二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
, v" o6 m, [; I- m& N
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
2 V  r0 D1 u9 e2 P* ^1 p3 S
* `  O: N" V. C$ a7 ^    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
: M. U$ u) k( `/ j4 i5 J: y    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
9 H* }: S  P/ U, Y5 }' W
' Z, g; W& N% n% T- r6 w' _  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

8 r% o1 u* e8 A8 ?" Y/ q  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
5 B' i6 m/ L* V5 i  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
: n3 |+ `, T9 C9 ^: D6 H" t
6 w! Q" q5 U2 n  `# ~' f  .
( h9 d  }: e% W; _  x  .
( g1 R( \& e7 J3 p   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
9 R4 e6 o3 [+ ?5 e4 U, S) n/ q: l    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
8 m! _$ `% A$ V, X( `    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
. h) F8 A0 W! P      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
' [, a3 o# H9 S7 ]& t7 b      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
) A" Q5 y, d3 {0 J0 ]/ O      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
2 S2 L1 s2 T' U) f
4 U2 Y" n) W8 {2 [4 } 二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
, o1 F; K4 S# W0 O' p   例2: n=299=4*75-1
. Y* H9 |+ W$ e6 H; G      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
0 g/ ?1 T4 @; E" ?: x0 j; F+ z2 C     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
6 B5 ?5 l; Y$ q* g     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
( I$ p- n; N8 ?4 Q0 ^4 M     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
: p' V4 V( ]8 Y2 \     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
# J7 q3 d( W! ^0 U+ z! J     
3 E. i) H7 C. Y& a* f7 r- U; @     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
  c7 M+ Y% F' L7 b7 [: F" M: O5 q
* }8 o) T, ~- e' t& O( j1 z+ c   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
/ ~& V% y# j! G& o* t    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
% {% Z- x( V2 O
三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
) C' b4 w$ r. ~, u( E+ M* q( Z
. y$ U6 x9 i# O0 A9 u/ L   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
! P) ?5 L9 _/ O& O    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
2 A+ y0 b/ \, y8 B    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
. ?3 `1 L$ F6 ]
    按m/j , (3-1)式变成:
3 C8 c0 A9 I% s/ h' _    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
9 t8 L3 j  l5 m
4 b, c  H1 w: q! m2 Q- P   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
+ R; V( F6 b6 v3 X   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
$ R1 J  u: a. ]# [) l+ q7 s2 `) U: ]   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
; `: g# V- K1 K/ [   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
! A9 e* R8 G: A# g" j* M
7 C( Q+ `/ z- S0 F9 L   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
' h5 G  ?- w' a    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
1 ~- ~8 n- w& D5 U5 S* M  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.