二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
( l1 H/ K: r% I- x
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
8 q' x4 n2 A, q( @! l   对于完全平方公式：
: n% H; O, {8 A   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
, B1 A) t' F% }# i. I2 J
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
* P* d! \9 p! Z# X    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

- Z* B* l; R% C1 y9 U" h: ?' r  .
  .
# K1 j6 e- `" z5 _+ H' F( t1 I+ C   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
5 G/ z2 M7 j/ D: A   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
: G0 N8 Z! L$ l% [    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
3 n1 [( n8 G- A3 c      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
: n5 v1 y8 w% L9 G5 S$ t      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

) _9 H1 _# \5 p- D! I$ a7 T& H! L 二、连续两个整数积的分解方法
  i7 h: G$ J& b1 g' |+ d' ]   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
" O2 |8 O2 V* ~9 Z( f     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

2 ?1 s, B/ t; w8 W   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
2 H% _( \4 E+ W- W' `1 U      a^2 ≡ b (mod n)  =>
& ]+ {2 H# P$ Q2 L- y0 M4 X2 d     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
( I3 L; k& k# _6 v; A     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
' p: q+ o# F# c) g2 W1 l1 [     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
# \' }) j" g/ p, z3 s
   2、分解方法的另一个解释
* d2 M! f! D9 O- N    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
: f: C$ _3 d' l0 A4 u7 j1 T       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
: |! C- y* v  q% Y7 j     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
5 J  V: c! N- W( y+ ^5 i     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
0 Q9 a. w, w$ O$ J( `+ K8 r  T    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
* M4 C# h+ E, p- \$ B
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

8 D! ?+ g- h0 q9 ]   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
" x8 [' \" ^( n5 F' z   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
1 T" R1 p+ G+ L) u' @7 I   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
& Y! v8 E: f" q: h9 I: |" s+ I( V) n0 x   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
& M) x- [1 o& U& M" e" t% W   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
% D" \$ t/ A7 F! F   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
6 O7 l2 F# L9 Q4 Y" K# }8 D7 [   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
, U. ^4 K& a' t( M0 q# |    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
" p% w$ D( i+ y, _  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.