QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 5203|回复: 6
打印 上一主题 下一主题

一些组合函数

[复制链接]
字体大小: 正常 放大

15

主题

4

听众

113

积分

升级  6.5%

  • TA的每日心情
    开心
    2012-1-13 11:49
  • 签到天数: 9 天

    [LV.3]偶尔看看II

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2012-1-12 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-12 18:09 编辑
    # N0 M+ s! N; \
    ' \8 X* I& K* V4 o/ Nn:=12;n;6 w- J3 r/ {6 D7 l! P/ n
    Factorial(n);求阶乘0 L  d' C! x( q6 i2 x6 c
    Factorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));/ K' d  L' i! a( D1 f
    NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
    " \2 y1 o8 j* j7 N( W8 ^* _: HNumberOfPermutations(n, 4);- r% J; o5 B3 {! O
    NumberOfPermutations(n, 11);; U; N2 ^6 A* n3 i6 k
    Binomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
    ) W1 `1 N! D9 U% SBinomial(n, 3) ;+ t6 o5 K* X" h( A2 X6 g
    Binomial(n, 9) ;
    9 V- s& G" L9 e! cBinomial(n, 10) ;( E2 m' h! M& C
    Binomial(n, 11) ;
    2 T4 Q9 w% X8 y. E# o9 C, r  Q! OMultinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12!/1!*2!*2!*3!*4!=831600! j+ ]( h# s3 K8 u# P
    ( P0 D: Y: n  G# D. u- a
    Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);/ F) @* V3 i4 m' e4 m! m/ n- M
    Fibonacci(n+1);
    & l0 C, y; M- P; _& v8 Y& _$ g! gGeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
    + g& ]* e8 i% E( V4 }GeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;) m% k2 a8 U* e& ]8 J
    Catalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))) W' t1 u; J( {
    k:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;( E! [4 r/ ]& t0 ^2 V
    Catalan(1);  w2 t0 m+ S& H% H7 R; ~% d2 U
    Catalan(2);
    , f/ h/ l& v% _Catalan(3);Catalan(4);8 d. d  E8 n  b. k$ G  ?3 j
    Catalan(12);( L$ a' E+ C- f0 y
    % v4 V: u* w7 ?. w8 u
    Lucas(n);卢卡斯数
    9 J) S7 W/ z  `12" Z# q! W/ w6 L9 L
    479001600
    ( y  B' u8 n* _, M1 T* a831600- O0 l, B0 j& p+ _* m( W* ~9 f
    12" i9 v, U* z' C/ F- O# t. Z
    132" X  L) t% _* C2 U+ i# c0 j7 M" u
    118808 G3 O; l9 i$ a% t3 w
    479001600/ a4 q) S: _/ ?. s: n# Q6 B2 R, z" b3 |
    121 d( `- i& }  C+ s$ s5 P# T; z
    66% N0 v# R( T8 A, V! o
    220
    9 b( x5 i0 c, T- g% j220
    8 n: B5 y8 O# v- u+ R# u9 r664 `% F' D) Y3 N5 J# R" H/ T- X
    12
    ! o* p( R) K# X: m" }831600
    7 S3 I5 W: r) I1442 k, o/ K: X) D: F3 e3 T
    89+ p5 e+ P* @) c) T) \- u9 P
    2336 @# d. j1 G' v. V
    233  c/ @1 Y0 c" ~) N! S! r
    610
      {  g; |/ K5 ?144
      L0 {/ d7 z% m0 W- I7 |3 s208012
    5 J; J. B+ y" E4 e: f6 c" t2 O208012
    ; X4 W5 ]* t) X9 q1
    5 V+ n8 U" E0 D: G  k2
    # A" I5 ^6 g/ s; f0 p% @8 c* W5" M+ J0 N# [; c& L  k* o) q  y: W
    14+ g) F% T, }1 j, ~
    2080120 x! N! S7 x( ]6 k( `6 m
    3229 T6 t" ~. \& _6 w( r0 y
    - `% F* [7 D1 g1 o
    8 s8 {# `4 ^7 I
    卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))( Y/ D, F  o9 C9 K
    Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
    & f, d$ L  ]0 J* l9 m**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY' ^: `  Z$ N$ Q1 T# d- T' y- I( c2 r
    将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
    ( I7 e. L7 U* }! ?; X((())) ()(()) ()()() (())() (()())
    1 P, \+ A/ B# b2 G& a) iCn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。
    ; t& K+ e% I: Q' j* ^5 C
    ) i; D1 k$ h: w! k$ i7 G) k) |Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。(一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。)
    2 L' ~& A: e1 ^. Y( ~+ \Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况:
    8 |; V. b/ L- `; G* r" \: E% v  i" Y
    Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下:令w = unv,其中n为w的最大元素,u和v为更短的数列;再令S(w) = S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
    9 @9 e3 d0 h* C# _  QCn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数,其中每个段落的长度为2。综合这两个结论,可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices. 9 m! M$ H# V5 q: h
    Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
    1 Q% V, p, [  A2 `

