一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
! z5 q& r# a% g$ \  W- Y# U$ H设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
3 F2 {+ `. e* n1 \$ Y' J  q1*r2≡q2 (mod n)
5 s7 N% _) V" u; k# I$ u+ k! g7 o  q2*r3≡q3 (mod n)
& ]3 I  s& z( v; i, _3 x   .
   .
  .
9 z6 ]5 J, J  B' ~4 v; D8 u/ ]% \" }  qm-1*rm≡qm (mod n)
5 m, m; B2 O" \6 R7 @ 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
2 j6 Q/ T5 M" |- b2 c2 {  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
6 [( w4 S1 e; C# x% c  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
' ^7 _0 T2 C. `   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
7 I! M$ a3 m& m6 Q' w$ j" Q; g; g   则 qm=±1
$ `$ b3 \0 a7 s0 d* f  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
3 \; X+ L0 O" c     28*11≡9 （mod 299）
6 j7 p% y: S6 g7 A     9*33≡-2  （mod 299）
6 s1 W5 V& I0 c5 m( [     -2*-150≡1 (mod 299)
3 n+ D8 [! M  E: U7 z  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
* M( S$ x5 X+ P0 ^( s, m     28*-22≡-1 (mod 299)
) u/ I9 T$ L( t. F  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
- d5 H- {6 v! f: N$ A 下面给出其中一个算法：
( r" M& f  V" s) y( [  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
0 I) A3 X+ H0 n; g  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
: E# U# N6 b% b4 _  8  a=q
" r! t" t' E4 X6 d9 C  9  goto 3