尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
1 y! s2 b( V4 H! i8 X                             苏小光
9 F$ W: C+ {8 g5 G4 x: ?! H                          2011年2月22日
/ q8 h1 }  c$ l2 _) u8 r: x     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
8 G5 \, e; g. ]( r5 {# }    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
# y3 r* {+ u: t1 b           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
" L) j$ Z" H1 Y0 I3 ]" C           l_{2}=2r\pi .
7 r) v; M0 K. v* M0 m* i    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
8 S+ w7 T8 d" E2 I0 \" R  E0 K           2r\pi=(NAB\pi )/180
$ B. v# j/ y* ]3 e+ ^   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
3 x$ I" W' H' m& F/ n         r=BD,
3 |# z1 p1 s, u* W- K/ ~0 G, g   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
( m( ?" O, D  [* D           ∠BAG=1/3 ∠BAC
5 e& |  ?% r. O8 u: v. Q证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
6 v# K3 h  V( f: `解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
" S" T: Y9 Z1 l  N* n8 X& Y          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
$ G$ L1 g7 b+ F         r=AB/6,
9 z( q6 J. c6 |& }! z# s2 c    在AB的延长线上取点D,使
" f+ X4 q% L; j# V4 w4 b        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
$ _+ b5 ]& ]7 ?$ N       ∠BAG=20(度).
# O( g, L/ t* l. z& @2 t4 G   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
( \6 o- k7 l0 l0 o# G尺规三等分任意角.
$ Q# H* H% ]7 v, O  X4 {7 I: ^( O8 n

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
* p; A& b% s& [, S& N: W4 R0 m另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
2 I* }! n  B$ {' R6 Z+ h+ p我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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