    2 B: [+ M) }% E9 G9 {. {: W. T1 E/ _; E% M. U- Z

    , C9 x0 h! ~) _- ~+ C) _+ `卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列,他既研究了这个数列,也研究了有密切关系的斐波那契数(两个数列都是卢卡斯数列)。与斐波那契数一样,每一个卢卡斯数都定义为前两项之和,也就是说,它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
    2 Q0 G0 j, ~  o! n/ {% o
    * X% L/ l2 o+ |2 P/ M8 X但是,最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1,而不是0和1。所以,卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同

    " b5 a! z, c8 Y  Z. ]3 Q7 O. G/ `, \! q/ \4 ~  m6 L+ @; v: G; ^
    ) O+ B6 }3 k$ {- F, R

    ( ~, w) l6 }4 D5 g1 Dn:=100;n;
    3 ?3 V5 o, O0 b* Ua:=Lucas(n);a;
    + v4 L/ z. x1 k2 A, Pb:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;: p+ _6 O4 M2 Z  w* \
    Lucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);% C' Z" Z; F! k! z/ B# A

    # j; }# m4 b. [+ S9 e6 A100
    / s8 d2 q9 i$ b8 A/ z4 Q) g, o792070839848372253127- X; T4 D/ r7 n) f2 O# K" |
    792070839848372253127
    . h& n* Y$ v" U/ l2 X4 V2 o: P1771124240896309575375. M# T" y: V; I* F* }
    1771124240896309575375

    12.JPG (43 KB, 下载次数: 436)

    12.JPG

    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信

    74

    主题

    6

    听众

    3302

    积分

    升级  43.4%

  • TA的每日心情
    无聊
    2015-9-4 00:52
  • 签到天数: 374 天

    [LV.9]以坛为家II

    社区QQ达人 邮箱绑定达人 发帖功臣 最具活力勋章

    群组数学建摸协会

    群组Matlab讨论组

    群组小草的客厅

    群组数学建模

    群组LINGO

    回复

    使用道具 举报

    lilianjie        

    43

    主题

    4

    听众

    204

    积分

    升级  52%

  • TA的每日心情
    开心
    2012-1-13 11:05
  • 签到天数: 15 天

    [LV.4]偶尔看看III

    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 18:44 编辑 : W! f7 s; {' K- j. j. b" q* m
    " F4 v# i3 L: N! s$ h% ?
    反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下:' W! D  v" V2 n: E* G
    7 r' L2 O* x, M& M
    Gn + 2 = Gn − Gn + 1 + ]& x- P/ L: Q# N1 I3 Y
    如果它以1,-1,之后的数是:1,-1,2,-3,5,-8, ...
      q% k. B! X. X! n3 N; d) X- x$ A3 ^- y2 h1 D- Z( t+ H( P
    即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。
    ' D& Y% x% h2 C. _% n1 `
    , U2 T. f. v* l$ x8 p4 [+ qBell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);+ E) Q; O5 u  X
    StirlingFirst(4,3);/ X3 O5 |5 }1 ^! ]$ v8 N
    StirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);4 P8 v1 C1 [* O) T) Q- z
    StirlingSecond(4, 3);
    8 p* x- H- x! @3 @2 @( e/ A$ n2
    : h  y" \# J" |) {  I* O: Z52
    8 k  s5 w" z& m- M9 t5
    5 U* a. {' c# z& j4 G" p157 e3 @; L: v2 b' n- r7 X
    -6' L- [* @" \9 v1 k
    11
    2 L! J6 p* [4 w9 y-65 ^, v' c* x! k+ p% n
    1) u% g: O/ r# y( |/ M
    7
    1 q3 y' I0 P9 h! D6
    $ L( |/ }% y, _( \) A% R# x/ _- S
    Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法:
    4 M# [* ^# F- y$ q# A! [+ B0 }0 Z) R  t6 g: p7 c) F
    {{a}, {b}, {c}} ! z; [/ G9 X3 N! g: {" L4 @. d
    {{a}, {b, c}} ' P2 S' g( c; u
    {{b}, {a, c}} 3 j! }& J1 n3 M% B7 m, I
    {{c}, {a, b}}
    ! X) o6 i* F+ a7 r, d{{''a'', ''b'', ''c''}};
    第一类Stirling数是有正负的,其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s3 |! l5 {3 {! m6 }# \9 l, E" W2 A
    s(n,k)是递降阶乘多项式的系数% T. }7 m/ a5 \9 F
    有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)
    2 S/ a1 P# P  H) J6 C! M4 W& {8 H6 X. a; S4 E
    换个较生活化的说法,就是有n个人分成k组,每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2):( B9 d; G* t: V
    4 Y, [! K7 \2 l' k, `2 B) J5 {0 ^6 u
    {A,B},{C,D}
      ~1 \0 o  b% b4 g% ~8 f) W{A,C},{B,D} ! d& g) S) O7 L
    {A,D},{B,C}
    # ~" k- b# \) M9 W+ |$ R# D$ ~5 J% Y{A},{B,C,D} 6 W" d1 R9 y/ F) K3 S+ U2 N/ y7 {
    {A},{B,D,C}
    6 g% @4 B2 [1 c  P1 b0 G8 h2 w{B},{A,C,D}
    ; i7 m% E( }( \& X' ~, u2 i{B},{A,D,C} ; G+ f& C$ ~0 S- @" Y! Z
    {C},{A,B,D}
    8 j. W+ f) G% }- f{C},{A,D,B} : L* u. `7 V$ H- I& C
    {D},{A,B,C}
    9 u; M" G" T. I6 m{D},{A,C,B}
    ! q! }  T% [' m' J$ {  w' j
    第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S1 W: w( j+ e5 J# ]0 v( N# S
    给定S(n,n) = S(n,1) = 1,有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
    + j2 Q# h& d& TS(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2   H9 o) f' f! ~7 f+ s5 T
    S(n,2) = 2n − 1 − 1 + a/ Y6 n& e" m  i
    ! h# o+ Q) G+ O6 c7 H
    换个较生活化的说法,就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成1组,只有所有人在同一组这个方法,因此S(4,1) = 1;若所有人分成4组,只可以人人独立一组,因此S(4,4) = 1;若分成2组,可以是甲乙一组、丙丁一组,或甲丙一组、乙丁一组,或甲丁一组、乙丙一组,或其中三人同一组另一人独立一组,即是:$ K$ v* ]8 s, b; G- S3 ?! E

