x^2 (x+lnx)^2 x+(lnx)/2 －1 实际素数个数
10000 10942.24 101.3 100
40000 42147.39 201.64 202
x^2 (x+lnx)^2 x+(lnx)/2 －1 实际素数个数
1000000 1013863.22 1002.45 1031
100000000 100184291.63 10003.60 10029
x^2 (x+lnx)^2 x+(lnx)/2 －1 实际素数个数
993.092^2 1000000 995.54 986
1000000 1013863.22 1002.45 1031
1013863.22 1027835.84 1009.36 967
1027835.84 1041918.06 1016.28 1053
合计 4023.63 4037
用x+(lnx)/2 －1计算x^2 到 (x+lnx)^2 的素数个数的平均数 比用公式 Li(x) －1/2*Li(√x) 计算平均值方便。它们的原理是一样的。
数学研发网管理员liangbch在2013年5月31日回帖中发的实验数据：
“我刚刚对30到100亿之间的所有素数检查了一遍。测试结果如下
li(x)计算值比pi(x)大的有 455052501次,比pi(x)小的有0次
楼主的方法llz(x)比pi(x)大的情况有253606462次，比pi(x)小的情况有201446039次
看来楼主的方法是个非常好的方法，误差比较平衡。
楼主给出的误差 为 k*li(n^0.5) , k的范围为 -1.0 到 +1.0
我的测试结果为 -0.3170 到 0.373。看来楼主给出的表达式还算比较保守的。”
相差2a(a大于2整数)的素数无穷多
设正整数n，p为不大于√（n+2a）的素数，相差2a的两数m和(m+2a)，若
m≠0modp 且 (m+2a)≠0modp，则m, (m+2a)为相差2a的素数。如果不计这两素数间是否有素数，那么相差2a的素数对个数个数不少于相差2的素数对个数。因为当m≡(m+2a) modp时,去掉模p的一个同余类,相差2时，去掉模p的两个同余类。下面分析相差2a，之间没有素数的素数对个数。
数组m,(m+2),(m+4),…,(m+2x),…,(m+2a).如果m≠0modp, (m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1), (m+2a)≠0modp（其中Px为不大于√（n+2a）的一素数），那么m,(m+2a)为相差2a，之间没有素数的素数对。随着m的增大，能自然地满足(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1).因此，相差2a，之间没有素数的素数对个数趋于不加条件(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1)时的个数。所以相差2a，之间没有素数的素数对个数无穷多。
四生素数无穷多
设正整数n，p为不大于√（n+8）的素数，1≤m≤n,若m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，则m,(m+2),(m+6)和(m+8)这四个数都是素数，称为四生素数，或四胞胎素数。
满足条件m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，即是对不大于√（n+8）的素数，去掉模2余0的一个同余类，去掉模3余0和1的两个同余类，去掉模5余0、3、4和2四个同余类，大于5小于√（n+8）的其它素数都去四个同余类。当素数大于7小于或等于√（n+8）时，去掉的同余类小于余下的同余类，所以，随着n的增大，四生素数波动地增多。所以，四生素数无穷多。
x趋于无穷大时，相邻两素数是孪生素数的概率是1/lnx.
x趋于无穷大时，相邻两素数是孪生素数的概率是1/lnx.