二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
+ U5 _8 K0 W4 y   对于完全平方公式：
& n- ^3 G+ E2 A) s3 L7 ]5 |   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
) u- m$ Y2 x5 K4 j8 P+ c$ O    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

% F5 t3 u' p9 P# D5 M' ^8 B$ L$ y$ I  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
4 E" x- h" R7 g2 N! r
, n! p  r5 N4 t6 X/ J% y7 \! A( _  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
1 w; P) |8 a- ?2 W* G  X! [2 K   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
+ K3 M" x* ?$ M: r2 b  D! U   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
. u( h# h% H8 \* Z0 Y+ _1 [5 D+ [   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
: V" G' A! _1 [  q- N& a( x    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
; _8 K' }) P, ^; N; Z   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
% U+ b" s! }/ D/ E7 j" l      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
" g2 ~" m0 O/ a; _) [1 J/ R2 \8 @% t
二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
4 x' A$ F5 {& d8 Z" s0 m) L   例2: n=299=4*75-1
7 F; j2 J4 s" B$ R2 N      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
& {! k- i4 |! D7 N1 Q2 c1 m; S     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
! `) ^9 J8 j5 M
* |! n) [, q4 @' L) o$ L9 i   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
  q8 Z# C, I* B- v9 ]; t      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
, S2 B  T9 ], a6 ]     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
9 X8 [( n& O/ j     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
+ A: o3 m  S( K. P3 H6 P. l! `     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
# L3 v' V6 W$ c+ b6 z2 u     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
6 ^2 V: Z+ _8 _, f$ ?# B! W* a     ① n=4k+1 , 2-1式得：
" s' [  k8 Q# j7 T1 l: h6 a, S7 J     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

5 w9 _& ?$ L/ z/ z   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
6 K2 L9 T- \8 |   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
' e, a: E1 N7 d  h    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
5 L! V4 d4 ]! C
三、1/j (j >=3)的计算方法
, J; S. t' z7 G  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
7 g- v0 @; u) o" }+ O( _$ Y# W   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
' Q1 I# f: N" u7 p1 y8 S
   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
' j1 n0 S2 v8 h: t    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

( g6 U) n  q6 P' S    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

& j( Q0 K/ v& j; x$ c: O   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
; y. }8 s7 c0 V/ S' [4 s6 N! V8 ]   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
: {- v1 N7 d0 d4 e4 P' z6 Q   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
$ `5 T  J0 N4 w* s   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
8 g# s9 A; O1 u. Z   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
9 U5 B6 m6 P" D* ^' z: v5 O   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
  v5 A" U4 v3 D: L    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.