一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
- y8 F9 Q$ }) s/ a3 l  W7 ]/ E  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
: w$ I  \- t6 V. F( b  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
* i3 C: l& O7 C: X7 Z% |   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
0 R/ f- Q! C, a8 t' k& p- Q  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
% C0 f# O( g" u3 @     28*11≡9 （mod 299）
$ j! S9 S' S9 Z& Z5 `, I     9*33≡-2  （mod 299）
/ l7 X6 a9 V& X. g     -2*-150≡1 (mod 299)
- I# K( A6 c* f" e  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
4 |4 q; T( |4 ^! O     28*-22≡-1 (mod 299)
- f" G# {2 G" C7 Q, l% G  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
6 c# N0 ~- a$ z$ a0 b2 n  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
% a6 U7 Z# A0 K; S* i: v  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
9 b$ F8 P- [! y1 F/ B6 i/ u4 z$ u  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
0 A3 ]1 n7 n: X6 r: B) z  H) v" X  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
3 z5 w7 _9 X( K- |% L
2 U- ~8 L) g" W& C6 l3 _% h! G9 ?