一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
7 @0 H/ I! j  K/ i7 S设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
  .
* T( ~3 @8 U  E2 @: r9 X! K4 f$ m7 I9 E  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
+ k& ]" @5 c, |8 g6 n1 V5 A/ g  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
: M' \2 L2 k4 Y/ p  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
) V: m. `3 _8 M' n) ?9 \5 g. c   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
. K; F6 d2 N4 y2 l6 T2 V3 ^6 E3 h     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
: e6 S, l( x6 Z. D3 Y  n2 Z3 N+ z     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
4 \* a! Y& q8 m( k     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
/ Y9 Q* M4 i; w8 ~) D  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
( i( ?9 F7 @; J( ^  L) M0 i  5  resulte=(resulte*r)%n   
+ O# ^; E2 @# M$ u/ I; Q. Z  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
: z% U7 g! i3 p- ~  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
) s) @8 n$ {" O0 A! H% o5 }  8  a=q
' x4 a3 _3 \% {2 [  9  goto 3

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