遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介
& @* r: H3 E- n) M
; I% {& W. N+ y3 ]4 ~* U



7 C# h+ ^# D% X- r& F# u" ~模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
' G4 t/ ]4 C# A7 g* u
3.5.1 模拟退火算法的模型
/ F  V, H) q% }" e9 ]9 b
9 ~+ V7 \8 E) F　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

( R! b9 F0 E1 S) m　模拟退火的基本思想:

　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
) j& o4 |$ b6 V0 |, E2 T9 f
0 z/ t% V+ t0 R$ z3 k- i　　(3) 产生新解S′
2 v3 a, Z: F1 S2 h
/ _$ S9 g3 i! |! T' ^8 F　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
# x5 U/ e% \" [' m
" N6 g0 a0 Q! c( T" u2 m* ~8 A　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
4 O3 q& g% ?% r, q
　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
/ X8 Y; X7 @- b& E0 ~7 r3 X7 J( p8 F
算法对应动态演示图：
! r0 Z+ b, t- a5 B/ C
0 k. H, ~% h$ Z模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
, H" ^2 p% U# G8 u8 u' X# x4 o3 Q
　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

  k6 g5 H& l: l! `# U: B　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

* I0 j6 e1 `  R6 a3 q% J　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
  ?7 r* Z  C9 l/ m- w) X8 ~
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
8 X  R# G  o& e7 ?: d
+ V% U( _! s# p2 B% s8 I& Y2 s
5 a6 Z+ T1 W! ^0 D1 X
6 g/ `9 g7 M/ E" m/ K8 E% v) p3.5.2 模拟退火算法的简单应用
6 Q9 }0 g1 g) k/ {7 Y3 @% h+ }. P
& D+ [5 i, ?9 `　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
( R9 D+ t: G' m, A7 _
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
4 [1 B9 T1 j/ e4 a! h
4 T! a; V1 Z3 e5 V3 F) C+ E　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

6 \' @! `2 @$ V) I+ f0 W3 E6 D

+ b5 a% i# v7 C1 {　　我们要求此代价函数的最小值。
% d2 Q8 Q* C& l/ |  O6 L+ H
5 A+ Y! ~/ H/ G0 i& J9 P　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
9 F. l6 E7 l3 y$ T
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
7 N2 B" b( W  ^" k7 D8 F) Y
2 `$ T( i  A! Z+ ^　　变为：
. T( U* Y5 p' G5 ]. J6 ]  ~: u2 r
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

　　如果是k>m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
9 Y+ s- n/ t/ r( M- Z7 Z7 }; p
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
" e$ o6 m7 z7 O# l8 _3 V( r/ k
0 w# a& o9 {2 _0 R% F* K* n. M1 G" h　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
# l. F  m4 U* r; g6 G# ?5 M! Q0 z6 p
1 G( A) t" r6 n1 J! C　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
! W* `: K% I8 ]1 G' W" t
( \, |) c1 C. S

! S# n. O5 p- N4 Z9 K根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
3 r: x& V, \& w% g* l; R! U. Z, P
  q/ I8 p3 q. X0 v  s8 ]Procedure TSPSA:

　begin

4 P. t" b# S1 |, S& d1 L0 t　　init-of-T; { T为初始温度}
# {5 ]- K% [0 n# j4 R, D
3 `) q* \6 V6 `: Y& F　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;
/ S6 n) |- p) |
　　while termination=false
/ q6 g+ o: E# G3 S! I% u2 |: |
　　　begin

4 D" d7 M0 U8 ~& {+ }2 H9 t　　　　for i=1 to L do
5 O# A0 h7 E: D7 v1 S( E9 |0 V
　　　　　　begin

　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
* N( j! O+ H2 c/ C, i; |
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

　　　　　　　　S=S′;

　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

　　　　　　　　termination=true;
9 i8 D. ]$ m, X- P# d
　　　　　　End;
( w! X# b" }0 ]3 {6 m
4 _  A+ d5 m2 p( h: B　　　　T_lower;
" M/ n5 k: L2 K. N' Z) h5 X
9 c. _8 T+ `  H% ~7 Y2 A　　　End;

　End

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。



+ P% S$ ]: W" A& l" a( ?; n3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

. w' Q% n# f. g* u0 g　　(1) 温度T的初始值设置问题。
$ p; J5 k/ [1 l% m2 `' _1 o8 u
0 r6 L# m. r7 |　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
+ X3 a( E1 Y' s; T/ e' A, t/ `7 ]
" B0 P) P1 b8 W　　(2) 退火速度问题。
3 V9 x8 ^$ a- x$ F; u
1 U$ _6 u. P2 L- R8 ?3 M　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

: Z& W/ F7 ^% C6 w# d
1 o8 B" m( [2 I
T(t+1)＝k×T(t)
! x  l, n) t7 [
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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