Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
' z8 l9 ^1 g; c3 E% w; A2 K从最简单的开始
8 K$ h) l) M* M! l让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
# S- R& ~! I  H) C4 Z, j
* {6 j% J' `2 |# _  B. K; Y  i方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
" Y( e1 j# k5 _2 W9 s& f
' w2 s9 D/ n2 r; D( [6 c可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
' s( X; X5 Q! i3 d4 E& x' ]: c) {
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

, u2 G2 f: S4 r: c2 k+ {6 J
2 m) i7 Q8 M% g8 k$ r! F3 h* w9 K接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
0 a. \  N9 v- ?0 d

正八面体

求正八面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：

然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
* [6 T  z! O! }+ E) D

0 E7 p% D! E( F

正十二面体

, l; J* o! ~2 I1 e2 }6 G6 w/ z1 h* p- V

正十二面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：
- D3 w% W! J" w3 g" _8 l) c8 I

为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：

十二面体

计算各个面的法向量：

- d& a0 L/ {5 T# V7 K; B

化简并去除方向相反的：

4 N- `* H$ w- a" ~% x- _1 N4 c
得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：
- X4 q  L7 Z# z# q
9 Y$ l/ i8 F2 e8 G; M& m2 D% c

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
& K+ w6 I+ c. n; w" ]8 U, j

正四面体

* }4 T/ w" f2 c: @# H1 f5 v  d计算正四面体的法向量：
5 ?; e: p, n3 R  J* [0 U

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
$ I7 @& z* m0 ^! q
% e0 q9 k3 r& T# P: }" m6 B  w而改用指数，则可得到如下表达式：
+ b8 ^5 z/ o7 O) M# r
2 q( R7 I. g. R" L1 J, X) M* K以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
% ~+ R5 j3 D/ D- _+ H. |+ r# v
, E* R5 ]6 Z) d' e

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

2 F! w) T6 y1 k- @/ l1 }

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

- D0 C7 v2 V- E
+ G, u% w# ~' T: f) E

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。

观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
. t$ v: i4 y! ]7 `" d( [) A
求法向量，化简并分组：

. G! i$ M' O* D* h/ B$ x得到两个指数和的表达式：

分别绘制可以看到两个正四面体：
( @% s: E" h& o  Z, d( H+ t
: T- x2 Y, N% c9 w$ E! ?0 q( a如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：
' Y% M4 x% f. G0 m
  m  A1 }: b' o3 R可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
  W/ L  A) j# U( o. S* O# g/ o! v+ ^; @
9 g  O2 A8 T0 ?3 q# v9 p  I

  t% [6 ^: e1 T6 K1 K: Y/ k" c5 U

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

5 q: q; h9 Y* C! S1 s; S

照例求面法向量，化简并分组：

3 O. C- P% d- f: j得到方程：
- O3 M7 z! N& D0 r

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

# O& I% {  J, j0 X( \- C

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

7 ?% a7 t) N9 J9 X$ Z

8 J/ r$ `2 X6 y% F. _% |

更多的复合多面体

) r/ T. R/ ^5 F2 v0 f& l只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。

; G$ E1 g( p- O, O# U" q& T* p
对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
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0 ]: y" @( H4 n# {www.asdoptics.com

宏心

变幻无穷，无穷