由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
& H, B; W5 t2 V8 y                         尺规三等分任意角的逻辑原理
- _6 M. r  ^+ ?! ^7 n9 f                        苏小光
6 R6 E/ _# l9 c% v$ t8 n7 A                      2011年2月20日
$ ~/ T9 X& |- q( b     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
1 n. B$ N) m0 k' V) [- b3 B7 S1 E                  
. U9 P. c- F# e+ d没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
4 I( W4 X9 z5 K" d/ r    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
& H" B' V( A9 m7 i8 U   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
    证明  
/ v: _; A; s0 i0 g+ j7 z% g在∠AOB一边AO上,取
1 X) _$ ^, {! _            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
- G2 c" p3 P, F; O7 S9 b) e# U9 f根据定理1,有
+ @4 h! `  ]3 S$ ?. k' ?" a                    (2)
) w0 O5 u' v4 x3 q在AO上取点E,使
  L& _% C* e- d8 K7 R2 }+ n            (3)
, B- _& [, P2 C" K0 S& d& }以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
) c' z+ I. R! N4 y( f、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
) B, E* P  T1 q+ U9 V9 e! i即
       .       (6)
  V, R/ B3 }6 r! K4 @9 s' c由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
( C9 P/ p" W/ N- s' b若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
7 m% J1 a% Y, ]  K4 A( b

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
0 i8 R) I+ y  ?4 z2 @; j                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
& r- |( e0 F( ]; ^5 }+ l$ p     一)  问题的提出
' B7 \3 \1 F; @1 T* b% C) S     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
1 z+ z( c0 V4 X" Q5 U                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
7 P# f" j$ e( F) b. F! T3 v    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
& f4 n2 s0 G& l' u9 u: N                 l=NR\pi /180 .
3 G1 B* d# h0 I+ j+ p                 
0 W( o3 s1 _& M) H- g4 _4 E0 F   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
* j8 n' N# ~- r0 p1 a/ c   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
  [: x# l8 d- I% o7 Z' ?8 U, g& r( P            
则用直尺和圆规可得
+ P/ G, p! h+ }' T1 K) V* s  s$ u       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
3 T1 h" o- F) L3 `" R! _$ x4 |2 ~    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
: p9 e- y; d) w4 y/ i' N7 ?4 T            
& T) X, G5 g) \/ u( B% i- g以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
/ _5 f3 R" \+ m) A根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
) e" h# l9 w- F) F  w- @7 m在AO上取点E,使
* E1 L1 H- b- \/ i" F9 x. y OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
4 k* \  Z1 ?( q9 y5 u根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
1 f- m8 K7 r- M; k, v; f( v所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
; y) [  r# K/ A- }& T1 }3 \根据(4)式知K、F共点,所以
0 i+ z- [; C* x4 K+ C# X; L        EG=GH=HF,         (5)
. _5 o9 w/ |' X& G根据定理2,(5)式,有
/ Z% z. F4 X% o8 T6 C3 ^: s# _        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
, _0 x, t$ |) v. d" Y, L" p由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
/ j! f+ l5 q3 Z8 s            \pi = l /2R
5 R9 c3 O8 D* f; _! Z若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
9 ]3 P+ s  ]. P7 E) q4 b' e

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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5 O/ G2 c* |+ @4 [0 f
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
9 @' C/ k$ b" j

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

永远支持中国数学建模