尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
1 _; {! K7 p! j* z1 V                             苏小光
                          2011年2月22日
7 G- U7 z2 X3 ?1 @2 L5 q     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
* g# V  V+ @6 ^) u4 W# E5 A0 }    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
! ~1 c* ~, c+ H, G$ Z+ k            ∠BAG=1/3 ∠BAC
; u7 o. K& I$ m# w: G9 Q1 |* T% v; l    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
! R3 |  I0 P/ g' ~根据公式1 有
8 I7 X6 a0 b5 ^) M  B# f# \( J           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
: I6 H; T5 T5 q& V+ T+ N* ]           2r\pi=(NAB\pi )/180
0 K% \8 P1 k! Y0 J3 U3 x   所以圆半径
' d2 Q% ~( r* T8 @9 d4 H, C          r=NAB/360,
3 t6 V) V, o! n   在AB的延长线上取点D,使
) f) d2 ?1 @0 `* h; p         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
% ]1 d# A0 Z5 Q% N         r=AB/6,
! q# [' T% {1 i1 ^    在AB的延长线上取点D,使
, K1 z2 C; s0 U7 ]1 V        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
% z: |4 D- T: @. r       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
6 @& Z" Y9 x  P' C; n作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
; O3 A, |9 r7 P3 U/ p               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
$ S& H* N  r% L6 _+ W: l4 u  `尺规三等分任意角.
2 ~( q, A6 E, Z! k( }

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
) I  |: o3 m- Q; X" v  t+ j我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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