求证一个几何题目

whlysu

- |$ C/ ?/ g- M9 ?+ J& T
7 F) z' S- x1 L8 L* [已知：如图
* {+ R% T# R% \- }) f5 \      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
7 c0 C. L; e9 h+ c# T      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
      3）⊙N是过点F、G、I的圆
      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
求证：HD=⊙M半径

; d1 L: @; W4 X
5 O& \( J7 J, l1 [% x% y1 Z' Y$ g

whlysu

有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
9 D" C6 a+ v" A7 a9 l, G自己顶

zhenglingming

zhenglingming

四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

whlysu

! Q4 _  M1 h( X

zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

; @  F& J- g. R; G" k& C( s
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
9 d8 b6 P3 O+ }! w( ^" l4 t) \+ h1 C现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
9 S  Q+ C# j5 g6 V- [; \6 G! {求证明过程！！！

whlysu

怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！

yinbaoli

希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
& L+ N$ N5 Y7 o- X9 ~  O在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
, s) G. j% u3 H( p. A, }3 F以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
5 d4 X9 U9 Y0 A设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
9 V$ [" ~# _: a4 l: V) ?, AD坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
6 p7 e% y- C! a2 b1 M根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
. K# W: N, `" J; L1 s由F、G、I三点确定的圆的方程为
* a9 E' I; ^5 E2 F# G3 x- E|x^2+y^2                x                              y                          1       |
|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
. w. f4 `; e6 W! w) R|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
  p. l0 k4 F: R& C" r
把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
; F) O+ U* N& V; P+ r希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
9 `/ ~7 c* A  f) l# n在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...

, y# F) P4 I! J4 p你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
; D5 }: w  D6 X1 f不过给了我点思路。。。。
$ x4 R+ m& T0 }我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解

yinbaoli

whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
" A( x1 e3 h  K6 B' s/ d你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
. V, f9 s) n+ f# k7 G不过给了我点思路。。。。
5 I' K' S) N# V1 m0 h2 h我试试以A点建立极坐 ...

嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

  Q/ l5 K$ S; }5 ~2 v7 y, u如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。