数值计算一个极限可能吗？

elim

5 c1 T, K( |3 w
2 T! V! w6 ^6 u. I% @# P' H题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)

这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。
6 L1 T& D! }) ^7 f
对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。
$ \9 e- S2 }0 O7 C$ ^% p* F4 B
6 T' ~) [  z8 z) L! q1 F1 q+ A

elim

, @$ |% V7 ^3 f, u从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)

\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
* ]' ~# Y. U: Z$ ~
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
+ E& Y, Z) B5 {2 p
( t# O1 |" B7 n$ z: h+ v\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
4 e" \% V1 r3 W1 w  X9 `. g0 _
9 Z' d. C0 L* ~9 F1 ?1 H好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?
; N' ^( S; C$ I+ F8 }! }, J
+ v3 p: F0 ]. r; ^0 J% j
7 n. Z  _  I! w( \* I- @