一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
8 g# I& N$ d) D4 W5 h9 u$ G  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
, _; t$ O" D# y7 b/ I  Z: v% f  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
) f/ a4 V, K5 V9 `" U$ b  L   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
3 v; z% I1 o/ Q$ I/ s  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
! r3 S5 }& H9 o' ?7 l7 e/ @     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
( o! }, S. n; Z) [     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
$ J$ z$ r1 O# P6 X' D* j 下面给出其中一个算法：
% M2 U3 P/ h; o/ o( H  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
" O9 _# X& s- k2 X' J4 `0 H  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
+ q* s0 Y( f2 F# |: h1 C# S  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
0 i+ m5 A' Y7 ?0 Y  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  w8 `+ c" t$ V  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
9 C7 I6 Y. [& g! G# B" P  8  a=q
  9  goto 3