遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介



, w6 U9 |  g. Z8 B  |2 v5 f

/ n# \; G6 [5 X7 v! R3 p" J模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
3 t0 y6 `4 a6 ~
3.5.1 模拟退火算法的模型
  x" I& J( [0 s6 p7 n1 J" |. u
　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

　模拟退火的基本思想:

　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
+ U. H% e" j+ U
　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′

5 X% f2 S) Z, f* j　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

0 Y2 C& u8 J* H& W; P% j% V终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
9 B8 l+ [6 x' \. ~! U
2 T8 K) j. E" i) ^　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

- X6 y- G; r( b3 n6 [5 W" ~/ S: C算法对应动态演示图：
& c# k2 N& @. n
( l4 [2 c  x2 H, A1 S) H模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
/ i! R3 e6 E$ }* ?% v
! f; t8 b2 s; L9 ]& {　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

! q+ Y# {# W$ ?/ @  ]5 ?' ?　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
0 c( u; I/ R5 O! j, g/ Z9 ~
　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
# p6 z' ?) }/ V/ n' v% Q' z
　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

* D4 p8 F( v( j7 ]4 z# M

3.5.2 模拟退火算法的简单应用
0 c9 s% `9 {) x5 i+ G0 w$ j  |
( g. b; e9 ]9 N. K+ R5 c' c　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
8 @- A$ T8 X6 A7 E* q2 A
　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
5 c) F1 s: w6 _0 k5 F. ]& \
　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)
: J1 \  o! q$ m+ N8 o
　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
* t/ B# R$ ?0 R! i( l. u


- S. K$ d" C' T7 ~　　我们要求此代价函数的最小值。

3 _: _8 e* `+ g) T8 i　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将
9 e9 o( z. H6 _0 K3 j
　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

- z4 F. e  @9 a　　变为：

　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).
# j% G, `0 V: @) k5 w8 _2 {8 N
" q' ]! T0 ^* i7 x0 C4 ]3 M  s　　如果是k>m，则将

0 k8 D9 h/ g; g' J& W　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

% G( p. A+ M: u  y6 T) ~　　变为：

2 K4 x" _7 P* P5 F" @& ]　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).
$ M8 \! l3 G' {" C* z
　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

# i# e# |5 ~/ [% }　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：



( d6 _; M5 N. ]7 L9 o3 ~% l) h根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：
% Q6 S! x% k% _" N+ H/ P
Procedure TSPSA:
; e8 F1 @  X) J! ^* @' y) m
　begin
& W* S- [" }* h8 N- w
　　init-of-T; { T为初始温度}

　　S={1，……，n}; {S为初始值}

1 L# ~/ W$ }$ R" }　　termination=false;
- _8 Y* |, h7 S% b/ `
, E6 W1 H/ V; X1 \! U1 G# `0 R# p　　while termination=false

　　　begin
/ K  y) C$ ~# ^  \' ]
# p* {: Q' @4 f$ M　　　　for i=1 to L do

　　　　　　begin

0 U( s- N+ b2 ?3 [9 X　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
( S% g8 U9 j2 G  |! ]7 q
1 P7 t& v* M/ ]　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
3 Z' d+ j5 l. V6 w, Q# T. h7 O8 F
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

　　　　　　　　S=S′;
2 }, f" D# U4 Y* f- T4 }3 b
5 F0 ^5 p' n& n9 p9 B　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

　　　　　　　　termination=true;

　　　　　　End;
1 c0 F. \+ @! C% e
! Q$ V- q( a' A, U　　　　T_lower;
; @+ R" T- M1 P4 O) l- n
3 w% O: a6 \' X' B2 C( V$ y　　　End;
: j# b; k+ y; h/ p( R
　End

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
3 J1 A0 b& H1 l5 G' k
# ]5 h' z) B9 z2 q" {9 A" g
0 U' T# I0 _( K( Z6 r& w( u
' n: F- x, v" K9 \, i3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题

0 M2 I) |3 N% F　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
+ Z# V$ m" \5 K5 L
　　(1) 温度T的初始值设置问题。

/ n# E- U' m7 x: u" W: N　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
* _& _; G6 e3 B9 Q; t5 S" t
　　(2) 退火速度问题。

　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

& T2 s- U2 [, j1 e! p5 ^+ o　　(3) 温度管理问题。

; _' w0 P# o& k7 A" P　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：



1 ^9 \/ T3 Y6 j  }4 u6 ~T(t+1)＝k×T(t)
# q0 K. e5 x" W) x& r& W; t
* Z. B/ u  o* n, Y' n9 F$ n式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
0 v1 s7 l3 F& ?* U复制代码

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