一些组合函数

lilianjie1

n:=12;n;
Factorial(n);求阶乘
Factorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));
NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
6 \. I! k1 ?# j3 \% H7 C5 w/ f4 ?NumberOfPermutations(n, 4);
NumberOfPermutations(n, 11);
" U% ~5 {) d: p+ ]& y; yBinomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
, R1 o  S) F# ]" g& r7 qBinomial(n, 3) ;
, |3 d1 H5 A, E. l1 w( jBinomial(n, 9) ;
7 ?, I0 V- M& X, h! W) lBinomial(n, 10) ;
Binomial(n, 11) ;
  G* }- f& Z& M: C& f6 f, ?+ qMultinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12！/1！*2！*2！*3！*4！=831600
# M6 a* n! j3 ~2 I  X' l2 h
4 P$ o5 X& ]2 Z" @$ x) q, vFibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);
Fibonacci(n+1);
0 l: W' F* n! qGeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
GeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
Catalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
k:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;
Catalan(1);
Catalan(2);
( D# |4 S9 q( q, DCatalan(3);Catalan(4);
Catalan(12);

Lucas(n);卢卡斯数
12
479001600
4 r& P7 T6 [8 n& Y$ p0 m831600
, T: M  u9 t- L  H0 W5 e12
& t4 _3 Y0 @1 [1 A1 k+ Q. F132
11880
  W4 P- w, U& o' O: [! }# {479001600
12
66
220
6 ^# C% W. L8 a220
66
12
831600
144
89
' [8 m3 x! ?. ?# |7 E, G233
" E" n0 W8 |$ P3 g( p7 G5 P+ S, z. O5 [233
% k* v) |3 J' ~610
144
' z) r' j# ]$ k208012
208012
: ^# u5 V* m+ O3 J( x) k' l1
0 h% K% e& K* N4 x' a2
& r- T0 H4 Y, ^# y% j5
14
208012
/ j$ g- J7 J6 J" a# Y1 B322
$ E* |9 J% ]# @% r/ h
7 y* Q+ `$ t1 v
卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。
) o, A3 X- R) q7 B* \$ Q3 X% u6 U
9 @$ m3 U2 M' P: d6 J; Z0 xCn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
) W) D3 t3 n7 a5 [4 G- W  h
Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
+ v8 g) V) c# c" w" aCn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
$ S% l* y0 X/ |% y4 O* tCn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
) X5 k" {0 d6 i4 M* l2 `  f$ a


卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
. h% a# S$ c) Z4 f. @( Z
但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同



( t* `8 l" B: m! Jn:=100;n;
% t* E* d* z, |/ l+ d1 Y0 _, O1 Na:=Lucas(n);a;
b:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
" ~5 m/ U, B3 g5 T9 l8 h: s! ~5 GLucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);

- f8 o$ @( S4 S+ `5 W5 ?100
792070839848372253127
! t6 ~1 q4 a8 f; D792070839848372253127
1771124240896309575375
1771124240896309575375

孤寂冷逍遥

lilianjie

& z. Z; a- `' ^9 D" i* ^反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下：
$ v& \& |7 X6 S0 P# q9 q; x
Gn + 2 = Gn − Gn + 1
: _, V8 i' @! v如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
1 H& I) @( n7 s, D- d
- U; h$ n& H( w2 P! Y3 F% V3 T即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。

Bell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);
3 P) N8 X  x1 U4 j7 `( J- k4 `/ CStirlingFirst(4,3);
9 Z+ w- m. m  @& R2 L. I: R" kStirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);
0 j4 D) E) I- ZStirlingSecond(4, 3);
2
+ k$ m8 D/ K# E; ?" y  E- |52
) B8 s6 O8 g  I# ]9 k: I5
; a- l7 h7 ?6 I" g5 i4 ^15
-6
11
& P* B7 {8 I" @7 v8 r-6
1
7
/ x7 S7 U3 s/ o8 \* Z6

Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：
& a8 @& D  N+ z$ M  H! K
{{a}, {b}, {c}}
1 F$ M5 ]9 F4 P2 b{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
0 W9 ?$ U1 i* k# J# k{{c}, {a, b}}
0 b  n0 x& U$ j- S8 S{{''a'', ''b'', ''c''}}; 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
! t$ @5 Q: X  w" qs(n,k)是递降阶乘多项式的系数
# L# ]  [9 W  }+ R% j4 w7 b8 K. F有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：

