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一些组合函数

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    [LV.3]偶尔看看II

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    发表于 2012-1-12 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-12 18:09 编辑 / ?& i4 u4 ]$ |6 p/ u* y. u

    1 g1 w* Y1 k+ J' x' s7 @1 r; L# ]n:=12;n;6 F% w% M  Z3 K3 Q: G0 E! Z9 }
    Factorial(n);求阶乘8 C: D2 x1 W9 A/ E
    Factorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));/ V4 j- w4 P+ A) h$ u8 T
    NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
    : w7 J; t4 a4 ^6 Z( v0 J2 j" jNumberOfPermutations(n, 4);" n: u5 a. ?4 d" i2 R
    NumberOfPermutations(n, 11);
    - @$ @, E5 \# C! @5 r6 nBinomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;0 w3 X- s- I5 m% n6 O: X3 g7 |) I: G
    Binomial(n, 3) ;
    $ O* Y. g; `& U2 j5 x- JBinomial(n, 9) ;  \( g% J1 T5 k0 q
    Binomial(n, 10) ;& h: Y5 W* d& ~
    Binomial(n, 11) ;
    4 e+ i6 Q- z& E' BMultinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12!/1!*2!*2!*3!*4!=831600
    ; Z8 N- R9 H1 N8 j1 w3 W5 x  |( H5 t7 W
    Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);$ B; O9 r) z; J; k1 Q5 k
    Fibonacci(n+1);
    7 G; O& U" e* D8 hGeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;( d, v4 V6 q7 H, j+ l7 G
    GeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
    % ^5 W6 g% f. \. yCatalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
    ( N+ D6 m- o. O/ gk:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;4 ~6 q# j) H. \/ Y* L
    Catalan(1);
    . H& y: P* H' l4 Q# C6 XCatalan(2);9 k  I, M! F5 P8 _
    Catalan(3);Catalan(4);
    , a& o! K0 s, i3 I$ ^3 t- R+ HCatalan(12);
    + E/ u) M6 j  u  C% @4 Y( [$ l# Q6 y& J/ M6 x
    Lucas(n);卢卡斯数- Q, j  _5 j0 n, J
    12
    ( }$ X2 Q2 t6 e% w4 d* l479001600
    + H& ^- V4 n! w  p# b: r831600
    ( |; L9 ?; z3 B0 g2 ^128 x: B. U7 s& f1 J- r# g; ~( u
    1328 N) W! V) ]' E) U6 Z
    11880
    6 {1 J5 I& a7 t( [# l( |479001600
    ! Q. W- Z4 ~) U* y  f5 z: H12
    , t1 q4 B+ |) g3 h  {669 F7 B4 A+ S) ]1 ]% a
    220" y+ U! o, E: X5 Z/ I' N5 {& H% v
    220
    0 u6 S, O9 U% `. |66
    % J/ W. p. A' G: E3 F$ Z9 j% w12% }" ?' s' ?, g/ i7 l9 o
    831600
    5 q2 O* k1 \8 t3 ]4 D3 z+ u: p144
    % o! g& u4 C6 y% Z# B  Q) r89' y2 T# S9 l4 a  B4 M' v
    233
    8 f' J  _2 d: H( P- J2338 I* I6 R( B3 u6 ^
    610
    : J7 b% F: {4 x+ r# o144
    " Q0 C1 Q# D9 Q$ O- S5 Z208012/ `* q7 L$ m* |& j- O1 \0 ]1 E9 [
    208012
    ! A* L" ^" v, G% Y( D1
    ' h9 m& \. C+ @2 X9 U! ]+ w: C2
    6 i) T- N3 Z# P! g+ O" A$ X5
    , Z. ?' k" U( N149 u4 U2 w2 g9 t8 L
    208012
    . h  ^# I1 L. l322+ i0 t; b9 s% D& |0 T

