数值计算一个极限可能吗？

elim

! L5 @# [& S% c7 i; M; _
+ ]# O2 K1 r- p( C8 @题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
( B0 ]! _2 l; v4 O9 U' U
这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。
) m1 I- L; x" ^  w! }
对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。

+ r! r) ^2 P9 k4 Z1 Z% ]
8 k7 i8 k2 n. ?* U2 a

elim

从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
, X3 j& z0 h  K% y, f, v
9 p& o- `* O& i6 B8 @6 m7 r\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)

2 G, Q( N( U, I+ f\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
0 c: E$ f- Q& l  u* j: ~) [' Y
" H# j9 \' `$ e) h\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)

( ^# ~# B6 S2 X/ H# @! p' a好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?

1 W4 Z- ^5 d5 ]0 V( h/ J