遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介


3 }' z, ?8 c+ i; X. a


模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

" h, Y+ X0 V, f1 w+ y! m3.5.1 模拟退火算法的模型
5 x) s/ }3 q4 `
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
  K+ T) Z( f, X7 p
1 }2 a% H3 t; M! H8 {1 d　模拟退火的基本思想:
( G/ w8 ]: }3 X0 H1 ^0 {( Q; P% Z
9 N' {  Y* c3 c& q- U  g　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
3 O: q% V  k. o9 `
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

  J+ r/ ^: \4 Z. ^2 Q　　(3) 产生新解S′

　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
7 O: ^* w/ R- M3 j7 Z# K. s: K, S" a
% j4 A. y; H; l/ d　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
: G# b5 {) U8 e9 l! N
　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
2 W+ ]# R! g. L# U
+ @% j4 {- w& M& B! T终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：
+ R. T8 \7 e+ U) |
" T* @( Y8 Q  y& @1 {1 k模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

3 y5 [# k" T  l" d  k　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
9 M7 g# F% j# g# e& Q
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。



8 k$ y  e$ N: L0 F! X. Z: M3.5.2 模拟退火算法的简单应用

9 z" q8 {, l3 D) H　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
8 `  T$ q- p% @# X7 R% Y* ]
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
; m6 ?2 s: j' F/ N  c- A
  ^) c5 k* V/ A1 @0 B

　　我们要求此代价函数的最小值。
9 z' d( o2 K9 n5 h0 q" T' J. X
- j) W; X2 t+ q　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

7 T5 {, A: j4 M5 R/ _$ i8 v  o　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
! A) z: d% x- x5 v. G( E
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
$ K6 T- P. A1 [- j; U5 V
; K5 V! t& Q* q, I! x% S' w　　如果是k>m，则将

; s2 g# E" w( O4 K( Y, X2 e# }　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

- h1 s# c) P$ E3 F0 \3 p' ]& w　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
3 N: a0 y- q! v9 J
　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

: P. A( ?- U! v! ?6 O$ c　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
& j8 r& W6 G4 a7 L$ A) s
# ^, V) \/ Y# w5 Q. |& Y
: c' E( D$ F" ]5 ?: I# P, f4 T
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
) g, `. A$ b* x" P6 ?, C, e& P
3 b6 A; b7 K" x) c( YProcedure TSPSA:
# o9 K: i& _) b9 Z4 E; |
　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}

& q; V( M* c4 C( j　　S={1，……，n}; {S为初始值}
. n$ w4 q- I9 \! k, M. s, r
( i# H8 ]1 z- `8 u　　termination=false;

( s, R6 Z/ ?4 T　　while termination=false
) O$ x7 C# {; Y* s, L. L% |! B8 |
+ M' j+ q4 V: a! u　　　begin

　　　　for i=1 to L do
; s2 T: @% ?! H3 v: g
* B! ?, ^+ _7 S. O" k　　　　　　begin

7 s: {9 r! W  g  C5 p* T　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
. b; q' U& q/ e
* |0 Z! S7 B) e  r　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
; d6 t- S1 [6 I" `- M& k
8 J% f% G& E9 ~' j5 K　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

　　　　　　　　S=S′;
; P6 O# R% Y( y, b- f& d& k3 x
% o! B  Q! `& C- Z3 ?　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

% y1 W5 m; |9 k8 w! p: E' L　　　　　　　　termination=true;
6 u: `" K. ]" a
　　　　　　End;
& ~- A( f2 {6 B; w: s
4 `1 A4 e( x8 S# Y2 W) ~0 ]- k　　　　T_lower;

　　　End;
2 }8 w, n, I" {
( n7 }' w9 ~6 x9 {$ r8 S& m　End

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

+ ^4 c, x2 a3 \* L1 S

3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

) z" `4 I; _( @8 o! X　　(1) 温度T的初始值设置问题。
$ m  A5 w& \/ c2 s
* P7 o3 B& l: ~8 ]1 O0 I1 n8 k& ]8 v　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

　　(2) 退火速度问题。
1 @) {( ~7 S$ M% q. n. W
　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：



* C$ L9 `' f. IT(t+1)＝k×T(t)

式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
1 A9 z/ ]2 R* i& z3 ^) `  S7 Y复制代码

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