二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
8 N8 t$ `2 M0 U! w4 t
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
8 k2 R! `4 T& C0 N3 a7 D" q   对于完全平方公式：
7 w$ `. w+ \5 k' i* _2 B7 h   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
6 H1 w9 O* A6 P  q
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
9 V7 n# ^, C. U. m- a; K: _$ U    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
8 ~# C8 ?! j! z+ Q    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
0 S9 w4 A/ M- F1 J; E9 R
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
' m# E+ c: \* X   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
/ y; I: @" G' `! _- L, L2 x   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
$ o0 I5 v! d* F7 E' \
  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
1 C- L  e; x8 C' ~( z4 [   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
6 i; D: V+ L% m" p* {& k2 m    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
: y  q4 z2 w; G4 s   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
" l) m3 ^/ j1 q9 b9 z    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
5 B: P2 B2 r' ?* G: }      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
" J: v4 i% \+ r& P      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
% Q$ Y1 c- N# Z- J7 v& J, C$ T0 Z      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
" S0 j! Y3 l$ l0 q# O. u( e      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

. P" u+ ^) i2 Q- D# h+ q6 } 二、连续两个整数积的分解方法
/ j( l& R) s* J  ]* g   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
' O1 {7 C$ a* ~7 v6 @      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
3 A8 ^+ v/ R3 p3 G2 e& z     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
9 |) |4 ]$ ^- Z     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
2 t6 J* J( i' [" F6 w- V: V9 C     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
( _) o' A) L/ F7 ~
   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
( P! Z6 X+ v/ @" t) M      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
5 r* t2 G6 Z# \% Z     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
$ q: A0 a" i' M$ t8 I. Y
   2、分解方法的另一个解释
) z0 ?. Y3 ], v+ T    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
3 X% V9 H( {% }6 r     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

% Q4 a9 |( W" @. A# E 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
# ?3 m( B4 u* X; Q0 `   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
1 X' E5 k6 S$ I; f) G1 T1 \8 F6 s
- ?( M5 B3 l8 @' r7 m   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
- s+ N& `8 C  h! H% i8 w+ ~7 W3 ?! y3 ?    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
3 L( U. B- ?' N6 t  z6 S6 s& M
: s) T( B% B! Z( K* s# m  I    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
# O1 m/ n  V2 m4 H& n
   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
1 S! J" x8 X4 P$ {1 m0 N) ~   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
' u$ ^" M. o# k! K, z9 c# r   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
4 ^! N' Q7 p2 n; b6 x8 `   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
4 \! n# ^) g, g: F# z   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
  x+ r2 ^3 z2 g" t   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
+ X) Y" ~6 _; b8 F6 b! e+ t    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
7 P& A* q6 E4 L% B& Z) I