    - z1 u# A- a; t% u9 K; `- t) @{A,B},{C,D}
    2 k  D9 c5 s3 S2 w% s; e{A,C},{B,D}
    ! X# [3 `1 ~/ H: L{A,D},{B,C} . D2 r: _0 @% ~' I# q
    {A},{B,C,D} ' `# ]2 D6 n$ w* `( B
    {B},{A,C,D} . m6 ^" p4 I$ i, f% J
    {C},{A,B,D}
    % a/ |+ ]' Y, {! @/ R$ r4 n{D},{A,B,C}
    % ]8 P4 f0 R* D: H) K因此S(4,2) = 7。
    回复

    使用道具 举报

    15

    主题

    4

    听众

    113

    积分

    升级  6.5%

  • TA的每日心情
    开心
    2012-1-13 11:49
  • 签到天数: 9 天

    [LV.3]偶尔看看II

    本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-12 20:06 编辑 ; I! R4 U8 {' D8 L

    / e3 a) Y/ l7 s( Nn:=5;r:=3;
    % o8 t% Z4 T8 Y. A/ p% oEulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn,以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
    6 `  K3 c- l5 k  l6 V6 _BernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式0 T" C9 Q; {! P; l2 S
    & T  ^4 P" W: l' b0 ]
    26
    & }& d/ V' g1 X, ?  d0 W- ~137/601 C+ T! ?- `# N, C1 ]/ b
    00 }/ n4 [& }3 N6 g6 O) Q8 v0 b
    0.000000000000000000000000000000
    6 T& F: ^; X9 A/ ]7 ^# h$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

    22.JPG (56.17 KB, 下载次数: 390)

    22.JPG

    33.JPG (50.55 KB, 下载次数: 416)

    33.JPG

    回复

    使用道具 举报

    lilianjie        

    43

    主题

    4

    听众

    204

    积分

    升级  52%

  • TA的每日心情
    开心
    2012-1-13 11:05
  • 签到天数: 15 天

    [LV.4]偶尔看看III

    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 19:56 编辑
    + F. v3 R5 R, `' Y8 L8 {% C
    * h/ s; L* J. [
    ' F* p4 k7 n  Z* I7 x( X7 B9 @+ w8 k% ]& f, U+ R
    伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n),也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此,可推测它们有深刻的算术性质,事实也的确如此,这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。* ]6 u0 n0 ?. c% S5 \# b- o0 K
    / r' }9 ^1 i4 i: H, h; ^
    伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关
    & P  e9 L6 m$ S9 p2 U; b! l2 [
    回复

