一些组合函数

lilianjie1

1 g1 w* Y1 k+ J' x' s7 @1 r; L# ]n:=12;n;
Factorial(n);求阶乘
Factorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));
NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
: w7 J; t4 a4 ^6 Z( v0 J2 j" jNumberOfPermutations(n, 4);
NumberOfPermutations(n, 11);
- @$ @, E5 \# C! @5 r6 nBinomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
Binomial(n, 3) ;
$ O* Y. g; `& U2 j5 x- JBinomial(n, 9) ;
Binomial(n, 10) ;
Binomial(n, 11) ;
4 e+ i6 Q- z& E' BMultinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12！/1！*2！*2！*3！*4！=831600
; Z8 N- R9 H1 N
Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);
Fibonacci(n+1);
7 G; O& U" e* D8 hGeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
GeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
% ^5 W6 g% f. \. yCatalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
( N+ D6 m- o. O/ gk:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;
Catalan(1);
. H& y: P* H' l4 Q# C6 XCatalan(2);
Catalan(3);Catalan(4);
, a& o! K0 s, i3 I$ ^3 t- R+ HCatalan(12);
+ E/ u) M6 j  u  C% @4 Y
Lucas(n);卢卡斯数
12
( }$ X2 Q2 t6 e% w4 d* l479001600
+ H& ^- V4 n! w  p# b: r831600
( |; L9 ?; z3 B0 g2 ^12
132
11880
6 {1 J5 I& a7 t( [# l( |479001600
! Q. W- Z4 ~) U* y  f5 z: H12
, t1 q4 B+ |) g3 h  {66
220
220
0 u6 S, O9 U% `. |66
% J/ W. p. A' G: E3 F$ Z9 j% w12
831600
5 q2 O* k1 \8 t3 ]4 D3 z+ u: p144
% o! g& u4 C6 y% Z# B  Q) r89
233
8 f' J  _2 d: H( P- J233
610
: J7 b% F: {4 x+ r# o144
" Q0 C1 Q# D9 Q$ O- S5 Z208012
208012
! A* L" ^" v, G% Y( D1
' h9 m& \. C+ @2 X9 U! ]+ w: C2
6 i) T- N3 Z# P! g+ O" A$ X5
, Z. ?' k" U( N14
208012
. h  ^# I1 L. l322

9 M& _: [: O+ _4 l) Q! J0 r9 E
! M5 y" X$ z; ?; P卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
% X$ r1 H- d8 f- k, O1 P( l; B: GCn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
+ m* Z: e3 {& s* X将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
' G: E* H& G$ D: RCn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
7 ?8 _1 a; ~4 F8 l0 A- ]Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
! G  K% F4 [+ U6 w+ Q9 X5 U
0 O, n( E. c) ?& u! SCn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
1 c# J8 N: @- I. ZCn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

* v/ z) i, y* f7 Z2 n. u" x& [

! q3 X7 e; ?+ K9 e卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
* m5 M+ j3 y  M; z: R
但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同
6 H. [: z3 I6 L- ~+ `

3 r! ?1 G/ R4 W8 Y+ Q' I  N
* U- P4 E  g( Fn:=100;n;
' c4 G8 B  }6 h: I( N, `0 k  _! Ua:=Lucas(n);a;
. \' \' w+ G/ h9 A7 j% Gb:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
/ ?5 n( P* U6 u- ]Lucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);

( g6 S, K6 n, F, h6 J  W# v100
" N( `8 w0 [, b6 k7 J792070839848372253127
9 b" F& O' j0 A) }. R792070839848372253127
5 v1 `# V& r: Z9 H+ ~: f" q$ _. o1771124240896309575375
* m. K6 m3 Y! @8 A2 z5 I# S: m/ p1771124240896309575375

孤寂冷逍遥

lilianjie

& O- \2 m, Z8 B& \4 G2 v5 i" _" N
6 ~: I# z0 _0 G反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下：

Gn + 2 = Gn − Gn + 1
如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...

