一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
0 o# X$ z& F/ Z设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
7 p  D' [: n! _9 f1 @  q2*r3≡q3 (mod n)
6 V; C! \. S" x0 g   .
# o9 [5 r6 b1 E4 U% ?   .
# F1 [+ }/ ~5 c6 @  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
  \! h0 V& t4 L/ f2 r- @; } 上述等式相乘，得：
) r0 C! G# j6 q  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
4 D, G, t1 v1 g% ^, \     9*33≡-2  （mod 299）
3 q' c! V( a4 A) c" u. e+ u' r     -2*-150≡1 (mod 299)
9 Y5 |/ P; p! c8 Z  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
' x! C0 O1 T7 E* @1 j& T2 }     28*-22≡-1 (mod 299)
. d& [8 P  m# M$ S9 N7 @' _* R  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
) a  |( P% q: ^7 n% s( ]6 `2 F) q  1    输入a,n  
% v; P, I% h3 P6 e) u$ w  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
6 |) H* d* B( j* X4 Q1 U  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  S8 w! w6 l0 f: t7 q7 T) e  8  a=q
+ M1 L! t6 j) V9 U  9  goto 3

: {: d( g7 E, V) }1 \