曲面除了可以用参数方程的形式表示之外,还可以用隐函数的形式表达,即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面,因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里,我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面,而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。- b4 u% y0 Q- J8 G
从最简单的开始
! g4 H& F$ X3 L! y0 k- v' ~让我们从最简单的,大家耳熟能详的球面方程开始:8 U m& s0 ^8 }4 l
7 Y* n4 S2 d) ^8 e Y" N
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单:每个点到原点的距离都是 1,这就形成了一个球面。相比较之下,球面的参数方程就不是这么简单了:
7 r% `0 T9 U3 b9 t P5 i m6 {0 [多面体
- f, F/ I! p' |. ^从球面方程出发,我们可以看一下更一般的形式,比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的: 0 Q! \& Z) p: W
. S- P+ w- \0 d可以看到随着 n 的值不断增大,方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢?我并不能完全解释,只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式:% n0 K( K+ d. S! g1 P
: b$ x: ]. r/ E2 T' N, H: J这是 Lp 范数的定义,当 p 趋向于正无穷时,上述表达式的极限是:
?) m% m4 Z" Y' e: F
6 ` ]& A" d K6 a9 Y+ ]* V& g8 x1 @也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上,当 n 不断变大时,在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程,而这三个方程恰恰是立方体的六个面:x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测,我们只要能知道多面体各个面的平面方程,就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的,多面体各个面的平面方程,只要知道面法向量就可以确定平面方程了,如果面法向量是 (a, b, c),则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。 利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下:
' n4 c* Q/ z7 l* Z' L& P/ q
& Y# U1 Y' z3 ^) A9 I3 y+ }接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧: d* G% V1 h1 B2 i
正八面体 " r# W1 U8 @6 a+ c3 Q/ z4 `, \& F
求正八面体的法向量:
" g! }" d) h8 z; N0 W8 C1 R7 L8 h& @化简并去除方向刚好相反的法向量,因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程:
+ ?' \/ p5 U/ P6 d& n! Q
) G6 k+ Z2 k" J- `) `然后就可以根据这个求八面体渐近方程了:# m' ]* t. w: x9 j8 S' ?3 J6 D
* b7 I, C: M4 r o
5 r* e! e! H+ a7 ?7 ~正十二面体 ; _2 g% f# n- y8 L: ]" L
正十二面体的法向量:
* }6 w6 C( q, v% y$ \( S8 H
8 d& n$ F5 {3 X, V3 z化简并去除方向刚好相反的:7 P7 g; x* [ n: ^ Q4 w \: j
. s% V& ? g$ l+ C8 E& K隐函数表达式:
5 y! D+ Y0 S6 A! B5 q1 L6 N
2 C- K% }$ B$ j$ P) Y. c
$ L8 H7 Q. `; y/ F, s& p为了计算方便,我们用数值近似取代根号形式:
绘制图形,可以看到,随着次数 n 的不断升高,图形越来越接近正十二面体:
" z# h; B# u w4 K; |- [
+ C7 n" a1 o' S5 `
十二面体
" U7 w* _" z) R6 a% Y8 L$ z/ n9 q计算各个面的法向量:
& z- f5 e# O, B9 S
% \: @% n' R; l1 x# ~
化简并去除方向相反的:
3 x" E$ K3 X$ p
6 Q9 x9 T7 R# ]1 n% ~8 q. k+ G得到方程左侧表达式:
/ C* D$ s( m. w$ d* R7 x为了计算方便,取近似值:
9 I, U4 h, \, M @) y
1 ?. p( B' ], \
绘制正二十面体的曲面方程:
- Z7 p# H( W" E+ B: v& L
绘制正二十面体的曲面方程:
$ H6 L7 _$ c9 u: y复合多面体 从上面的计算可以看到,根据猜测做的推论基本上是对的:确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到,这种方法有很多局限性。首先,所生成的多面体必须有平行的相对的面,这样采用的法向量才能一个顶俩,发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里,只有四种满足这个条件,还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次,用这种方法只能表示凸多面体,所谓凸多面体,就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的,解决方法是引入指数函数。- y& X# W0 d& W7 C% h