    9 M& _: [: O+ _4 l) Q! J0 r9 E
    ! M5 y" X$ z; ?; P卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
    % X$ r1 H- d8 f- k, O1 P( l; B: GCn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words: 7 c5 N& x; @) `
    **YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
    + m* Z: e3 {& s* X将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数: . f+ ?4 H& C  i( k
    ((())) ()(()) ()()() (())() (()())
    ' G: E* H& G$ D: RCn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。 ) {3 d- z2 \& n8 V5 b0 m3 @% [
    & z1 K$ h0 A  I  r& S# C
    Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。(一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。)
    7 ?8 _1 a; ~4 F8 l0 A- ]Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况:
    ! G  K% F4 [+ U6 w+ Q9 X5 U
    0 O, n( E. c) ?& u! SCn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下:令w = unv,其中n为w的最大元素,u和v为更短的数列;再令S(w) = S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
    1 c# J8 N: @- I. ZCn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数,其中每个段落的长度为2。综合这两个结论,可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.   q9 `  X/ y( u, T
    Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
    , U2 D4 Q! k! g- _- ]5 O

    * v/ z) i, y* f7 Z2 n. u" x& [: ?2 H, h$ m1 c6 S

    ! q3 X7 e; ?+ K9 e卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列,他既研究了这个数列,也研究了有密切关系的斐波那契数(两个数列都是卢卡斯数列)。与斐波那契数一样,每一个卢卡斯数都定义为前两项之和,也就是说,它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
    * m5 M+ j3 y  M; z: R+ ]4 B9 ^# y/ h6 [
    但是,最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1,而不是0和1。所以,卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同

    6 H. [: z3 I6 L- ~+ `, C8 X0 u8 {) ^) L

    3 r! ?1 G/ R4 W8 Y+ Q' I  N
    * U- P4 E  g( Fn:=100;n;
    ' c4 G8 B  }6 h: I( N, `0 k  _! Ua:=Lucas(n);a;
    . \' \' w+ G/ h9 A7 j% Gb:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
    / ?5 n( P* U6 u- ]Lucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);# k- y1 H6 \/ m+ h

    ( g6 S, K6 n, F, h6 J  W# v100
    " N( `8 w0 [, b6 k7 J792070839848372253127
    9 b" F& O' j0 A) }. R792070839848372253127
    5 v1 `# V& r: Z9 H+ ~: f" q$ _. o1771124240896309575375
    * m. K6 m3 Y! @8 A2 z5 I# S: m/ p1771124240896309575375

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    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 18:44 编辑
    & O- \2 m, Z8 B& \4 G2 v5 i" _" N
    6 ~: I# z0 _0 G反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下:  [$ q# K3 y9 @
    0 }- b! `/ P4 I  D' u' \
    Gn + 2 = Gn − Gn + 1 ! z1 \. d- P0 `
    如果它以1,-1,之后的数是:1,-1,2,-3,5,-8, ...6 C  ^9 w, g  A1 W% T
    1 z1 w4 v# D! U0 J& ^
    即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。$ x% W4 V0 D2 p% D

