一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
7 y( [4 B* `" _/ }  r  a*r1≡q1 (mod n)
9 D0 R4 |# F; k7 W# P# Z5 Z  q1*r2≡q2 (mod n)
2 D0 Q) Y4 Y; m3 F# ~9 z$ K  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
( V9 E+ ~( M7 i( m! r   .
. X3 f: c1 |3 Q# Q: p2 E2 f' Y1 o  .
" l" I6 a' z. |+ l6 k+ b  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
) Y0 n) v9 k/ m5 c1 V! {, u% e4 l  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
6 b, V8 l3 f" q( B( V8 p  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
2 i1 N8 S, X8 P% i  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
& B$ P. _8 H! r' Z* O) V   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
+ L4 O% o1 p- }8 a$ V+ ?: _2 \; t  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
* q* x/ F7 n+ m     -2*-150≡1 (mod 299)
/ w2 y" M& k, h8 u- i" {  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
0 i, A7 \5 J9 C/ j! F( H8 f9 @  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
2 a, o8 l9 O/ I4 ^0 ]  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
# O( A+ s5 l2 ?% S' [7 |3 f  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
( K' d! a4 J* O  9  goto 3

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