　　for i=1 to L do
' g1 H( q- O  O9 k8 J
7 E! M9 P3 o+ S　　　　　　begin

　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
0 P7 t( J9 T8 o0 s7 _& u
# }# J5 u( q; [6 j& t! H　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
$ B5 c+ f1 [1 L: @5 T1 R5 x
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
1 Z8 _+ p, A" ]/ T7 Q1 m
　　　　　　　　S=S′;
; [$ n! E) G; j7 p! {2 `
1 q# |* `$ [) d2 t　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

  \3 v' k% ^+ a　　　　　　　　termination=true;
  `: U0 Q$ d# n6 }/ m  ~$ _0 s- j( T
　　　　　　End;
* i/ a% w3 i' s  q
　　　　T_lower;

　　　End;

, M9 H& N7 m; T9 B　End
9 L9 p2 z% y5 \/ \2 {
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

+ l0 d) W9 ]% c6 R
! x% A  F: K' c2 q7 B7 b! O* V' O  |
3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
5 M8 b1 E8 T# E) Q3 b6 @0 C
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

4 t8 O4 P6 H( l  ]* \' m　　(1) 温度T的初始值设置问题。
5 ^; e- N- z8 i4 p. a6 H
　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

1 u% q7 o; _6 e. d　　(2) 退火速度问题。

7 P! k) a% R9 e1 S8 v+ n( h　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
+ F3 P! @: H3 f$ R, o
　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

; Y9 F' }4 @8 v  r0 l9 p

9 w9 ~( e0 D  A; tT(t+1)＝k×T(t)
/ }5 w; M& x- r2 E2 M; g
: H! Y7 c( C; r  J4 e2 s式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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