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签到天数: 2 天 [LV.1]初来乍到
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 群组: 09年国际数学建模群—鹰之队 群组: 数学趣味、游戏、IQ等 |
灰色预测常用的是GM(1,1)模型,该模型存在一定的缺陷,修正起来比较麻烦,另外GM(1,1)模型是一种呈指数增长的模型,其预测精度受到原始数据序列光滑离散性的限制,当原始数据序列不够光滑离散时,利用GM(1,1)模型所建立的系统预测模型精度就很差。提高GM(1,1)模型预测精度的方法较多,其中主要是对原始数据序列进行变换,增加离散数据光滑度后再进行预测。常用的改进方法有:指数加权方法、对数变换方法和开n次方变换方法。从预测结果的相对误差来看,对数变换的预测结果为最好,开平方变换的预测结果次之,指数加权变换方法较差。/ ]+ l$ q3 J, F9 w" m' ~1 e
几种灰色预测模型( y2 \% W8 G2 R. q6 C
1 GM(1,1)预测模型[1,2]2 b3 B; r6 ^, l; g7 a/ G. u
GM(1,1)模型是对原始数据序列作一次累加生成,使生成序列呈一定规律,并用典型曲线拟合,建立其数学模型。: ?/ v4 k' d, U
对已知原始数据序列X(0)={X(0)i}(i=1,2, X/ G2 j; |( i. v# n, K) q; u6 L
…,n),首先进行一阶累加生成新序数列X(1)然后按新序数列中数据间的变化规律对X(1)建立白化形式的微分方程
' W5 c: [ Q! n1 W3 _
) c; W/ R, E A" E( {% v0 t8 y* f0 A9 `, z2 X# a% n( S
式中 a、u为由最小二乘法确定的参数。 z; s! @$ d6 Z( H3 x$ m7 n$ J$ M
对X(1)(k)进行逆累加生成还原,可得到X(0)(k)预测值,即为GM(1,1)预测模型: ^& p: A5 K( ?
2 c; m P4 d9 t3 }1 v- ?2 指数加权法
4 G" B' S$ E. d 用指数加权方法改造原始数据序列,然后对新生成的数据序列用GM(1,1)模型预测,最后把预测数据序列还原。具体预测步骤如下:
' k8 c8 |, f4 A' J5 w8 Z( f3 U7 {4 w7 f ①对原始序列{X(0)(t)}按公式Y(0)(t)=αX(0)(t)+(1-α)Y(0)(t-1)(t=1,2,…,N)生成新序列{Y(0)(t)};
9 C8 l! S( @# D ②对新序列{Y(0)(t)}应用GM(1,1)模型进行预测,得预测序列{Y(0)(t)};
2 C- j+ l. U# ~0 ]# v0 M ③再按公式X(0)(t)=[Y(0)(t)-(1-α)Y(0)(t-1)]/β(t=1,2,…,N,N+1,…,N+L)将序列{Y(0)(t)}还原成序列{X(0)(t)};$ \) Y' T) \; E# r- I
④在上述计算中,根据需要,可以调整α、β的值,以控制预测结果和精度。当α=β=1时,即为原GM(1,1)模型。0 @; ~) c& Z- i4 j
指数加权方法的主要优点是,可以通过调整参数α、β的值来提高预测精度。+ k0 T: k6 N9 m4 q- P
3 对数变换法
1 r: P9 _! ?# x- D5 q1 }9 z4 Z8 @ 若原数据序列{X(0)(k)}(k=1,2,…,)为不光滑离散数据序列,则对{X(0)(k)}进行对数变换可得到{lnX(0)(k)},这样往往能提高数据序列的光滑度,因而可以用GM(1,1)模型对{lnX(0)(k)}进行预测,最后通过exp{lnX(0)(k)}还原。通过这种方法,可拓广灰色系统预测的范围,提高了预测精度。: x9 J/ O1 \* G4 C2 Q
4 开n次方变换法" G7 q1 |$ \3 S. T
主要思想是对{X(0)(k)}开n次方变换得到数列{X(0)(k)1/n},对变换后的数列建立GM(1,1)模型,最后通过对预测值求n次幂还原。
5 ]- x) M9 ^; G2 D M2.5 灰色关联多因子预测模型[6~8]# h- a( A+ a7 ?/ k& T5 f' H4 M
{X(0)i(k)}(k=1,2,…,n;i=1,2,…,h)代表原始数据序列,相应有均值时序和均值累加生成时序。均值时序若与非齐次离散指数函数满意趋势关联,则关联多因子预测模型为 0 b" x. t$ u* @! O: `
% s2 Y- h8 I$ Z- m
X^(1)(t)=AX(1)(t)+U (t≥0)(4)! f/ V0 I& u5 a: y/ t
其解为
, T* E% \0 c& `! @9 c( LX(1)(k)=eA(k-1)(X(1)+A-1U)-A-1U(5)
+ H1 `, b' L; y
) A" v. w9 C' g
4 R ^ u2 y& B& E' G# B还原解为
+ h# m+ k0 l( B8 q: G: xX(0)(k)=2eA(k-1)(I+e-A)-1(I-e-A)B(6); h* L& R, e" D" D' [! U
式中 A、B为由最小二乘法确定的参数。 |
zan
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