    $ J" y0 I2 j4 l6 j7 L: @Bell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);- c9 ?( k0 C3 j) S# j0 D+ r0 ?
    StirlingFirst(4,3);! @" |, W- _/ o
    StirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);% _8 C, m5 t; i5 B. f
    StirlingSecond(4, 3);
    0 j; t; q- Q% b9 A& _2, ~: Y% ?$ a& @8 B1 a
    52; s; g$ s8 X* a. r& S7 C) @( A
    5
    4 @4 |) O' j, L3 Z% H& b) n15
    / j8 G: G7 x# ^5 \( [' g3 L7 _-66 {6 V- w9 q0 S- v# Z
    11
    ; w) G2 }6 s1 O2 `-65 d: S9 ~1 ]( y  j  Y. P
    1
    ) f$ @: `5 X8 [' C$ n0 b0 w7
    ' u# a( p( v. v- `  l0 z6) X0 l5 d2 n$ G& Z* g5 x
    6 N/ f6 c# j; E* B4 R0 Z
    Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法:4 _" \- \+ ~6 u7 ~5 Y
    * |  x$ y3 N, t- P3 F7 w7 l$ V4 B
    {{a}, {b}, {c}}
    ; K; a- }9 ^( ?  D{{a}, {b, c}} 7 q6 a: m% j/ R+ |7 S3 M
    {{b}, {a, c}} 4 X. X( X& G0 P: t0 ?
    {{c}, {a, b}} . W- l" a; A3 c; N, i7 i' P
    {{''a'', ''b'', ''c''}};
    第一类Stirling数是有正负的,其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
    8 j* P# u  I: F+ H4 y+ as(n,k)是递降阶乘多项式的系数
    . a; [; `8 E! D2 j( O5 @4 [有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)" n% @% B: u4 ]  B5 }
    ! D8 K. G8 E$ b  W- D
    换个较生活化的说法,就是有n个人分成k组,每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2):
    % |$ q% s+ g" B  V' e
    4 o0 ^& B! j9 n* W  k{A,B},{C,D} 3 C2 }( ?! Q. S# Q0 n7 e/ R, C& o1 R; A$ i
    {A,C},{B,D} " b( s  q% p$ ~
    {A,D},{B,C}
    : k/ g, ?, ]$ {  F{A},{B,C,D}
    7 g9 w& U" w' n& p/ k{A},{B,D,C}
    . m2 v3 d% K! |& K  d) G& N' }{B},{A,C,D} , y) P  O4 q  H2 S3 l7 p& O
    {B},{A,D,C} 3 R  R3 i" t0 L( ^9 r  g  Z- v# I+ S5 m
    {C},{A,B,D}
    * d. g1 J& n5 ?5 S- v  w- s{C},{A,D,B}
    * |8 m9 M! }" T8 Y  z: v{D},{A,B,C} $ j/ n$ a, x0 X7 i3 l
    {D},{A,C,B}

    , F. _7 R9 E/ k+ w第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S' q! f& N5 m& O
    给定S(n,n) = S(n,1) = 1,有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k) 1 E4 V7 m9 z5 u7 e+ P5 F* u9 d
    S(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
    ' m; M& I+ l* `7 C: Q! T' y' ]S(n,2) = 2n − 1 − 1
    7 @) f- _, F1 }  j1 ]
    8 y3 G/ g* J, u2 e% A3 `. v. u* ?1 _3 A1 h换个较生活化的说法,就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成1组,只有所有人在同一组这个方法,因此S(4,1) = 1;若所有人分成4组,只可以人人独立一组,因此S(4,4) = 1;若分成2组,可以是甲乙一组、丙丁一组,或甲丙一组、乙丁一组,或甲丁一组、乙丙一组,或其中三人同一组另一人独立一组,即是:2 K3 t* p( [6 `  J7 T0 ~

    * S0 B$ e* `$ L, j0 f2 t{A,B},{C,D}   H2 ~5 b  T: A
    {A,C},{B,D}
      n* N4 I* g: K7 n1 p7 T{A,D},{B,C} - u! V) ^5 q* e' |: Y1 ^# z" F
    {A},{B,C,D}
    6 {. _4 o* f" B  g- ~) o" [( y/ J. m{B},{A,C,D} 3 N9 T  S+ L8 I; I" E2 }
    {C},{A,B,D}
    ! G5 Q9 ^% B  \9 ~, W# G{D},{A,B,C}
    5 r! x& B  Q8 [- N, u# u- b( s/ B因此S(4,2) = 7。
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    [LV.3]偶尔看看II

