遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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模拟退火算法简介
3 [! L  {7 A* u" h7 q1 ^2 D


9 J# L4 s6 x7 E6 j5 }5 `" F
9 e6 k- f( i0 ~
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
; ?& z. I& P! W+ [6 Z  [6 W
/ ?' k, R" B/ O2 r" }, H3.5.1 模拟退火算法的模型
8 c3 z1 u7 A/ ^$ O) R1 m5 M
8 G/ z+ N8 l7 V# ]9 s　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
. ^! l% G( \( s" A( N+ A
2 _( S! {8 \# G3 h5 \, o( V　模拟退火的基本思想:

6 V. y) b* {7 Q  G( |　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

2 U. y  b; m5 }5 m　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

! d+ R3 C' a* Q: Q' K; i9 g　　(3) 产生新解S′
" N* G" e% N0 h0 U
　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
; V" w' N2 o. |1 e; n! f. A
1 s7 i: [" J+ U! N" J　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
8 f9 s1 p' b. o" X; A. {7 D3 B
- J- ]9 t5 q+ L# ^" u& l5 n　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

% M, {2 H9 |! i/ y6 D2 ]4 U终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
& Q0 ]/ |; A* ]! q6 h! S
　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
* Y6 O' m+ h; h5 F# }: R
. |+ |+ j2 I9 ?& ~* }! x$ z算法对应动态演示图：
/ N. |5 h7 X. t% O
4 f0 n9 P0 g! E! B模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

8 \* q, ]" i2 Y% J　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

) L, e3 ]* {0 n, g. I　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。



- z# b7 i5 A( k* e8 {8 _3.5.2 模拟退火算法的简单应用

# {+ o: W+ @1 Z8 e' s: l　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
9 r# c2 _, c1 s  p1 S
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
" |! G6 @3 ~9 a# h( ^
6 w( E7 n8 r) Z. p' x9 u　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

4 S  G* I. E# Z　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
0 x% O6 Z8 ?: n- K6 d/ w
7 f& I+ I" y$ C+ {: t, @0 {4 V

　　我们要求此代价函数的最小值。
3 t. f6 |9 c- [4 H
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
6 M0 O$ i/ l2 U7 S- s4 h
, G( q6 P  A: k. W) R  Z: o　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

3 ?" u# ~1 _2 V4 i) a2 h　　变为：

　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
5 G$ K: t. @1 y
% h1 ~' n7 ~/ U　　如果是k>m，则将
" v2 l3 L2 }0 P% M
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

1 G" `7 w/ r; s2 b　　变为：
2 F) `1 a" u- R' X; _8 P( f
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

8 R: Z  C/ c( o/ i0 s( {　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
8 R& ]- ]3 Y; h( l, U* Y
  u8 l( A- ~& W4 T　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
+ M1 N3 M! ]2 r3 _) d. }
' z6 f+ k; D- R; Y
8 Z+ w9 P" y: v- v
4 F) _0 O! D" e* i' V( M根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:

9 V( o4 D2 }' D4 o( C6 q　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}

/ s: k& J1 N1 y% Y' Y9 W! y. J　　S={1，……，n}; {S为初始值}
5 N! [8 F  Q' W: R" v4 j
8 I! r; u* ^/ o4 B) e- }　　termination=false;
/ c4 V! ~% W& [+ T( Q
　　while termination=false

　　　begin

& x$ ^0 Q: P+ r" {5 I3 z　　　　for i=1 to L do
3 {+ V* A, w3 f* ?
  A8 D' C2 m& O9 ^2 d: C& x　　　　　　begin
7 M* R2 P7 ~& x" X) [9 w2 d
0 O+ g$ l# p6 _4 H) o/ p) r  {　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

% [8 l+ c; z: J' f) }- O8 K　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
  i* A5 `" G7 M, @1 x' e* M; f8 ^
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

　　　　　　　　S=S′;
% Q+ {% R  t  E
* q6 S/ A2 p* @4 y4 y1 b9 s　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

　　　　　　　　termination=true;

　　　　　　End;

5 Z7 H; P( f! z  U/ b% h/ D+ p7 a7 d　　　　T_lower;

　　　End;
0 `0 t# w0 v# w  \# k8 n5 N
　End
" a# X; C0 {* {- N: W
0 T* s* L' i* i1 e　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
0 j' z3 u' W, d8 \! I


3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
2 {, |  m) R, j/ i" f* J% |
8 C$ [7 L" s2 h( t8 H7 J　　(1) 温度T的初始值设置问题。

3 X3 l( N: S( x7 k% m: K. C　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

　　(2) 退火速度问题。
) p. k4 j6 y  u/ m" u6 G  F
: n7 L4 J& q. s- h2 @& j9 t: d  y　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

. \, _0 J, n0 ], s

! l- s, `" M' }- o& A& {T(t+1)＝k×T(t)

; _( [% B% l) _0 }: s, q式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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