即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。

$ J" y0 I2 j4 l6 j7 L: @Bell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);
StirlingFirst(4,3);
StirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);
StirlingSecond(4, 3);
0 j; t; q- Q% b9 A& _2
52
5
4 @4 |) O' j, L3 Z% H& b) n15
/ j8 G: G7 x# ^5 \( [' g3 L7 _-6
11
; w) G2 }6 s1 O2 `-6
1
) f$ @: `5 X8 [' C$ n0 b0 w7
' u# a( p( v. v- `  l0 z6

Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：

{{a}, {b}, {c}}
; K; a- }9 ^( ?  D{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{''a'', ''b'', ''c''}}; 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
8 j* P# u  I: F+ H4 y+ as(n,k)是递降阶乘多项式的系数
. a; [; `8 E! D2 j( O5 @4 [有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：
% |$ q% s+ g" B  V' e
4 o0 ^& B! j9 n* W  k{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
: k/ g, ?, ]$ {  F{A},{B,C,D}
7 g9 w& U" w' n& p/ k{A},{B,D,C}
. m2 v3 d% K! |& K  d) G& N' }{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
* d. g1 J& n5 ?5 S- v  w- s{C},{A,D,B}
* |8 m9 M! }" T8 Y  z: v{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}
, F. _7 R9 E/ k+ w第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S
给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
S(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
' m; M& I+ l* `7 C: Q! T' y' ]S(n,2) = 2n − 1 − 1
7 @) f- _, F1 }  j1 ]
8 y3 G/ g* J, u2 e% A3 `. v. u* ?1 _3 A1 h换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1) = 1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4) = 1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

* S0 B$ e* `$ L, j0 f2 t{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
  n* N4 I* g: K7 n1 p7 T{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
6 {. _4 o* f" B  g- ~) o" [( y/ J. m{B},{A,C,D}
{C},{A,B,D}
! G5 Q9 ^% B  \9 ~, W# G{D},{A,B,C}
5 r! x& B  Q8 [- N, u# u- b( s/ B因此S(4,2) = 7。

lilianjie1

  i: Z+ u1 Y# i7 m/ a( ?! M8 e) [1 A; j
  ?) X$ \' \  I6 jn:=5;r:=3;
% S( ~1 l7 s# Z% y) `EulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
BernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式

26
137/60
! w/ D5 H% [- K, a; O* k* K0
0.000000000000000000000000000000
$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

lilianjie

8 G) i/ }& `' \

  V( g4 h; i1 P/ N伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。
! u8 y6 ^% s+ w: K. }: a( q
/ C1 e& C+ ]6 c* b伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关

lilianjie

  E' g( }' V! V$ D1 k( h
拆分 。。。。强！

0 u) J$ x* }7 V: \NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;
, ^# \+ i! Q, B
7
. Z& p) }3 s7 q! T190569292
[
  O' x1 @4 N+ R- n" u    [ 10 ],
7 A( g- Q" t5 F4 W% p% v    [ 9, 1 ],
  G; m5 Z! q5 m    [ 8, 2 ],
) A5 j. K. j9 }    [ 8, 1, 1 ],
5 ?7 U& [, M+ T$ f$ o8 U9 C- e    [ 7, 3 ],
- z# \  i. ?) F    [ 7, 2, 1 ],
. o/ J: I1 m0 j; {/ h5 v/ z    [ 7, 1, 1, 1 ],
$ T! A& ]+ Y; h  R6 T5 Z- K' i    [ 6, 4 ],
    [ 6, 3, 1 ],
- }8 E8 l6 J) P) B! C1 p    [ 6, 2, 2 ],
/ ?/ D, ^0 Z  y/ N  s    [ 6, 2, 1, 1 ],
    [ 6, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 5, 5 ],
    [ 5, 4, 1 ],
" V1 O2 [  [! S6 {    [ 5, 3, 2 ],
- i$ p, n3 ~0 [    [ 5, 3, 1, 1 ],
    [ 5, 2, 2, 1 ],
    [ 5, 2, 1, 1, 1 ],
    [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
9 c* I9 ^5 b- q2 T( A    [ 4, 4, 2 ],
    [ 4, 4, 1, 1 ],
    [ 4, 3, 3 ],
8 N; I  C* D+ z4 W; e/ }    [ 4, 3, 2, 1 ],
    [ 4, 3, 1, 1, 1 ],
+ r- S, s% a8 H; E    [ 4, 2, 2, 2 ],
- G3 E+ c/ c  W( {  X$ L    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],
* ~# T" ?0 `% J" x. s' K    [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
- h( S4 |; O* m4 Z2 V    [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
1 u5 V3 i/ B# |9 E: b5 s1 F    [ 3, 3, 3, 1 ],
    [ 3, 3, 2, 2 ],
0 n# f4 y8 L- Z# v$ x1 I" Y" s    [ 3, 3, 2, 1, 1 ],
    [ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],
; y5 F. Q, H; t* v7 E    [ 3, 2, 2, 2, 1 ],
    [ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
* p5 r9 k' F" O3 ]    [ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
, |" i! t# |4 X9 g+ h4 d    [ 2, 2, 2, 2, 2 ],
7 K8 V  t' b; L& I3 k) l    [ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
' g1 d* P0 R) e8 t7 R. M    [ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
]

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