数值计算一个极限可能吗？

elim

5 W: v. R& J, g
6 S9 @3 E, a0 A  o9 g7 i7 ~题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
( R5 x8 o( C- u- Q
这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。

对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。
2 \% e( I" b7 Q/ D. C% D

2 J+ N1 `# q% a- l

elim

9 H$ X0 P: n  o' Z
  G0 l* Y% p, H$ {8 v9 l  f从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
! p" Z# g" V1 u$ A( @$ m
; s4 G. p" L( X\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
% a9 n; D9 J. x/ B- K8 e
3 t5 P$ H$ \. o. g5 l$ l# g  ?9 @\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
+ g  a6 B2 x( G8 h" K" m
4 a: f! y7 c8 c6 l6 U\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
3 l6 N. k+ u- v
) O9 x+ B5 @9 `& t/ s8 a' L好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?

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) w1 v0 O2 e; Y0 @* Y% }8 j3 A( M' n