遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

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扬帆呢

模拟退火算法简介

" x0 ^- r4 A4 ~3 F


+ w* @  j. f- u4 I
. J. S6 k. o/ q; K1 ^模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

1 z9 H, c* Q; c) o, M, X3 p) `; L3.5.1 模拟退火算法的模型

* \6 f/ \" k0 s: y　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

　模拟退火的基本思想:

　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
+ l3 J- ~" Z  l7 m& F: M  z: {
! H4 o7 h0 H6 r2 Z　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
% g0 ^6 |& s) `% J% u: A
　　(3) 产生新解S′
+ w$ b9 n; q3 V) Y
　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
% J- q  S1 U' n( c' Q5 {
　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

! B- L; B2 a2 O8 k+ y! u终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

* T7 \. u) S) v0 f　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
$ `! x( W1 u' S7 I# h
算法对应动态演示图：

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
  C# I+ }6 g- j1 U& \- G/ ]
　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

* k( `. y  j/ b5 @1 m　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
- T7 v( Q8 Q5 m5 P
+ ?" _2 @+ J7 L* @2 E1 s　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

. F: I) J+ w0 {* U

3.5.2 模拟退火算法的简单应用
2 r" K# `9 Z& N* z2 b" p
& r$ P, R! G! [: q% w0 x4 O- ^　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

/ H) A! c( [. d: f3 `% a　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

' [( Q" Z' s: Z) A! C　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
+ U( D3 H9 `# v4 x$ D
5 o, O& F& \. N( d* N　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：



: f% e' ]' i$ l3 |" c0 Z　　我们要求此代价函数的最小值。
' Z& z, `3 b- F0 C  k1 L/ C5 h
　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

; p* p+ d/ q4 h6 x　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

4 v  N9 j' q6 Y% y3 E$ F6 k2 [　　变为：
+ M. e5 M% x6 Y3 S/ L- q+ k" k
　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
7 ^+ A+ t9 i2 \) c" w. L" R9 z) Y
　　如果是k>m，则将

# P$ J8 o$ Q3 R7 m" Z3 I! x6 I7 g) Z　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
" w9 A$ d; Y' |% ~- u
# g: s5 ]/ ~2 x( O" q+ D　　变为：
- L0 b1 M  z- j# c4 B$ u1 Y: J
　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
- z$ }7 p0 f/ O1 }1 L, ?% m
　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
8 V7 ^! F* P* z3 O* R8 D
: J6 L, {! s1 @1 E　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：


/ T; C) U0 ?; ]: M# D( f5 V
根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
' m& {4 ?) d$ @( h5 F
* G1 E3 ]" h/ ~. s, A8 A3 kProcedure TSPSA:

0 v0 G4 P3 w& _! N- l" ^* r$ G　begin
. y- K0 u1 G) e! v5 S5 H2 F
　　init-of-T; { T为初始温度}

/ W1 ~5 {1 q4 [2 E/ C4 G( ^　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;

7 d$ N9 {! h- k. R- p, W　　while termination=false
: w1 x% W2 K/ f# n2 k
　　　begin

　　　　for i=1 to L do

3 P- x& s& |$ M; g, o& ^) z! w　　　　　　begin
6 |* ~& `$ J4 \- `6 l4 J3 I
- k0 P2 r( b. Z2 \/ F　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

: _1 P: q9 O* E/ n　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
8 X* r/ C* G9 y% F: N( o
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

1 s" {- N* ^6 S. [: v　　　　　　　　S=S′;

7 @! O6 n( m* [- X; E　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
9 r. n# \5 u  f- U7 x' S
" r/ T+ Y& X0 G" M4 _* r' [　　　　　　　　termination=true;

. D  w$ U7 j+ [) A　　　　　　End;
- `. T9 `; `% {0 s3 @
　　　　T_lower;
7 E6 f) w. R  ]/ o
　　　End;

7 M$ G1 G5 `" n9 M* S% Z& {# ~' u　End
9 Y# m, P: x* D3 v2 _7 @1 U7 {  o
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

) z' B% Q) X1 Z# ~/ H+ B4 K# ~

3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
, m$ b+ m* L7 M
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

　　(1) 温度T的初始值设置问题。

  _; J) h  _% P; x, l　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

% O% d* B9 V2 H9 o2 B- g　　(2) 退火速度问题。

　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
( ?8 h. ?9 U5 e5 Q9 ]/ V
+ y- A0 H5 O% t) d; N! W　　(3) 温度管理问题。
8 b" q+ }) a7 H3 i- p% ^
; E3 Z; d8 s/ b, c3 X! Z　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

- D6 Z, p: J6 ?  o" W0 W% T

, W5 D& @9 y: S2 v3 @% y2 CT(t+1)＝k×T(t)

式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
( }5 y4 _6 w* l+ W6 C复制代码

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