{A,B},{C,D}
5 j7 T- V* g; a& a2 T1 q& x# G$ W" j{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
2 ?) O0 s, j* E{A},{B,D,C}
5 B& E# E4 @; v  ^) K$ ?; q& @8 A" a{B},{A,C,D}
/ a' s0 `" L; q1 K  s1 i7 n{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
9 X" Z0 z; K: _) h{D},{A,C,B}
第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S
给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
S(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
3 W% a/ S  @9 o9 }1 O/ mS(n,2) = 2n − 1 − 1

2 D% @) O; _8 c! d. a4 y* A/ I换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1) = 1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4) = 1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：
/ z0 T, R9 x5 Y- x* C. N& ~7 c
9 u# S2 L% F' N/ K{A,B},{C,D}
" w3 a' r: S& U  O' ^' k3 f6 y{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
  V2 E1 N. o& F( S{C},{A,B,D}
{D},{A,B,C}
5 ?; D" _: }( g" q" M' |4 M% J因此S(4,2) = 7。

lilianjie1

* Z" n$ ?- v& k- u# O1 R
( B. M  i' y  e  W$ S7 \n:=5;r:=3;
( ?/ `0 o0 k0 b6 W* w/ y7 [" jEulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
1 e( S6 T  S& H$ hBernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式
6 G7 ~1 k- w4 E) z& i* F
# W" R1 W) d' w# Y! b26
, M7 R* d, H& O8 D1 B% |+ b2 V137/60
0
0.000000000000000000000000000000
$ t5 Y" H; s+ k5 z, J4 M; j( T$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

lilianjie

7 I, J4 f* d' B6 C) @8 T* A
4 e+ p0 L$ m- [. X

2 U: r9 D. F7 E, Q伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关
$ z* H" t. y: O, ]* q1 v4 t

lilianjie

拆分 。。。。强！

NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;

7
7 D% z( D0 A0 v( M190569292
) Q& W( I9 E$ u; z, k[
    [ 10 ],
    [ 9, 1 ],
8 G* n9 ~; \1 q    [ 8, 2 ],
4 i+ }5 n$ U; i# J- r7 W9 e5 P; U* H    [ 8, 1, 1 ],
' P* x) F  R+ Z    [ 7, 3 ],
: T& {0 \8 N0 h8 ?    [ 7, 2, 1 ],
' Y/ z! D* v! S( n- \    [ 7, 1, 1, 1 ],
# f0 o6 j- v) R2 K8 C& p    [ 6, 4 ],
) L9 ~$ r4 T% j. d8 a2 u6 l    [ 6, 3, 1 ],
9 `8 R& \: p  Y' d' t5 P7 V! ]! U    [ 6, 2, 2 ],
" \/ u' F$ q- K    [ 6, 2, 1, 1 ],
    [ 6, 1, 1, 1, 1 ],
$ P2 [" N2 ?* C# J4 l    [ 5, 5 ],
5 \2 g9 f1 ]1 E( L9 f2 z    [ 5, 4, 1 ],
. N+ ?5 K( \" \9 h    [ 5, 3, 2 ],
    [ 5, 3, 1, 1 ],
    [ 5, 2, 2, 1 ],
    [ 5, 2, 1, 1, 1 ],
    [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
3 r1 s# d, R7 s: Z. Q    [ 4, 4, 2 ],
9 K* t8 A, n/ o/ C  u9 _( A) \6 P    [ 4, 4, 1, 1 ],
7 p" F/ V4 |# r    [ 4, 3, 3 ],
    [ 4, 3, 2, 1 ],
, b  j' P. t. U; k# S' v- b/ c    [ 4, 3, 1, 1, 1 ],
( R* T" {& W7 E( X. N) G1 f    [ 4, 2, 2, 2 ],
% S2 e' S) {/ _; O    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],
    [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
4 j" O( ^3 ~% R) N/ s- \& o6 h  }9 N/ _    [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
7 {( Y0 G" v) W    [ 3, 3, 3, 1 ],
& B9 l  V: T6 z# i% Z    [ 3, 3, 2, 2 ],
    [ 3, 3, 2, 1, 1 ],
$ ~3 {" c# s& \    [ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],
/ a/ y+ K; k+ V% A, q    [ 3, 2, 2, 2, 1 ],
5 l! D9 |0 S& R* W9 _    [ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
; e9 q( K" f$ I5 {9 @    [ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
5 w! h" U+ A2 s2 {% g$ W2 _    [ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 2, 2, 2 ],
& t7 i% e! u2 `; W( U8 x' q1 d8 L    [ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
- t- P5 N' s) J* A) K0 z3 B    [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
]

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