由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
5 l+ E2 u- B4 h: Z& Q  T5 T
- ^/ X- ~- x! s2 V

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
  _, u. u+ b; s7 v3 V                         尺规三等分任意角的逻辑原理
% w" s- S; ]# A; E5 |+ m+ j) q( d                        苏小光
/ [/ ]$ ^) i* t3 P0 y                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
  b2 x3 o. ]8 D9 k; }1 ^                  
. F% i3 J6 ~! K: i5 B/ U没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
; L& H) @* T. T, @) g    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
5 x; H! U9 V3 i. f                 
4 j. i9 k+ I4 s; j   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
0 ~  G( X0 \- g  n$ I1 Q: p   三) 问题的终结
  Y" Q6 j/ Y, I4 f' n   定理3 若
) T2 d9 Y; s7 ~            
则用直尺和圆规可得
2 H, M" b6 `8 Y, x- i            .          (1)        
( l7 }, D0 o/ W5 @9 C/ w: D5 R    证明  
在∠AOB一边AO上,取
) h$ x" Q" h3 c4 m9 j            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
7 u. `( U& n6 }1 N* h; w9 c; W. V8 G以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
$ w3 x' q  g9 N3 d& U4 B所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
# U: T" K  l9 Y; R9 z$ ?6 C根据(4)式知K
、F共点,所以
" P# N/ T; I5 x- x( D( X% a        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
  ]! q  P8 F* S, l        .
即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
& D0 S" q; t6 G6 T7 I" \                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
8 `  u9 z, Z( c, m6 z9 A" w; a                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
2 W* O  `' o$ x( g3 V3 V- m% T    二)  预备定理
+ o8 d9 \# u0 \& I- p    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
                 
# Q! k8 N* A2 q& L/ n   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
4 W2 O8 ~, z6 }1 u" ~! g   三) 问题的终结
0 N' ?+ y3 P  z! x! r3 o   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
1 e3 m& g# U( r  N3 q' A6 T            
则用直尺和圆规可得
0 G' w$ F# @( {; k2 A       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
5 c! e5 J7 T- S# _: \在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
( t9 j& W/ D, c/ u6 P9 ~+ J以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
2 \. S1 |3 {# q+ g. d. p( W, P5 A根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
# q- ^  M5 H+ }6 K" U+ b: V- h          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
. p. L/ W: v0 I1 Y        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
" h% }3 j: f" O, F  }+ d" c        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
! F* U4 U/ w- e+ {即
- M, [) `2 |& t/ H" w' [' b, _           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
' J) r8 }) e$ E; V  m7 h由(6)式知(1)式正确.证毕.
0 ~) H' I. a7 d' y+ A+ |    本文的理论基础是
* u2 N% A1 p' e8 i7 ^            \pi = l /2R
1 B# Z" U: I2 g6 c5 ?: F若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
8 L- \4 d1 X5 v1 M! h8 L0 }9 g3 @

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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