一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
& _6 R* F7 [4 t设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
4 Z3 z! R. C' d6 C  a*r1≡q1 (mod n)
4 {+ i( n7 s; P2 k# V/ G: Y. E8 M0 f  q1*r2≡q2 (mod n)
' }6 |8 `5 M- s) T0 P" T  q2*r3≡q3 (mod n)
7 I, l, ]. ~4 }, o5 u/ l! X9 P- ]   .
   .
$ g! ]7 U% M& Q+ b& N  l2 l  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
! d8 @! `# R& u- u7 g6 @  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
& I3 Q" f% D- y. b   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
! V+ A$ q) ~# n/ Y  R$ T' ~   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
3 [6 R5 k% A/ L0 Q  f4 G& m  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
  z" R8 b# L2 n/ k4 H     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
! T7 `4 U0 k; h- e  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
% ^+ F% Q/ j5 ?+ h5 i" S- }     28*-22≡-1 (mod 299)
- D; Z4 ~6 g' x/ R  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
4 h- r2 X9 H/ E# }, _/ y 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
" c& v( B8 L8 j$ ~7 k  p  5  resulte=(resulte*r)%n   
5 `: u/ U9 k( S% V  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
" n7 L5 x2 b" H) K" R  8  a=q
  9  goto 3
% E3 l, r7 C; A8 k9 d8 e4 V
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