一些组合函数

lilianjie1

+ b+ n+ H" F, H3 Z
n:=12;n;
Factorial(n);求阶乘
" G, v; C" p% T9 T3 F2 H, w4 ^Factorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));
NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
NumberOfPermutations(n, 4);
NumberOfPermutations(n, 11);
Binomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
Binomial(n, 3) ;
" p5 L9 _2 p( W* C0 D) l( ?9 Z* CBinomial(n, 9) ;
: l$ }, V. D. Z$ u. ^' g! h% lBinomial(n, 10) ;
Binomial(n, 11) ;
& C% c* s3 z6 Z+ Z; l1 lMultinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12！/1！*2！*2！*3！*4！=831600
1 K0 O. W3 T2 A3 {+ L+ [
Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);
Fibonacci(n+1);
GeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
, F& e" f0 i$ U+ i$ sGeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
Catalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
. a7 H9 G: h7 l: @( t9 T: h  \k:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;
9 z3 E" q; y; cCatalan(1);
Catalan(2);
Catalan(3);Catalan(4);
Catalan(12);

6 {5 R$ U$ Z1 R6 zLucas(n);卢卡斯数
# N+ ]$ _9 S5 l. Z& @12
( H; {# j9 q) c, s+ O8 t! C# Z0 ?479001600
831600
12
4 Y7 B( `* q/ \+ I6 T4 z132
) c9 z- D7 W/ r3 |6 Y11880
7 ?$ z8 y1 i2 R7 Q479001600
12
66
220
220
" s' z2 P% g  Y4 S% k2 C! a: n  U66
8 ~1 z( b. u* |12
831600
' K3 W2 ]7 V9 g; D144
9 o9 \3 O9 Y3 L! B2 d: ]89
# T  Z' @2 ^( q# v$ O' K233
( s' t; w# r  c6 h4 B233
610
144
" c# \( o4 g, W( V208012
208012
& O/ W5 ^& o5 d" i, M1
6 c( d  C$ j0 _+ C5 X2
5
5 g- d+ _! P2 q2 q: ^14
208012
8 r6 n4 Y. i' E# ~1 M322

4 ?' v3 A$ G7 v1 [$ v
卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
; j4 q7 V$ j5 D4 U) H0 Q" p**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
& t$ R$ |8 {, ?- [0 @((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
% n: |3 X& X5 f3 X9 dCn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
) Z$ P# e( v- z, v4 n* ECn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

" o/ h  V* o8 l: C+ C- P7 I

  u: b! b% a2 {  T4 \3 X卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
) {7 b& n  c7 ~& ^9 e1 _  K! U' v
+ Z+ x7 j% I, t! A$ M3 z但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同
# X: F! V6 U) {

8 }  c9 Z4 ?" @0 ~7 t
# o7 q8 T& f! s6 t0 H6 Ln:=100;n;
a:=Lucas(n);a;
b:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
* @/ w7 X# @) G& }: J* `- kLucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);

! M5 E9 v$ x$ [, _+ [100
792070839848372253127
792070839848372253127
" C/ K4 F- e: @6 l: n% @4 Y9 A1771124240896309575375
- [; T! q1 a3 L$ [( x( ~3 f1771124240896309575375

孤寂冷逍遥

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反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下：

* D) c4 x$ d- k2 h) R- [Gn + 2 = Gn − Gn + 1
如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
6 p/ t9 S% x4 j4 G: C4 W( K
即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。
$ o% T5 K1 g8 H" [
Bell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);
5 A* @2 r8 y$ M$ q* t6 hStirlingFirst(4,3);
4 B# g$ ]7 X# f/ M! X9 Q0 U- wStirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);
) t% _4 I4 W8 N$ n7 KStirlingSecond(4, 3);
2
1 `, L! e# c) S) _3 t7 `$ Q52
5
4 n% c% z% Y% W, a& P8 {15
2 o, _' f* c  O6 Q-6
7 u3 R7 j4 H  d  J& _! g( K11
: s! w9 Q( d, o; R- J/ ?9 g-6
/ \' x9 z: F! T3 H0 A1
7
. [- N# c8 A* d1 b3 v: d6

Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：
; |" H7 L  c; U
3 d& ]: |" R; K. x{{a}, {b}, {c}}
3 N* _' T) m2 W3 T{{a}, {b, c}}
9 c1 I7 w  ~$ ]& q3 @{{b}, {a, c}}
5 ?: g1 |8 [8 h{{c}, {a, b}}
& K8 c7 M+ p, M4 v3 M8 `2 q{{''a'', ''b'', ''c''}}; 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
s(n,k)是递降阶乘多项式的系数
/ a+ d# p8 U* z) u2 ^有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)
1 T- q" ^: R! N6 a" d) A
换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：

, T( J6 v* Q7 l# d, a( G/ b{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
0 T7 O: }" B& F0 B: v{A},{B,C,D}
2 c' T- t; V1 I6 {7 u{A},{B,D,C}
2 o3 @2 e( [' @8 I- P' |% A3 D{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
) Q+ j1 p; X) r{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}
第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S
给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
6 @! c  v% G4 }/ j& \; `. T3 aS(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
S(n,2) = 2n − 1 − 1

! L  Q7 n6 s( n; Z: `) [换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1) = 1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4) = 1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：
- g9 H3 t6 Z$ y% O
4 V; i- m# v' c2 {. x% d{A,B},{C,D}
% R% Z$ q/ Y7 |# y& P9 S% V: M/ u6 ^{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
{C},{A,B,D}
* `* p7 O# t" r4 }5 G1 P( i{D},{A,B,C}
因此S(4,2) = 7。

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/ ]/ F* X6 y4 ~8 u3 i, H
n:=5;r:=3;
9 O; [# \5 o2 g: FEulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
9 y, ~' f/ v; ?BernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式

26
137/60
% y% N, ~1 J; c4 t1 f  M0
' ]7 U3 W$ j6 B3 u* [0.000000000000000000000000000000
$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

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/ C8 U5 G5 X- _% u5 Y' f

4 q/ n* g) W1 @% Z1 b
伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关

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! \% b# t3 l& R- r+ b. F2 n* R
+ @" _" q$ n. y  W, ~; A; S拆分 。。。。强！
2 `) N. h+ B- d$ [8 n
NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;

7
0 i# @* M( `3 t( G$ J. g190569292
[
    [ 10 ],
    [ 9, 1 ],
$ e: f* i8 W+ w& R- J# \# g    [ 8, 2 ],
! M' x4 B2 v6 ?" a$ U3 K/ q' }- t8 P9 J    [ 8, 1, 1 ],
! c3 \# }0 s2 y! A9 i8 O    [ 7, 3 ],
6 o2 z# S0 ?* F' g    [ 7, 2, 1 ],
    [ 7, 1, 1, 1 ],
) D/ K) _$ n* K  g3 K8 A2 H    [ 6, 4 ],
    [ 6, 3, 1 ],
7 X) s" }0 |7 I0 H' b+ z/ Y2 }2 e    [ 6, 2, 2 ],
; q- C) V( S/ ^) q    [ 6, 2, 1, 1 ],
    [ 6, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 5, 5 ],
0 z8 w. I/ q$ u/ J0 D    [ 5, 4, 1 ],
: f0 C% [1 [/ X' ?) C0 u( l    [ 5, 3, 2 ],
" k# R+ d/ C; u+ c7 o. @0 ~( G2 G    [ 5, 3, 1, 1 ],
4 ]& t$ ?$ r  l2 b( d' o    [ 5, 2, 2, 1 ],
% z# `( C1 [+ x5 I3 X    [ 5, 2, 1, 1, 1 ],
    [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 4, 4, 2 ],
    [ 4, 4, 1, 1 ],
# ]" K! W. |5 d, G" E    [ 4, 3, 3 ],
/ g8 f' y) A. z* e3 `    [ 4, 3, 2, 1 ],
    [ 4, 3, 1, 1, 1 ],
) s% A, F3 X5 B, g* L9 W8 n% o    [ 4, 2, 2, 2 ],
    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],
/ N& S. s. C( a1 _    [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 3, 3, 1 ],
    [ 3, 3, 2, 2 ],
    [ 3, 3, 2, 1, 1 ],
7 O8 o$ A: ]4 ~. b2 t$ M) v    [ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],
: ?1 E9 T$ t! d, {. `7 d: _) I. j    [ 3, 2, 2, 2, 1 ],
    [ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
8 P- O. s2 p1 K$ y3 O" r) F6 K    [ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 2, 2, 2 ],
    [ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],
( ]  l; Y# C$ s8 x6 w+ ?    [ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
; q& _7 F; H* z# |; `    [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
  q8 a" A- w* Y3 O! Q]

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