素数个数公式及疑难猜想探证

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x^2      (x+lnx)^2         x+(lnx)/2 －1             实际素数个数
10000  10942.24            101.3                       100
" j4 N, |0 D6 U. {; C! I( a7 U40000  42147.39            201.64                     202

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x^2                (x+lnx)^2         x+(lnx)/2 －1             实际素数个数
8 N& f$ y  {! N, g  E1000000         1013863.22         1002.45                   1031
$ L4 s5 m; p' t; c; D7 ]& H) U$ x100000000     100184291.63     10003.60                 10029
' \8 Q/ p! M) H+ \5 O4 p

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x^2                (x+lnx)^2         x+(lnx)/2 －1             实际素数个数
993.092^2       1000000            995.54                     986
& [2 d" v/ Z' q4 s1000000         1013863.22         1002.45                   1031
  }% T' ]2 P* h( i' T1013863.22     1027835.84        1009.36                   967
1027835.84     1041918.06        1016.28                  1053
     合计                                    4023.63                  4037              
7 i& Q; q* S' u/ Y4 s

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用x+(lnx)/2 －1计算x^2 到 (x+lnx)^2 的素数个数的平均数 比用公式 Li(x) －1/2*Li(√x) 计算平均值方便。它们的原理是一样的。      
6 f4 v' y) f7 f6 z. S/ ^

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数学研发网管理员liangbch在2013年5月31日回帖中发的实验数据：
“我刚刚对30到100亿之间的所有素数检查了一遍。测试结果如下
1 x( A) k& U3 I( S! v
+ t- A3 ?2 |" ali(x)计算值比pi(x)大的有 455052501次,比pi(x)小的有0次

楼主的方法llz(x)比pi(x)大的情况有253606462次，比pi(x)小的情况有201446039次
5 X( Q) ?) H( c2 m, Q) s看来楼主的方法是个非常好的方法，误差比较平衡。
% x2 {" @4 ?3 s' ^( O; P0 f
* L9 l2 l4 v' W- a楼主给出的误差 为 k*li(n^0.5) , k的范围为 -1.0 到 +1.0
我的测试结果为 -0.3170 到 0.373。看来楼主给出的表达式还算比较保守的。”

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, V8 e" l2 f' Z4 B4 a) h

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相差2a(a大于2整数)的素数无穷多
" `  u. n) a. m/ v设正整数n，p为不大于√（n+2a）的素数，相差2a的两数m和(m+2a)，若
. N. ~/ @+ V, `* s. d8 lm≠0modp  且  (m+2a)≠0modp，则m, (m+2a)为相差2a的素数。如果不计这两素数间是否有素数，那么相差2a的素数对个数个数不少于相差2的素数对个数。因为当m≡(m+2a) modp时,去掉模p的一个同余类,相差2时，去掉模p的两个同余类。下面分析相差2a，之间没有素数的素数对个数。
) N5 K) _) l7 h数组m,(m+2),(m+4),…,(m+2x),…,(m+2a).如果m≠0modp, (m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1), (m+2a)≠0modp（其中Px为不大于√（n+2a）的一素数），那么m,(m+2a)为相差2a，之间没有素数的素数对。随着m的增大，能自然地满足(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1).因此，相差2a，之间没有素数的素数对个数趋于不加条件(m+2)≡0modP1, (m+4)≡0modP2 , …,(m+2x) ≡0modPx,…, (m+2a-2) ≡0modP(a-1)时的个数。所以相差2a，之间没有素数的素数对个数无穷多。
4 h3 ^, S, j7 q

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四生素数无穷多
设正整数n，p为不大于√（n+8）的素数，1≤m≤n,若m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，则m,(m+2),(m+6)和(m+8)这四个数都是素数，称为四生素数，或四胞胎素数。
  ]3 r: d# Q/ j+ G/ C; e满足条件m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，即是对不大于√（n+8）的素数，去掉模2余0的一个同余类，去掉模3余0和1的两个同余类，去掉模5余0、3、4和2四个同余类，大于5小于√（n+8）的其它素数都去四个同余类。当素数大于7小于或等于√（n+8）时，去掉的同余类小于余下的同余类，所以，随着n的增大，四生素数波动地增多。所以，四生素数无穷多。

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x趋于无穷大时，相邻两素数是孪生素数的概率是1/lnx.

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x趋于无穷大时，相邻两素数是孪生素数的概率是1/lnx.