    使用道具 举报

    lilianjie        

    43

    主题

    4

    听众

    204

    积分

    升级  52%

  • TA的每日心情
    开心
    2012-1-13 11:05
  • 签到天数: 15 天

    [LV.4]偶尔看看III

    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 20:38 编辑
    ; V2 T. Y1 e1 ^& v
    & B: B3 v3 R4 G; o/ J5 _拆分 。。。。强!& q- _# @; A2 o' I/ e9 u
    % s" {( a7 Q/ f; k
    NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;- r, _9 `/ g+ X! w& s9 n
    8 H7 x% g) P8 |, v) Y
    7. Z0 H5 p- z  K  R% f1 y6 M
    190569292
    - ]; K& z+ n3 _, G, B( l, k" K6 ][
    9 ?' P$ p2 j0 ^5 E3 l$ y/ ~) @7 M: J4 B9 ]    [ 10 ],
    # l7 e) A* t  d% u2 W( A    [ 9, 1 ],
    5 n% M, M; C- s! U! n0 _+ _    [ 8, 2 ],9 s- r( v$ q& o/ x3 p
        [ 8, 1, 1 ],: j/ }& @& H9 B) o) i
        [ 7, 3 ],' e4 @! Y- J1 M( B2 E, B, ]0 q
        [ 7, 2, 1 ],* ?7 C+ `' P1 R" \
        [ 7, 1, 1, 1 ],' r6 u) X# @9 S5 A, p" [
        [ 6, 4 ],
    6 x% g8 l- w0 G# q* g    [ 6, 3, 1 ],
    # b9 m0 N" s8 N/ R. n; ^, S    [ 6, 2, 2 ],9 w) U; v$ R$ }
        [ 6, 2, 1, 1 ],5 r# Z3 ~0 N6 {; c3 G' X2 P
        [ 6, 1, 1, 1, 1 ],$ [- e2 I# o2 [% b
        [ 5, 5 ],
    : E2 G, [3 ^, C0 m6 i' _" {    [ 5, 4, 1 ],( W/ Y) a. ]6 c, V% d; P+ _; f
        [ 5, 3, 2 ],
    ' V$ R$ J& u# \& y) c' K: _    [ 5, 3, 1, 1 ],- I! G+ e) m0 Z* r. ?9 T9 I
        [ 5, 2, 2, 1 ],
    . `# d+ X8 y' `    [ 5, 2, 1, 1, 1 ],$ C1 W  P$ W3 @
        [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    ( T  A( l; I  Y6 e% ?8 b% `3 C    [ 4, 4, 2 ],- m+ {" u0 t. s% C1 L
        [ 4, 4, 1, 1 ],
    + w* G. I( P1 j( x# G    [ 4, 3, 3 ],2 s1 z/ k5 w2 o6 R
        [ 4, 3, 2, 1 ],4 l# C) k, Y& o" ^0 M, s1 U! u
        [ 4, 3, 1, 1, 1 ],$ V3 R6 h5 r) y: K, {+ W
        [ 4, 2, 2, 2 ],
    8 i% E: w5 w- ?; b/ n+ K# L) z! D    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],2 p3 P, q6 Z. h) \' g
        [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],1 v& u1 Y' f. J: y; ^. u$ R
        [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    $ j- U, m: v( O  o) W& m    [ 3, 3, 3, 1 ],
    # p2 M1 g, B7 [8 Y) K3 ^9 h    [ 3, 3, 2, 2 ],7 w3 Z1 {- k6 v# I- C
        [ 3, 3, 2, 1, 1 ],, @2 |* [6 R4 E) s/ _4 D. w+ ^
        [ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],( |1 J5 \3 i1 L, n9 |0 {
        [ 3, 2, 2, 2, 1 ],
    / |6 X+ I0 m8 S    [ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
    , x. F/ o3 G1 i' ]" ^) \" [) p    [ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    5 f6 Q0 E; \0 n5 p5 L. p( g; f$ I    [ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    + S/ D4 T2 l& _: H4 M5 V    [ 2, 2, 2, 2, 2 ],
    & f+ w- `3 [6 W5 b    [ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],2 w! U9 S! L5 }4 c- n6 j3 u
        [ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
    ( y9 y- N  P) K1 \1 v+ n    [ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    0 X$ T8 h2 G* }$ E3 {" a; P& J1 q    [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    4 i' v$ Z: m5 b5 ?  y    [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]( Q9 `3 g, _5 m% x  ]# m' Q
    ]
    回复

    使用道具 举报

    xxgzftj        

    4

    主题

    4

    听众

    278

    积分

    升级  89%

  • TA的每日心情
    奋斗
    2012-11-16 20:15
  • 签到天数: 57 天

    [LV.5]常住居民I

    回复

    使用道具 举报

    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-6-20 16:50 , Processed in 0.500498 second(s), 92 queries .

    回顶部