Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
4 u) |0 s4 e- }$ D% v: X: T
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
) v0 k& P5 U% P: O多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
& s, ~6 s- e  M$ f
可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：

这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

% ^" i+ ^% t  g) N: D9 ^8 |3 ~9 |
接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
" \: y# m0 N1 f2 {+ i8 X

正八面体

  D9 m+ J* @( d/ |

求正八面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
; A; P" N4 ?" u
! L. z, O. V3 G2 Y" a( Q+ I然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：


1 b8 M$ @9 A1 ]+ g0 }$ g9 \

正十二面体

/ r5 z. N, D& N

正十二面体的法向量：

( k: p$ T8 Q1 f) N  ?: r
化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：

4 M/ h: [( T& o" m
为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
8 w3 \, u3 T" ^2 c; k

十二面体

计算各个面的法向量：

化简并去除方向相反的：

1 n* G  p8 m5 u$ K' x5 Y( p9 T5 m得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：
4 o: Q/ }1 u, x

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。

正四面体

计算正四面体的法向量：
! d* U/ f! o% I& f0 H& ]3 E& ~

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
6 }6 I9 U* S  f' f  w2 a
而改用指数，则可得到如下表达式：
4 |9 T4 N( ?9 Q6 ^! @6 w# m( x
9 G6 K& }! `( @3 x以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
! }* M, t$ [; m. k  h! |2 u) d

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

, |" _& v$ w. i- q( k

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。

( x& o$ l# w) X" q3 u6 Q- _; p  S7 v. J观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
9 G9 }( r: y& o" L( K
: V5 M- Z. H. D求法向量，化简并分组：
7 M2 G8 H! V% {5 v7 P  m$ }& Q
6 p, {3 ^) p. P6 n4 ^得到两个指数和的表达式：

" ?, T6 C3 ^2 u* k: N分别绘制可以看到两个正四面体：

如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

% }0 M0 i! `  J7 T& S* ?$ A' Z可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
+ n" L% V' a9 Q+ @* P3 b
! V; Z! P# J9 O6 V2 k& E# p

7 h5 k2 x/ l" E; T' {! ]

五复合正四面体

( A, d% j+ v" P2 X9 ?: O

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

得到方程：
3 Q& k/ q/ Z& J. M5 v9 {
3 I+ u" N: p2 G: h. k* q7 n

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

2 g/ l4 r2 q7 m7 n" Y! Y0 u
  j/ j' l! @+ R. \8 c1 M) O+ G

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

% K+ B# X. O  F) I
# K6 e, ^4 ^0 H5 _6 p  w8 h

更多的复合多面体

+ Y' ]+ m' P# q  i只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
% o1 Z2 H7 w% G' H9 o

/ D6 s5 r7 |/ B. y; S' T, [* R对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
. R, v  t' d2 O2 w3 }- Wmarket@asdoptics.com
/ y, ~9 H" Y2 f# j) Bwww.asdoptics.com
3 \+ Y' r/ Z  P; j' I8 |2 v

宏心

变幻无穷，无穷
" Z; ]5 z. d# g& |* c2 v