二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
* g/ ?* ?. i5 }; b, O2 H# g
% N2 G4 u# m' [6 J/ r. p# _ 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

. v. h9 A; z3 x: _% m! j( i    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
2 W- N% c1 Q5 |3 M: Q8 Y" ~, \    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
, _: Y" @' q4 g    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
% {4 p# y; S1 m) b7 L  H  A7 c    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
' W3 L  E6 x& e6 @' ^
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
$ Z8 j) U0 k7 J
1 y4 |  b- I2 T! i" Q  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
4 p( ]8 m! T1 ?, B; o" e! U8 {   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
7 i( F! y- `; i4 I/ V, g    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
, s0 u' a. i; }, z! C# w+ |+ O. N7 k      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
: r. Z9 G$ f+ Y' L: {. \/ A+ j     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
( F8 |. e7 K+ f( ~+ T0 Z0 _1 ^     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
8 f. v; b( X; F! i8 h3 b7 g9 k     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
2 f/ u& m) n3 C7 P- k# m* G     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
  `, L% `1 W% p2 c' A) o       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
5 W# e% \9 ]8 q9 V# r& }3 h1 v     ① n=4k+1 , 2-1式得：
4 W, @( v3 S: K# `7 Q1 v     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

; n+ q- H4 ^* v   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
+ O+ d% P7 Q2 f" ^/ c. z% u) R    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

& x( X" _& o. p5 s# z: C 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
9 G6 Y: [6 G9 a7 P, n8 [2 C
! \  N; _* b" ~! X0 N: s   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
- r1 ^! Y) Y0 ~" y$ d    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
, w. T. V7 c( e& a2 H    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

, K. L) |/ k1 M! a   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
  F* O- N; |0 m5 }. p% o' c   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
7 o6 c, Z# o% B   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
/ h4 V6 f" }0 u  U1 V% I   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
" F9 W/ Z# w) z4 \   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
: e, D$ t# }  |$ I( }3 M
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
- b) ?3 A# }4 S: _# [    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
4 N2 |+ u6 T- n  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.