一些组合函数

lilianjie1

. B: T# y4 z6 s) n
n:=12;n;
Factorial(n);求阶乘
( ]+ v3 ^5 d( Z. B$ q; G: A. n. q1 CFactorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));
NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
0 a- P+ J. S, `% Y3 xNumberOfPermutations(n, 4);
/ G* l; l+ P7 J% U" XNumberOfPermutations(n, 11);
Binomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
* i/ N5 X/ M" e( XBinomial(n, 3) ;
Binomial(n, 9) ;
" P2 |) J9 b- G! h" uBinomial(n, 10) ;
Binomial(n, 11) ;
0 G% ?* F- W. d, v5 e8 K: WMultinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12！/1！*2！*2！*3！*4！=831600
  q8 F3 T6 }! i4 N0 e
Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);
  u! p; x0 D/ o; ?# m* I' D5 gFibonacci(n+1);
! S& A$ y- r4 d, \7 eGeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
GeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
Catalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
k:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;
Catalan(1);
Catalan(2);
Catalan(3);Catalan(4);
6 D; C4 A" R7 a7 m* P, z- q7 iCatalan(12);
3 Z- h5 j$ g9 j+ R5 [
Lucas(n);卢卡斯数
12
" [& Q" i' {/ v% l+ t4 P8 g479001600
, n- h/ `7 O, G% X( O& E831600
12
; G* K! T8 {$ r1 G" H132
% G% n, x7 N( u9 R8 ]11880
$ l# t' u. f; d; o- h! K2 l479001600
12
( R4 g$ `! H' |5 ^6 h66
/ W2 Z$ t/ R& Q5 S3 x220
. C* i% v/ J8 S/ ]220
66
12
831600
144
89
) J' s6 d3 Y1 Q! a233
0 P1 f  R: Y7 F, J" G) K233
610
2 B1 n7 f' ?0 b8 {! o144
- P& _3 X5 G8 |& F: {  r/ q208012
208012
1
. _- _  \, ~% ?  p- C+ |" l2
6 @; R8 l# a/ a# o! K/ Q& V5
0 }' n* y. F! g. P14
208012
) D% z6 O# E" c3 }/ |& N& O322
4 v$ r2 L% m$ L. w9 P

3 w& d  Q0 v/ ?6 T0 P5 Y$ Z$ ~2 d! N8 ^卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
5 v, c) t5 c! I! e将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
; @& ]/ W" j. c  `2 ^) \8 `- D((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。
) Q/ J0 [: B% Z0 W
& L  e( R9 N4 ?$ Q0 a7 [3 gCn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
" [( H) G) I8 F$ iCn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
! D. ^0 j4 H0 E. H7 A# s
Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
+ g' G- K/ V: D0 yCn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
8 T$ F6 I" _% ^0 H7 L, }$ GCn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
. I( u! }$ T; k7 {
' R* P: l6 }/ i3 u8 s* O( G. J# H% _

1 n$ _* ^6 O6 V" O卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
7 I) v$ p/ y& N; t
7 b. S; x* Q% q但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同
- ~5 y' ?% p  `; V


0 V$ J$ j3 |5 Z+ \7 ?( [, Cn:=100;n;
a:=Lucas(n);a;
b:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
1 d8 N: r! u0 O, }/ X+ i0 Z4 mLucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);

" Q: o8 J. T! Z3 ]  x9 ]100
792070839848372253127
' z8 q: R2 B9 P8 Z792070839848372253127
1771124240896309575375
1771124240896309575375

孤寂冷逍遥

lilianjie

, ~( N9 ^: k" G( X  d# ^
+ @- a8 }  {9 l反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下：

6 D5 Q# n0 v* KGn + 2 = Gn − Gn + 1
如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...

/ h! E5 r6 g* [& c+ t" s即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。
3 `9 b$ J% E% S
1 i* S" J: o: w7 y3 P5 n' fBell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);
StirlingFirst(4,3);
StirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);
StirlingSecond(4, 3);
2
52
5
- b: ]& P4 [7 j4 n: m15
-6
11
-6
6 `! `1 N2 `. e% B# \! ~+ p9 Z* ^4 F) I1
+ B6 E. ?* x7 G; M+ o% x7
0 U( D% I: w2 g: }: i' K+ W6
* I) ~4 a) X8 ^, F% m* J( O7 d$ n
Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：
! I% Q' T, R1 p$ A$ r( V
! x  N& w3 _* T! t3 m+ {, {{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{''a'', ''b'', ''c''}}; 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
( V; F3 z/ Q1 t7 j6 l$ M* v' Os(n,k)是递降阶乘多项式的系数
有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)
. @* d' v$ a0 {2 [& h7 x5 c1 C
换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：
$ K  Z. ]/ ~. E& B0 R, H* _$ ]
{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
1 u) t) d- ^. f( M0 J0 N# g3 R{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
& [8 V' ^& L+ N* G{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
% @/ x- ?; `  |% e* r{C},{A,B,D}
( b  x% ]: q) l+ |$ l{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
, |- m8 `- n$ Q3 U{D},{A,C,B}
' A6 \0 Z# Z5 j9 r' L, f第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S
给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
" Q% W" o1 I3 \) @S(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
6 s- z$ S9 M9 Q$ zS(n,2) = 2n − 1 − 1

