一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
; j, I7 R4 S3 H; z5 E9 d" s( A  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
# f+ r, G) J' i! X   .
   .
* r1 g) B6 q6 u  .
- [$ V& q* m, i7 K  ^$ `  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
( x/ U' C0 ?8 c" W     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
( S! \* k: F+ V/ _0 B     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
- A2 n- a% ?, r4 Q7 m' F9 r     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
. k1 P# p1 o) J2 ~+ e  s 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
- a6 q$ ?# M2 O  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
( ~) u" |+ x/ Y, o7 S, }  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
# f2 z$ X' `% Y1 m: o! D$ k; ~  5  resulte=(resulte*r)%n   
7 x5 o0 X4 Y8 T  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
9 R2 E+ m1 L6 `+ u/ T; _$ y  9  goto 3
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