二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
: r0 g, N0 M! n( r    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
6 m4 K# r* T' W6 }6 Z
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
# ~) c, {; H5 ]: ?
  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
4 Q5 T! i: K" M9 J  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
  H1 {. g5 F  P   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

& D- L% L+ @% i  ^" w6 m( H  .
3 ~  `+ P9 @' }" N3 _2 l  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
0 f4 x' z- \* V   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
/ p+ L* m, S& C. ~    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
; K6 f& I3 A+ j7 w      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
. d; a* q5 H/ N      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
& d/ I* H1 J; L  \* l      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

" @- h$ d& k( a9 ?) U8 A 二、连续两个整数积的分解方法
! V: `* _# Q. Y, e6 Y0 Q# t   1、分解方法介绍
7 j# r& [" M+ `   例2: n=299=4*75-1
6 ^" p7 R4 s: T: f! S! [: S      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
: W" }& F2 S% X' y     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
7 ^/ _8 t' O! q% H. w     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
- l& |+ v1 H, L* M( H     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
. f# w& l, e. I7 ~, D- p% @% f! D
8 b* s- F% d' n" O- V- U   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
( n" o3 B8 H% }# S. p3 g     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
; j, c/ P! P0 S' m% g     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
+ d4 k' }2 G/ y" c0 u     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
$ C2 x4 f. W% b0 L, z7 G" q
( ~; n) k& @$ X  T8 ~  Q5 _/ C   2、分解方法的另一个解释
# v. `6 Z2 `* P+ ^    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
5 R( E, s% h# x) n% _     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
# k' P( J' e, N6 R       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
) Q( [  F( `5 x$ B     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
5 z3 b% `. o" i7 L     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
$ ~, w: \1 n3 k) X1 N. b0 r
3 |2 `5 \/ M) {* d9 P   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
0 \+ @6 p7 s6 q! q4 _2 j( `   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
1 ?  R- h. i7 F  u  P    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
# }" |0 j7 F1 M, x5 [  e: F* O
三、1/j (j >=3)的计算方法
2 Z* n" Y4 ~3 D" ^2 N  K3 ]  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
4 k6 I1 Q# @9 F5 [- \6 }) L   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
" b" L2 n! R8 w
9 o& X7 o+ z( m! w' e   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
0 h4 e4 W1 B6 k5 \* u/ I9 Y    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
9 t1 {1 f% h' c4 W    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

9 R; A6 M$ d9 P' @$ E    按m/j , (3-1)式变成:
3 Q: z- l6 c3 |+ O8 W4 g  i    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

/ ~- x0 ]4 Q9 n; S   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
6 L5 C2 O" P: n' X5 M% p* f   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
7 o* N: K9 N9 z. _* h3 j0 J$ w- f* _   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
2 b0 K7 ~5 ]% u   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
  s' f4 @: Y0 c1 c6 C   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
, y5 Q6 e9 q- \  l0 S6 j9 c9 u   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
: e) ~2 T' C3 E$ p2 o   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

1 e% s8 Z8 ~, N   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.