9 c+ t6 S$ s8 F- y3 L换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1) = 1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4) = 1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

{A,B},{C,D}
% N4 i% L8 T; U3 r9 N5 T, E{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
' C; C$ x5 [# D( {/ B% C{C},{A,B,D}
  L/ {/ Q8 J9 L* l{D},{A,B,C}
因此S(4,2) = 7。

lilianjie1

! f1 |. U) \: y% F& F" o9 `# ~
9 @0 k6 U6 q; |n:=5;r:=3;
EulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
5 c# O& [' _/ xBernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式

+ Y/ A/ T7 u' p1 O26
& Q  s+ W9 e3 l9 }! d- Q& F137/60
- |; L; J3 c1 @0
: D% F; L  y! g/ U$ h0.000000000000000000000000000000
" t) ~- f. r3 S- x$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

lilianjie

5 P- @- x& |9 P


伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关

lilianjie

) n2 |, @% P6 ^' N+ m9 ]$ p
) z3 w+ G# @% |. i  p9 [7 B% u拆分 。。。。强！

NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;

7
& y, ~6 z: F! D+ `  V, r190569292
[
+ O5 N+ ]2 {3 g& n$ t6 \2 f    [ 10 ],
6 i- p3 g' J* I$ J4 R$ o    [ 9, 1 ],
4 _$ \8 `, R4 ~! [# l1 q    [ 8, 2 ],
    [ 8, 1, 1 ],
    [ 7, 3 ],
+ H# R1 S2 D/ J8 `    [ 7, 2, 1 ],
    [ 7, 1, 1, 1 ],
) d" j" w+ m$ o9 E    [ 6, 4 ],
    [ 6, 3, 1 ],
    [ 6, 2, 2 ],
    [ 6, 2, 1, 1 ],
  ?" v$ B3 C8 z1 ~4 A    [ 6, 1, 1, 1, 1 ],
( a$ b* r( A' I, t    [ 5, 5 ],
9 o# k; J4 D4 m+ H4 |9 |7 G    [ 5, 4, 1 ],
) Z: z6 ?! y# b) b; ]# t, A6 M  B    [ 5, 3, 2 ],
) P1 A% h7 X1 N. Z$ N: V: ~    [ 5, 3, 1, 1 ],
; ^1 c& h1 L8 a# p    [ 5, 2, 2, 1 ],
9 M; w3 O, O% q0 q6 X8 v$ K, g    [ 5, 2, 1, 1, 1 ],
    [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
3 `# X" x6 k% X' G& z- h    [ 4, 4, 2 ],
" F) \  z5 y$ n" d. p    [ 4, 4, 1, 1 ],
  j* T; d% x8 v3 l    [ 4, 3, 3 ],
    [ 4, 3, 2, 1 ],
6 W5 G8 }  I4 m& a5 s) O7 s    [ 4, 3, 1, 1, 1 ],
' B. Y/ P! r7 o    [ 4, 2, 2, 2 ],
4 u9 {8 n( J! F0 x" [- T    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],
! t8 R# @) n! ]5 b, i    [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
. s' _5 i1 \: s; U- i# i0 {/ A! H    [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
1 ^. d! _6 D: p  s/ u$ b    [ 3, 3, 3, 1 ],
    [ 3, 3, 2, 2 ],
8 B8 K) u; U* I# b2 [! Y6 X    [ 3, 3, 2, 1, 1 ],
" o! N; s& }! s4 T: K- R) z+ O    [ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 2, 2, 2, 1 ],
    [ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
3 M& m2 Q& Y* J  U3 O, O    [ 2, 2, 2, 2, 2 ],
/ D- `  ^$ ~+ `& }    [ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
3 i7 Q) t. ~% g% n    [ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
& K9 u) G. M4 i. U5 g- @    [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
. s: I# U% M# c# o2 `]

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