Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
  ?: H2 X. a1 ^9 b* N' \从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
: t! `! F2 Y0 ^) z7 {* j7 N
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
& a7 u% L1 Z2 r9 R9 b2 r从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：

可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：

* f  t9 ]6 x; s( n, n  V( n这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

& _# \0 C& H7 y7 O0 ?

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

* |/ s$ d0 v) t! S% f9 N接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
4 d3 u0 h/ a1 ~" V! q( q7 K

正八面体

求正八面体的法向量：

( ?5 P8 J2 Y' u2 N! G' P* A2 M  y化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
" E* u% c: O+ u" ]) t8 Z: O
然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
% A1 }' X+ ]/ l) P
" x4 f" H! _6 f
0 G/ P+ g! I) y: ^

正十二面体

7 v8 P6 \+ D- r6 r/ L1 r- L

正十二面体的法向量：

( R6 E" q" v, w" m/ r& E化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：
# {- G& t1 D+ u5 w3 e1 r+ J

+ q% v" r) E6 @" o
$ Z) K2 K/ C! F* w8 @' ?8 h4 o% P为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
) f4 N  |& A4 h4 t0 w+ V

十二面体

9 w; D5 U0 K* [5 v4 D% ^! O计算各个面的法向量：

化简并去除方向相反的：

6 `2 S" d& ~7 H7 [: l得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：
) t) i, E  u1 q. X" G: }

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
+ R1 \  S0 b2 i9 p: r8 Z

正四面体

0 d6 {3 B8 P5 P. s4 `! }计算正四面体的法向量：

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
, x* v" o3 J  R: _
) s0 Y, a8 q! A1 J; X+ _" V' Q2 y( G而改用指数，则可得到如下表达式：
7 K: M; ]6 e* O! _  P! x9 t
以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
/ ^. \5 ~$ _2 t$ g; z" W) f
* L/ E% N  V" ]. c" G) E2 B

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

7 N: c5 K4 Z4 O6 h0 r* i

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

$ D6 }1 E6 I/ r  h! V+ u

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
* z% d& l" h! G' S5 a
. L: b- X+ T6 k+ k7 L. B* j观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
( |' D/ k% O7 N4 ?+ L
: n6 f* e7 O# \3 d求法向量，化简并分组：
! ^' L* Q8 p1 g' j; q9 A$ ?2 ?
& N8 E' @$ E2 U. d" r得到两个指数和的表达式：
7 j4 q) E3 P& ~+ V* l: J
分别绘制可以看到两个正四面体：

6 u/ v8 R) E, I( M$ y: P, G% i6 A如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
. _& o9 G6 F* {+ |( f$ e! U
  O2 J3 z) z8 q, }可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：

. D* g: l' i- d
# l2 o2 n/ T/ B
4 I. A2 G3 J; p! t* Z& T) p

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

: y- |: m9 k4 N9 L得到方程：

5 D" M9 i9 S# P) q' {

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

4 J& g/ ]! [7 R# w9 L! J

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。


6 p, \6 S6 K' s对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
market@asdoptics.com
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# g. b0 a& T, T; W

宏心

变幻无穷，无穷
2 v  \9 q( H5 ]$ r$ O6 w