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签到天数: 2 天 [LV.1]初来乍到
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 群组: 09年国际数学建模群—鹰之队 群组: 数学趣味、游戏、IQ等 |
灰色预测常用的是GM(1,1)模型,该模型存在一定的缺陷,修正起来比较麻烦,另外GM(1,1)模型是一种呈指数增长的模型,其预测精度受到原始数据序列光滑离散性的限制,当原始数据序列不够光滑离散时,利用GM(1,1)模型所建立的系统预测模型精度就很差。提高GM(1,1)模型预测精度的方法较多,其中主要是对原始数据序列进行变换,增加离散数据光滑度后再进行预测。常用的改进方法有:指数加权方法、对数变换方法和开n次方变换方法。从预测结果的相对误差来看,对数变换的预测结果为最好,开平方变换的预测结果次之,指数加权变换方法较差。5 M/ Z& F5 \ |$ p% h
几种灰色预测模型
+ u9 ]2 f1 X; m, t* I% E1 GM(1,1)预测模型[1,2]
% X2 D* {# @) D9 V8 e: R& D+ Q GM(1,1)模型是对原始数据序列作一次累加生成,使生成序列呈一定规律,并用典型曲线拟合,建立其数学模型。* Z+ W: H3 w9 b. ?4 \0 r' |& q7 _
对已知原始数据序列X(0)={X(0)i}(i=1,2,
# Z) ]6 j3 y5 N7 x* F X, ~…,n),首先进行一阶累加生成新序数列X(1)然后按新序数列中数据间的变化规律对X(1)建立白化形式的微分方程
! N1 o0 Z2 n. n
' V* z0 C& f& X/ _8 n
- \8 E* C8 C9 w7 F) q2 n) O式中 a、u为由最小二乘法确定的参数。' S) {9 Z+ x) s/ m& l) [: k
对X(1)(k)进行逆累加生成还原,可得到X(0)(k)预测值,即为GM(1,1)预测模型2 @* @: }2 h$ L) }( _/ O
5 J* J. c! F: g" f
2 指数加权法
1 z9 K4 A2 T& C8 e2 f9 Z 用指数加权方法改造原始数据序列,然后对新生成的数据序列用GM(1,1)模型预测,最后把预测数据序列还原。具体预测步骤如下:
. Y5 n' a9 L# W0 U3 U( E ①对原始序列{X(0)(t)}按公式Y(0)(t)=αX(0)(t)+(1-α)Y(0)(t-1)(t=1,2,…,N)生成新序列{Y(0)(t)};5 x3 {$ E0 V$ N9 w) M5 i8 S
②对新序列{Y(0)(t)}应用GM(1,1)模型进行预测,得预测序列{Y(0)(t)};% U/ y! X$ F; A) J2 o
③再按公式X(0)(t)=[Y(0)(t)-(1-α)Y(0)(t-1)]/β(t=1,2,…,N,N+1,…,N+L)将序列{Y(0)(t)}还原成序列{X(0)(t)};9 q2 S5 s. V9 s9 j( e" u
④在上述计算中,根据需要,可以调整α、β的值,以控制预测结果和精度。当α=β=1时,即为原GM(1,1)模型。
- V. q K( D0 f; c0 a. q3 Q 指数加权方法的主要优点是,可以通过调整参数α、β的值来提高预测精度。
6 y5 L5 ^& t- d" p* W. r9 u/ _5 o3 对数变换法( A8 m5 t0 a+ D0 b5 ]8 C6 }# o
若原数据序列{X(0)(k)}(k=1,2,…,)为不光滑离散数据序列,则对{X(0)(k)}进行对数变换可得到{lnX(0)(k)},这样往往能提高数据序列的光滑度,因而可以用GM(1,1)模型对{lnX(0)(k)}进行预测,最后通过exp{lnX(0)(k)}还原。通过这种方法,可拓广灰色系统预测的范围,提高了预测精度。4 v: E) `. E8 P* h7 O4 Q+ i( P
4 开n次方变换法
/ g( B" p' W8 o- m9 F& L 主要思想是对{X(0)(k)}开n次方变换得到数列{X(0)(k)1/n},对变换后的数列建立GM(1,1)模型,最后通过对预测值求n次幂还原。
; W8 I7 v9 h, @2 k; }. v* ^2.5 灰色关联多因子预测模型[6~8]: x2 M2 K: l: U2 r1 ?
{X(0)i(k)}(k=1,2,…,n;i=1,2,…,h)代表原始数据序列,相应有均值时序和均值累加生成时序。均值时序若与非齐次离散指数函数满意趋势关联,则关联多因子预测模型为
) n4 |' h& @( n4 X; y: W, l
# Y) Q% J$ }4 c' p U# RX^(1)(t)=AX(1)(t)+U (t≥0)(4)
- Y) X6 B" r+ a# V$ o: H/ `$ g其解为
7 i& z3 S, s( _6 gX(1)(k)=eA(k-1)(X(1)+A-1U)-A-1U(5)
9 R9 @/ ~( |) ~8 \3 H3 L& [; p R: Q. P! R
8 ]1 A; C8 a( M$ `" i
还原解为) g$ @2 h% w( s
X(0)(k)=2eA(k-1)(I+e-A)-1(I-e-A)B(6)6 H( l# i. `; H; E4 ?
式中 A、B为由最小二乘法确定的参数。 |
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