遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介
9 b+ Q* Z2 ?1 `# h# y! G7 j# ]




. t+ ~# T  l1 F& u模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

2 N' m3 F2 \5 Q0 O+ j/ s! {& ]6 ?3.5.1 模拟退火算法的模型
5 g7 a1 H# Y. h9 Z) H$ X
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
0 l, I( l) c2 U
6 t0 V0 _3 E4 a　模拟退火的基本思想:

+ a7 c/ K8 y: P　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
9 D/ @' H& {% k+ D1 |8 a# C; {1 I
　　(3) 产生新解S′
8 Z, G  f" d. M# B
　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
2 k# \* L6 }& P! ?: `
　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
. P; `. P0 o% a- R% h$ u  I' X
% H7 ?' J1 N& g  n& d　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：
" D2 L+ @; M6 y
7 R4 S. T' U" N模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
- n7 M5 A& z2 @6 X
4 M+ d- j$ j8 T; n　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
9 b% _+ U7 R! g5 X9 l5 T4 B; ?: ?: ?8 r- N
" |& S6 x: M' Q4 ]# P* f　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
5 Q4 J( U) Y  M+ Y
( T! K" _1 ]" U9 E. `! f　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

3 N2 c. @/ j8 g' Y1 a+ _' X　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
2 b) M5 f; v/ c3 F: S3 J
　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
2 ]) U: C' a, R1 u# [  ~/ `


3.5.2 模拟退火算法的简单应用

8 p& m( Y- o. j$ r7 g: u　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
7 O( r1 _1 G" [" d+ b" a% j1 s( O
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

- n7 H: H: J: M0 e" h+ C1 i　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
# ]( {4 i$ \2 ~1 I: L


3 K5 T  n8 ]3 i9 m# Y　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
* u" l* F  L0 O( ], ?0 A) B
/ r3 a( i& ^$ @3 x1 P0 V* H: j　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
5 B! h  ~: z) |
　　如果是k>m，则将
  j4 Z6 W! a3 d, \8 C' T3 D+ o
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

4 b+ Y7 u  A5 N0 J% q, z　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
- ?9 ]. Y& `9 L# q
　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

) u: h5 |. Z! i. G　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
5 u* c/ h6 z, }  V4 q


) i* Z, r. O- ?& G5 r# W: u根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:

8 l2 r6 Z3 T1 E6 C8 S　begin
% k* i& q$ t9 a' t% g
( p8 C6 `4 W2 h5 ?% _　　init-of-T; { T为初始温度}
1 c! c% C6 c2 F$ y' [5 x+ d3 z
( f+ n8 D2 D" v　　S={1，……，n}; {S为初始值}
2 [' [) v0 ^7 K9 z
　　termination=false;
( k- s& X4 W+ k# d
　　while termination=false

: A4 V: p7 g) k+ v　　　begin

　　　　for i=1 to L do
) X  v! u7 L! a; i* l. Q) R0 r' }
. I6 `# D& |. h' t. }　　　　　　begin
1 R# z' c  g- j$ K$ o, g& f1 Y
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

( x5 v9 [- a7 x4 [& E　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
) e/ U# I* d% D" o2 U( b/ O
0 G- j- W! N- z, {　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

, _' ~9 |! V2 I6 m2 d4 j1 c, l* c　　　　　　　　S=S′;
% d0 s; H0 }$ `- z- \6 d. a
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
8 M3 c, l: \, C1 @" s
　　　　　　　　termination=true;
6 Y1 |* k; i# m
$ e' B+ i; {2 z' X, @　　　　　　End;
$ c4 ?; h8 r/ F& _  w
- C8 r( Z0 b# _1 T+ E　　　　T_lower;

　　　End;

　End

, d" T! C; b  f* R' a* R　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
2 n$ z* v1 u8 l. D# [. T" l' I; B1 N
2 o6 c7 N% }4 x
8 G  w6 ~* j6 G3 F
3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
( }: Q8 D6 ?7 q' D: k4 E
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
! K- R+ X" R5 `/ J6 ~
　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

" L* P7 G3 O5 |$ E% d, d　　(2) 退火速度问题。
5 r8 l, M' I. T/ G9 Z2 P
+ ~: B9 i$ E" ?$ ^. E　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
8 N4 C4 ]' z: |& \
　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：



, m+ [( O$ ~- n( Q. ], hT(t+1)＝k×T(t)
/ B$ c, |- P3 m8 r5 ^; L
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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