遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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扬帆呢

模拟退火算法简介
8 k7 b+ e) v" x0 c3 ^

; i, O) r  {$ {9 M7 b. d


模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

3.5.1 模拟退火算法的模型
* E1 \4 P  z9 A- O+ ~# k: F8 W
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
" I- @2 U! G' {! R- i3 C0 Y6 a
! v. w4 z# ~: H2 {, d　模拟退火的基本思想:

　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

( y7 v7 K; X5 D4 _1 a　　(3) 产生新解S′
$ g$ Q( c- b, g4 c$ H4 Z
: B+ c. I) @+ T( W8 O　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
+ @& T2 ~/ c0 K7 c6 i) r
0 w' Q# q* ~! C, F6 @; y, p6 T1 y/ {　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
1 c1 F, k$ @* @" m4 K/ {' c0 y
　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
5 Y: P" g$ z) M$ Q# b$ R  F
算法对应动态演示图：

4 ]) d2 {4 t4 W$ F2 D6 I$ }模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
! ^3 q8 E, s' u$ g
: v3 M+ [" \* W9 F6 v4 C　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
* k) b# [1 a$ ^5 P8 z/ J0 f
1 r' L' p5 Y" o7 }5 Z# D　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
7 n8 j# \, p0 x' ]  ~9 g8 \4 d2 T7 H& S$ A
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
0 j) r' c  I. E6 h8 Y
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
7 I+ r3 t( x- @: c2 p/ p& X! i; z+ V
/ {7 a4 o" `4 D6 z

3.5.2 模拟退火算法的简单应用

　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

/ y7 T7 h% _2 {& T* ~+ h% M" _7 P" }　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

$ M- H1 {: @# x3 S, `　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
! v1 Z! o7 p5 P2 m0 H- d' @  D+ ]


' U2 C7 e+ g  U9 e' F" H" D( P7 n, _　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

2 B7 t5 M* Y3 x3 u9 E3 s7 J! o; h　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

. d4 R7 W# B1 N" d  o2 o　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

　　如果是k>m，则将
6 C3 ~% D3 K, `2 w
" O+ j: F/ w) |2 W: c5 B* E　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
8 f8 K$ C( C7 q) D8 n6 Y
　　变为：

. I8 a7 [* ]5 x# K　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

: ]* Q+ L, z% K　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
# Q1 Z/ _2 n1 a& F) W. U
　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
9 W/ ^0 ]+ @- x; b
: D- L' x8 P, `5 y
# M4 e" F  Y9 A
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:

# F7 l3 F+ ?" Z: n2 a$ j5 ]　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}
& ]2 D( o( }) ?& n7 B- l) \# }
　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;
1 ]( {. {- b1 l  `- @
　　while termination=false
$ ?' s0 b6 @' D1 C6 l! D( `
0 l; C+ {) Y3 k; v1 ~9 _　　　begin
) \' v' B6 w( ~7 u- \
* f. L# v2 h9 B　　　　for i=1 to L do
1 r' g- `1 O: W; o
: ?. I! E9 g5 u9 }1 Q- a　　　　　　begin
! a- p# Z) o' R2 j$ k8 u5 Q
- _7 r8 s0 o# @! _% M0 ~$ Z　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

4 ^' l) T# U! [+ G3 {9 P  t　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

: T4 P6 h4 I* O$ X7 ]& C　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

2 u, i1 F! A" r$ t  U　　　　　　　　S=S′;

　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
8 [+ k) ]7 s9 r; j, j
, j) v! J! f3 [2 B1 n　　　　　　　　termination=true;

; F6 t/ I; \. S& Z% e  a7 m4 n　　　　　　End;

　　　　T_lower;
, D4 e( |, n3 e# A+ S, [
6 o2 Q) T6 S/ {6 G7 O1 e: i) K　　　End;

　End

4 W; ?* t) O& p! c( b5 D7 x) r; i　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

2 v4 ?7 v( J# [7 J; E4 a2 T
; O' v) }  D* h+ K" S
2 S4 P, c: L" Q- ^8 D5 e+ k- |: H3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

. A( R% v! C5 z, s( ~. z/ R　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

　　(1) 温度T的初始值设置问题。
5 O: J. w& e9 s  b' y2 |3 `
, h' m2 M* R( [% f7 ?' B　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
- F  ^$ Y: ]* {+ c+ g& \* c# ^, r
, P2 H# H- J4 J- \　　(2) 退火速度问题。

　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

. {0 j7 b) j) R+ |# T0 y( e. q　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

7 T0 y: H, r( @. g

% C# k8 {  d- S+ ?4 I% e! Z; IT(t+1)＝k×T(t)

9 T; l4 U3 q0 j+ ~% Y' ^+ g式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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