遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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模拟退火算法简介

! G9 R# |5 X3 L. C3 C" n% O* W
( ]2 Q- R2 H" t2 U5 Y) m: g) S

* U& j: C- ^3 R4 j8 k( t
- j2 j4 b" v- a' i3 \1 h4 {, F模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
1 A  K9 G9 F1 @4 H% W2 N
/ Q/ A; l5 g6 r6 }7 ?7 c. d3.5.1 模拟退火算法的模型

0 @  x! [, J) w3 {' I; U　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

& k; Q" e9 v0 q4 c/ E　模拟退火的基本思想:
; H" P+ K. i* ]1 s
( `' Y' l- n" Q2 u5 F6 D　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
0 t/ o+ d% u- m1 C7 ]* M
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
) F3 u2 z% L0 S/ V* B  l: F
" |- e# E/ d8 y, l7 v8 o3 k　　(3) 产生新解S′
: E; ?7 Y* Y- _4 i- k0 a( U  \3 N  g
( B5 q4 d! M. ?! `/ d  l7 |* Y　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
6 x/ J+ u" b/ A' r) U
& j4 O8 t( }# v8 o( s9 r　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

) ]; V8 V' y  D, x- r; {' A　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
% g" `6 N: v7 z( C) d. R( p3 y8 Z
0 t% s9 {0 `: W' ]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
$ Q4 v, `) x$ ]8 v
9 c6 X+ Y8 f% l算法对应动态演示图：
- _1 h4 c* E; \( E6 F$ [
模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

0 S; R* Q$ N- k7 Z" f: M　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

- W, l) {9 ]* ^8 e; J; N2 n8 D+ L# l
* |3 A9 P1 z0 x% n
# x0 h5 b9 t, Z- n3.5.2 模拟退火算法的简单应用

　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

* p. x% L- P% h9 t　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
/ i. V2 f' A1 \/ F% x
　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
' ]/ O; x. z. O! X
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：

. C! h4 `+ \6 ~- t. `5 O9 o
& r! C! x1 m5 O- h
　　我们要求此代价函数的最小值。
& z2 h+ _' R' M" g. i/ O3 d
: R# C0 u" n! `# l) f" p5 f+ K　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
' c- e4 C8 J! H
- x: f# t. F$ p3 }　　变为：
6 I; j  Y: @; [. [
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
+ K7 t% N  n! \' Y9 c9 @
5 k9 o5 D7 ]! r# \, r; b1 @5 S　　如果是k>m，则将
0 N, w8 p6 A5 R- [- H' m, [; @0 u# c
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
/ f, y+ m4 m$ R8 M  `
  T$ a. D9 m3 b0 U' G' F　　变为：
. l% d/ O3 w+ d: f- w1 X/ e
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
+ x$ N* j8 @1 T$ W
6 k3 z5 T! H' c4 }　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
! `7 O- L8 A( u; _7 X
　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：



& E% b1 q0 P# U( d, v根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
; C4 F' p' F! Q+ g
' J2 Z8 j$ e* G7 \& `+ IProcedure TSPSA:

　begin

2 a9 L% F$ o* _7 [. F　　init-of-T; { T为初始温度}

+ H3 p8 M  G  }8 [# d1 X  @　　S={1，……，n}; {S为初始值}
$ m$ u; @# D7 w- N
　　termination=false;
: b9 y' `& r& _$ i; z0 {
　　while termination=false

. a; G4 L7 _! l! s" g; }& v2 K　　　begin
& Y& ~5 J" k# m% r  U, @" c& c
　　　　for i=1 to L do

+ z7 R2 q. @- [6 W5 J　　　　　　begin
  i  K$ v- v: _7 l5 \
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
, z1 X% `# K+ A# p
4 n7 H% _6 }! O9 L　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
' u$ l. V) Q6 P& `& F
　　　　　　　　S=S′;
9 Z9 }! @- V& [. O# O# x
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

　　　　　　　　termination=true;
( g3 l+ E/ M3 q6 J( Y
　　　　　　End;

　　　　T_lower;

/ N1 e8 }7 _+ I9 |5 \　　　End;

　End

9 G" F4 t, n+ h  b! C' E　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
. T" b% d' x# E3 }8 ?$ M
) e3 }4 D/ N  {8 ~; ]
+ I: r5 `( t( |8 w- Y
# p# k  D* u) p( g! Z3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
* I+ F% \. {8 k1 P7 A
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
# V4 \+ y6 d+ A2 ]9 P
+ g9 L" |. q, |( z) ]/ m4 `　　(1) 温度T的初始值设置问题。

4 N$ A1 V( y, \% v　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

　　(2) 退火速度问题。

3 J& t- R% L& n. l; h* E. I　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
( X/ p( T. G; ~0 O# [  ~
( {. U2 a& \- u3 C9 i* l　　(3) 温度管理问题。

　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

& O1 ?2 P- z7 b6 T6 ]; G. ~

) t: z7 x+ V  H  ~* `T(t+1)＝k×T(t)

式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
( j; c3 A4 b" I" ]) U1 @7 t: d复制代码

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