Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
从最简单的开始
7 _% O: G5 v# z* p) I8 J- ~让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：

方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
2 I4 G2 n: p2 S+ x从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：

- @' u4 p' ^8 Q4 q( ^6 U可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：

这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

8 j+ |3 a5 [4 @- U接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
3 H( n5 B# R0 `3 n

正八面体

9 Q- v  a6 I4 Q( \0 I; ^! u2 i3 p

求正八面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
4 d, b9 V- V& x" U$ F" Z; f( I
! A4 R# I3 i1 e- M* ^5 s0 P然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
! u7 f9 ~4 s) q
( u, s* ]/ V  P" v- a! r
' S4 J  v- y0 h3 Y% ]- D1 D5 p& m

正十二面体

. B" Y2 P5 ~7 v* M( K* W# Q  O

正十二面体的法向量：

: H- ~! W7 t: p
5 s/ [3 R- r1 G6 U' |0 ~" |. l5 r化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：

; C2 Z3 T. D6 Q4 |8 y2 R
& F  R! D; U$ \0 U为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：

! ^4 J' w" b* a

十二面体

0 j  x4 E0 o# I8 M1 M0 y3 I计算各个面的法向量：

化简并去除方向相反的：

6 X6 ~5 ?0 |  H5 d
得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：
& a/ y+ U5 J8 u5 R. R& }! e: t
2 _0 U# c7 k& x9 u

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
/ V( [  v! p* i/ @7 r% @" F/ j4 q

正四面体

计算正四面体的法向量：

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：

: J- R9 G, B0 C8 p' o( T而改用指数，则可得到如下表达式：

以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
( X/ [& Q) w  a5 Y# H7 z
/ u  S) v' F9 Y, h

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

$ H& R$ T$ k; R( k# L; L

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

! N: I" N+ @, d- `

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。

观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
' n4 G& A$ |8 N) C& s
: J* o3 M! K/ Y) O1 T$ q求法向量，化简并分组：

; y- E$ c* W0 p. B# Q得到两个指数和的表达式：

1 S* R5 F8 O2 y: s+ c分别绘制可以看到两个正四面体：
% ~7 b( ~- N4 p
如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：
" Q; e6 r9 C" `6 u, Y) b: M0 ?5 m6 p
可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：



' y1 A6 a4 W* s5 n; v) \, p9 }

五复合正四面体

8 H, ^* F9 }& m4 D5 W$ O; c& P

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

& v1 {3 ]3 V' U% ?* ^0 C

照例求面法向量，化简并分组：

( O6 z% ~  u! ]- Z- F  P
得到方程：
( {# s, N! J7 d3 h/ C$ b" b+ a9 _
! N# ~  }# \( K, O* W( @1 k' r

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

" p; o4 [# Z+ z6 k- Y
3 ~3 E% |0 e4 Z9 w$ h( ^

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

更多的复合多面体

% E+ H( z+ ?: w只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。

! G5 L- l* J' u; t' o
, A; d& _0 h: S* e对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
market@asdoptics.com
www.asdoptics.com
5 \" P! f$ r6 P3 T5 O
) a8 R8 z& T1 x

宏心

变幻无穷，无穷