二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
# M& Y) p" R2 t) @6 O4 m   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
* ?7 z: d3 |) t  G* z' `
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
# c( {2 w6 k1 N  C) L* t& V! \' L, X- v    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
' ?/ w+ k: Z) H; C    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
* l" S( h; a5 d+ a* V& u- Z( C& f    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

% M8 s7 ?  h. D( w/ ]  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
1 z& E) U8 }3 P7 N  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
- l; R/ z7 {1 {: R$ r0 ^4 d. n   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
" E0 E% h0 z0 e! V7 W$ `2 I& l
5 a( {0 l) K& |% u: b! e  .
) ~) @+ `7 Y8 I/ \% b: c& B  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
' b: x! F5 W( [' L9 G) w5 o   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
+ y, ?- T# }% Y, H    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
( c' u4 r% I0 H: ]0 k   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
2 _2 d$ g# ?0 Z$ i      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
  {3 l) @0 N& I6 q      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
5 F; x0 ?0 m& T
二、连续两个整数积的分解方法
; W7 ?. d9 a& ?- d) e5 h' l, L% Y1 K   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
2 R1 X% h+ K6 f) {$ {2 o, @      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
2 T3 G! K. B! ?: K     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
, Q/ f- C" y& w) E% u8 {0 p3 z2 c: S     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
% p2 `+ W9 L/ R- ?$ A8 T     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
! n7 r; B( A! ^1 u
   2、分解方法的另一个解释
+ v6 S7 C* d$ N1 b  V    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
) e& n$ F1 i! w" o9 l+ r     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
& d* s; E0 d, f0 ^& Q: K* c- R       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
: H6 ], R" _9 y! k, B     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
. r) {9 T% U  _* `' I) I( |     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
+ l2 E3 B$ \' a4 H/ f& `3 k     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
) d& U' f1 Q, g) }- I2 R
   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
6 w( U/ u) z8 X$ E" o   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
) Y4 _& o( f5 Q8 h5 U  {5 M6 I    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
6 ?, M# ?; F' k$ n' V
三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
* H7 W. }; j4 A  ?' B$ {; k
7 p$ d  K* ~7 M, i   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
# I* a( O& I+ F& B    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
& b) B2 z/ F' M# O  r    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
  V) ^9 |. K) n/ q
    按m/j , (3-1)式变成:
# t' Z% a6 a7 ~- b. g6 k/ i) m0 f    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
+ G% B5 f$ G. I0 n$ v' ~
5 J' j5 n9 j1 A. q& J! @, K   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
* i7 }" g" Q. S2 ~   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
" _& m; y' F! X! }+ h/ ^1 D   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
( |4 W2 k% e' F1 x. L8 E   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
, K" {: Y4 f) x8 ]  _
: U# M% ^6 W6 C  {- s   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
# @7 m+ q; S" M6 i+ l3 ?    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

9 ]; w" D6 u! p4 k/ f" r( E