遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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模拟退火算法简介
/ k+ Z- s8 X$ q# N
3 a. w/ f9 h2 w

- [$ W2 ]1 H5 t- N; ~/ i$ u
, j' a0 }: j+ b/ f
- l! y3 J' [% h模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

3.5.1 模拟退火算法的模型
( n! T, Q" ]3 F6 f
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

9 F) [. [! q  `4 x4 o0 C; i, L9 K　模拟退火的基本思想:

7 I9 L% G5 K$ f9 N" S8 f$ j　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
% c# D# F3 u2 m% f# _& m8 c: V
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

3 k9 q: Y$ {- Q　　(3) 产生新解S′
% t7 [, \! D; T
　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
: T: s3 C. y0 V$ S+ y: R
  v7 U, C: ^4 ~  Z: `. E) M　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
3 C5 f, U8 ~) o7 ]/ R1 V# {
1 l* Z  h0 s5 l# L7 _/ z) x' P+ R6 M5 ^终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
+ m/ {. T) O6 c$ k
' V: [3 g2 m, q& r2 K- d　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：
2 W/ Q( B( f. m, r: q3 T3 Q
; O5 X% v) ?1 K+ k  g$ v模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
4 O4 \# o2 {# h- P1 {
　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

9 ^: Z& }7 D. `- A. H, r　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

; Q/ z9 F7 ?: o　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
1 r+ R0 u" B4 p: g& n
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
( ~" l& g8 i8 ~* h5 N* `& m& n
  j& u  ?- w2 h3 `) @# x% q' @$ l　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。



3.5.2 模拟退火算法的简单应用
/ t0 ^% `$ \  x; [. ^
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
$ a* j! Y9 m4 X/ ?
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
6 d- f& N6 x7 l; T3 H) ]0 H6 |
. N! }$ X4 z$ U2 \9 p, o! u　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

5 D2 H5 h1 m4 j, f$ F　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
6 f1 [& D& R2 M

$ S% D9 M% U  F  ]* j  |
0 I7 f+ [7 r: A0 A0 q　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
" G' ?8 _# ]& o
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
( a" w' c: p7 |. Y- W
　　变为：

5 C* K/ W: W4 o+ r1 n/ \　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
$ `# a! j. A; J9 |7 ^
　　如果是k>m，则将
* G: R5 m0 |3 E. G
: ?( ^  W3 {- ]9 {- z　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
1 h1 h8 Q0 V- H8 ]/ A; k5 H8 C
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
; _& J0 Y2 ]5 E' [2 Y% y$ ^( P
4 R1 D! y3 D# |; S2 y　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
4 e$ P( S* _+ V/ n
5 D! n9 Q+ R2 M6 s- L- o6 K　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
. O6 M: F5 ]/ `7 r

# a& P4 v' L3 n! R) s7 L: K9 h) I
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
" w, f3 G  x  I
Procedure TSPSA:
+ C: i) @6 n4 g% @% N
　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}

　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;

4 |: c" q/ P# Y5 P+ `7 X) t3 \8 l/ I　　while termination=false

- F: B3 p* B: P% m! k& Q　　　begin
* q% n) B' A/ v: F* \% {/ `' S
7 Q$ S' M% ?* D7 x; g　　　　for i=1 to L do

" b2 h2 s  W9 e- a. B8 [　　　　　　begin

　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
4 j3 \& \  Y: x7 \; J
　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
( c" y* U) y) I) }% V
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
! B1 c2 i1 j- w2 a, n0 p
　　　　　　　　S=S′;
- k/ [1 x, Y4 w2 Z7 f
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

　　　　　　　　termination=true;
8 G: T0 q* l, Z$ \# A/ a: J% z' \; v
　　　　　　End;
" X, X! S8 Q7 a2 ^) h! Y; g
　　　　T_lower;
8 |$ I' S7 j( R: H+ G  \6 p  c
　　　End;
! Y- ]' ]1 E) R# m0 S7 d# |
　End
; l, E) \( p2 e) k( e/ M8 O9 h; |
: C, e# c. E) m  ?1 g* G　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

: i5 n# E9 C* ^  U7 e2 w) \; k8 |

3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
% `- k+ S+ p8 W# o
& r: K  ]% p, [4 }3 J- X$ N　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
3 i% j4 m( r. u6 K7 b
　　(2) 退火速度问题。

3 ^- H2 y4 x; c* D　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

# O/ p! C# x* a- I　　(3) 温度管理问题。

" t3 I$ ?& @5 Q! M. W- J　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：
3 v2 }5 W, ~4 n4 w: z


T(t+1)＝k×T(t)

9 i% h! E) z2 ]  D0 d. Q" Q* J* B式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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