尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
* ]$ Q( L: Z+ }- Q) A5 R9 ]  C9 F                          2011年2月22日
& u* ?6 [4 e9 l6 {     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
8 h  ~. J* Q1 U7 d0 w    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
$ t0 q; q. M9 u! l           l_{1}=(NR\pi )/180 .
8 v  R& k, H1 E7 b1 @    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
0 m8 w& h2 b! C" }2 ]8 \           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
% u8 C  n6 R. e% _# N' U! J( W9 t            ∠BAG=1/3 ∠BAC
6 Q& N0 e; G/ a$ w2 y3 ~7 l1 s' W    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
6 f$ t1 Q% h' T% x: `/ c           l_{1}=(NAB\pi )/180
" T5 c" q) X) g4 q   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
0 e6 G% T* Z& _8 a' r# p           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
) _8 \4 T# U7 _, ?   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
; o4 S+ a! V1 n           ∠BAG=1/3 ∠BAC
' N6 T  F/ S0 x% J证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
: ~4 d/ {& f7 p    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
; p$ s* E* ]  c- A          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
2 `" u  y* i6 |& P* }         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
- V' @! N. B7 ]7 {$ [        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
5 W5 f' J& V, D3 q1 c6 `+ {' ^' }       ∠BAG=20(度).
: O" \/ _' Q2 t! |: v1 R   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
5 m4 }( Y1 v8 [% C; w2 u             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
2 d$ z9 W! T: y' H* G另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
8 V7 a' L( g. I# j9 e        由一楼有
& u  n; G- x" V% {0 p              r／AB=N／360
. p) F! x5 R$ V2 r        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
% }( d  G  l" i- C" Q3 x; `( H        △ACE∽△ABD，
       所以
       EC／AC＝BD／AB，
$ s* L* r( F# K  T7 ~7 V9 F     即
       BD＝(a／b)AB.
3 y! L6 F& {$ I  B# C# _8 [) u     令
       BD=r
. g  w" O4 ^& n7 t     即为所取.
# D1 z3 z% X) q* c1 ]