    本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-12 20:06 编辑
      i: Z+ u1 Y# i7 m/ a( ?! M8 e) [1 A; j
      ?) X$ \' \  I6 jn:=5;r:=3;
    % S( ~1 l7 s# Z% y) `EulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn,以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;  s& c  H# \1 Y
    BernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式" T; H0 Y% Q) W
    5 H6 B8 z3 ?; r5 c
    268 r" y6 E" W! C. t5 \# I
    137/60
    ! w/ D5 H% [- K, a; O* k* K0; v& L* r+ s0 h
    0.000000000000000000000000000000, e: @+ E% O- ^$ H
    $.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

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    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 19:56 编辑 $ @+ P1 {( ^8 @- L% k  Y: L

    8 G) i/ }& `' \& c; L9 S$ C8 _: ^9 u

      V( g4 h; i1 P/ N伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n),也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此,可推测它们有深刻的算术性质,事实也的确如此,这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。
    ! u8 y6 ^% s+ w: K. }: a( q
    / C1 e& C+ ]6 c* b伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关  k) d3 _2 r9 H: W% Y2 ?# ^" T
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    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 20:38 编辑
      E' g( }' V! V$ D1 k( h3 r& D+ j, ]$ S
    拆分 。。。。强!) L" |! }$ N1 h# B7 C" a/ T" b

    0 u) J$ x* }7 V: \NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)artitions(10) ;
    , ^# \+ i! Q, B6 [; s2 H+ d! R: R3 c4 c
    7
    . Z& p) }3 s7 q! T1905692923 D% W2 `5 X7 R% ?
    [
      O' x1 @4 N+ R- n" u    [ 10 ],
    7 A( g- Q" t5 F4 W% p% v    [ 9, 1 ],
      G; m5 Z! q5 m    [ 8, 2 ],
    ) A5 j. K. j9 }    [ 8, 1, 1 ],
    5 ?7 U& [, M+ T$ f$ o8 U9 C- e    [ 7, 3 ],
    - z# \  i. ?) F    [ 7, 2, 1 ],
    . o/ J: I1 m0 j; {/ h5 v/ z    [ 7, 1, 1, 1 ],
    $ T! A& ]+ Y; h  R6 T5 Z- K' i    [ 6, 4 ],( o- M* V7 u, S- R8 X( t
        [ 6, 3, 1 ],
    - }8 E8 l6 J) P) B! C1 p    [ 6, 2, 2 ],
    / ?/ D, ^0 Z  y/ N  s    [ 6, 2, 1, 1 ],8 A1 u6 U. S5 g. m6 Q
        [ 6, 1, 1, 1, 1 ],! P4 N) i  K# b3 t0 a1 |1 G
        [ 5, 5 ],) e1 V( a; `2 T. K2 I
        [ 5, 4, 1 ],
    " V1 O2 [  [! S6 {    [ 5, 3, 2 ],
    - i$ p, n3 ~0 [    [ 5, 3, 1, 1 ],) @, V1 i- G  R8 ]
        [ 5, 2, 2, 1 ],$ v9 o% n- {1 I) B- W
        [ 5, 2, 1, 1, 1 ],- d) g% Z' O4 k- B) P6 I
        [ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    9 c* I9 ^5 b- q2 T( A    [ 4, 4, 2 ],) R/ c0 a7 `) {  X
        [ 4, 4, 1, 1 ]," h/ g; i, s- Q$ \
        [ 4, 3, 3 ],
    8 N; I  C* D+ z4 W; e/ }    [ 4, 3, 2, 1 ],7 S) @- {+ }) \, Q! r
        [ 4, 3, 1, 1, 1 ],
    + r- S, s% a8 H; E    [ 4, 2, 2, 2 ],
    - G3 E+ c/ c  W( {  X$ L    [ 4, 2, 2, 1, 1 ],
    * ~# T" ?0 `% J" x. s' K    [ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
    - h( S4 |; O* m4 Z2 V    [ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
    1 u5 V3 i/ B# |9 E: b5 s1 F    [ 3, 3, 3, 1 ],: d: H6 s$ _9 ~' M2 Q9 B- F+ y
        [ 3, 3, 2, 2 ],
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