正四面体
0 y, C# ]* s) q7 j# L计算正四面体的法向量:2 V& x) y- P+ u' p
化简:
如果用之前的高次方程的方法,那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体,因为每个法向量都生成了两个平面:
0 i8 t$ }0 E3 s( y
( `4 \: I2 ] C: ?( p4 X而改用指数,则可得到如下表达式:
% G( f5 J. u; w, P! |
' h0 t: v" I7 j7 S' h6 b以此作为隐函数果然可以画出正四面体:
; e7 M- I* y. D/ C& l
& k5 w7 s! S. x2 S
为什么这样可行?我也只能给个近似的猜测:对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程,两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程,把几个这样的平面方程加起来,就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响,保持大体是个平面。 , j" c- g0 C/ i' A, I) d6 X
另外还值得指出的是,可以在指数上再加次数,让这样生成的多面体的边缘更加"锐利":
6 T" X2 @" m& v5 A
& W- Q3 w1 h( E6 k# m星形八面体 在各种各样的多面体中,有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成,我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体,就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。- ~3 P9 y! A- r
- q& y' j: e! D+ D# t! @3 H观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现,前四组只包含顶点 2、4、5、8,后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量,然后分组各自生成两个正四面体曲面:% h- | o- t/ o4 ]% x
! s- \+ ^) x3 A0 ?求法向量,化简并分组:# H( w6 j/ e" q* Q% `' K& u
+ B, T3 t z, N3 C
得到两个指数和的表达式:
% z5 X+ }& q# d! d, J
6 |: p/ Z3 t; o7 I分别绘制可以看到两个正四面体:# I7 W8 l+ m, q2 m, T4 x# @2 s8 A/ i
: m! r. |7 ^3 Q \
如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢?直接相加肯定是不行的,那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧:把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale:- Y! o9 B' t W# e$ k
$ N$ j& Y. F: q! r) u. y7 S
可以看到,这个方程确实可以绘制出星形八面体:
) j! K( T. g, }$ P j- C
' {# O! n% P( \
可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画:% i. L u. V: g/ d" y& B
; S, ]( @: @% ^ Q) P
9 J) v# @2 k; w; f
5 T5 E; _- H& S# w [五复合正四面体
7 ~( Q0 c' e8 U, v* V0 y6 j我们可以再举一个例子,五复合正四面体,这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体:
" s0 t, s# X" A2 l& C
照例求面法向量,化简并分组:
# r+ L7 ~7 |! X/ {+ E, D( k# s
5 b* b6 ?+ h5 V9 @3 V8 \. d1 [得到方程:
, d) j0 k: A# r8 M0 N
- \9 M+ [( G5 J绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面(警告:由于项数太多,运行绘制速度很慢,运行时请耐心等待):
& y: J! o! }- ^2 {5 w1 T
6 y! C9 T: H N我们也用它生成一个旋转观察的动图:
7 R: [2 K3 ]- Z% y
+ V) m# J* a8 M5 B0 x1 W
$ N( x+ D/ p2 G1 C4 j. b更多的复合多面体
( p5 s0 I" `. m0 A; c只要是由凸多面体组成的复合多面体,理论上都可以用上面的方法,先求得各个多面体的方程,然后“抬升”到指数位置,得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体,我全部列在下面,感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
' L6 K, Y5 Y3 ~6 V& k' W! j" a% ^
# f* k: q3 S8 ?9 s7 X
1 r7 m. q$ B, e3 Q# b( l2 N对此有兴趣的,欢迎联系我们共同探讨。& Y' y) u. l. B+ k2 j; k
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% E; b/ ]% n1 S. g. w! u8 N |