由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
( u  Q% E2 o: C' d8 [

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
& e" ~- v8 n# ^; T3 Y- s# Y8 D                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
# k( @" s! M  p! I1 w6 p' ]4 b                      2011年2月20日
7 F' [8 A9 L- O0 ~) K     一)  问题的提出
$ L# G0 s6 L6 D+ o$ X4 F* t# v- L     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
* K. `! k! Z% c% z没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
7 b2 }" Q7 [7 p0 \! P" T5 k8 r% d   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
! D- n  X  Z  n& V+ o2 p" S. ]   定理3 若
            
7 w" p3 e- c8 F' \- j则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
    证明  
在∠AOB一边AO上,取
* J& |1 f! d+ J4 M  m" E: F            
; R, M9 [+ _$ q7 b0 e7 D; G0 p" r以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
$ e6 Z$ ~  n) m根据定理1,有
/ W8 G8 }+ [- H                    (2)
在AO上取点E,使
1 K. L* F8 i% s; A            (3)
8 }$ o% ]0 k, k3 @以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
# @; V9 }, I8 c             (4)
& `5 Q7 `9 |; ^# k8 q  J; e( E所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
( K) B+ d' b# f& E        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
, j% u* R; t# ~; M6 O7 l' l/ X、F共点,所以
6 a3 P4 ]2 j1 n4 H. Z+ z! [1 j        EG=GH=HF,         (5)
& o1 U% _" d2 ?- m, T) H! \根据定理2,(5)式,有
        .
+ x. x  o% H  I5 q3 S( m. @' q/ @+ M. ?即
       .       (6)
0 U  O' ^3 `. p5 A) \; j+ J" X) Z由(6)式知(1)式正确.证毕.
" ]' \1 g3 c+ h$ K! @* z    本文的理论基础是
+ }' W# t/ q3 @  o; ~; h! J         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
( X* ]; c0 [  `- W) Q2 L     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
" p' U* F7 {6 G+ A' Z. S: E4 s                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
- X8 E" Q( H2 R+ p6 a) @    二)  预备定理
* l. n* X; M  R* r" t" x    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
0 m0 ^4 j2 j% |) U! _% F                 l=NR\pi /180 .
                 
8 v. M' Q& x" ]) X4 |   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
) [) O7 i- [5 ?* ?            
则用直尺和圆规可得
. r; a* ~% I" }       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
# @# b2 T, w1 C9 P' Y* w, m3 [    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
1 D, W# l  a/ [1 b( h; D            
' j0 ^3 k' k& n" n  c! v以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
# f4 W. h0 z" d    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
* H7 s- q* C% R OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
5 C$ l0 d7 s7 f6 c5 O9 d( s根据定理1,(2)式,(3)式有
4 i! h* ?$ z& E/ P, V7 r; w9 s          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
! V# ?& R# ~8 r, Z        EG=GH=HF,         (5)
' n  w( R8 i" ]* Y7 \; ?根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
$ m* E9 f! i  U7 X. [* x: w$ V

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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& r: Y& v' i$ t# e5 X
9 C; H( J) C" {- S% @4 |没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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