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求证一个几何题目

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whlysu        

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    发表于 2011-11-24 17:04 |只看该作者 |倒序浏览
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    本帖最后由 whlysu 于 2011-11-24 17:08 编辑 & f: B2 j+ v1 P* y% ?
    4 [8 @* F! o' Q. ]
    已知：如图
    + D& I1 J' O& f1 F( k      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点  b2 G  ]! U) l. K- l* y
          2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径' T; y, m  L5 d0 A
          3）⊙N是过点F、G、I的圆
    - C- R" ~0 T+ u$ {      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点2 p/ U3 F) T1 |6 E2 T5 Y: v! f$ O
    求证：HD=⊙M半径2 B0 x3 C! O8 E. I- o6 V/ u
    求证.JPG 6 @& u7 Z( e( |( h7 C3 y

    - n) m/ r2 |# _8 ?" Z9 N& I# @

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    yinbaoli 查看楼层

    希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法） 在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆 以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0）， 设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3
    zan
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    发表于 2011-11-25 09:11 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    有木有高手啊？证明不相等也行啊！！7 }4 b) G3 X7 n+ ^
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    发表于 2011-11-26 11:59 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
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    [LV.1]初来乍到
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    发表于 2011-11-26 12:21 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
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    [LV.4]偶尔看看III

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    发表于 2011-11-26 17:40 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    本帖最后由 whlysu 于 2011-11-26 17:53 编辑 ! u1 S/ f& }  j0 p! O
    zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21 & f9 H. Y; e" O4 A- j7 j) Y+ W
    四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
    0 L+ ~7 t* S" w3 ^/ ^

    - R$ r: u$ g7 X& H7 M2 N* i如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径/ @+ p! g/ V5 ^1 |' {8 `
    现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
    3 w; I: P1 t# o/ @7 C求证明过程！！！
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    发表于 2011-11-29 10:13 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！
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    发表于 2011-11-30 13:38 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
    3 Y+ H( e6 N) d( z$ ]$ x' C1 B在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
    $ x, [5 t% Z/ D% H以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
    7 Q( p6 C9 Q, @1 L1 M7 G设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
    0 q6 R) l$ ~) c* K. K% p8 p& pD坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3! i4 f- k% l* M6 m4 m
    根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
    % _) L& f; _+ z7 d（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）% m+ P; g; {0 |5 L  L
    同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
    2 i8 T* ~% W# d" S& G9 _由F、G、I三点确定的圆的方程为1 b: m) G3 L/ {, k, P( s  a: N
    |x^2+y^2                x                              y                          1       |7 \% f  i4 c. l* A$ o3 z- N
    |2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |3 _' v9 v, ~! j5 W
    |2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
    / z; k) L1 U6 j/ l/ U/ s|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |+ K- y+ o6 \1 n6 u
    7 Z% x* ~; ~% j  {
    把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
    $ r/ d, L" W% J7 ^证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。
    已有 1 人评分体力 收起 理由
    大笨象 + 6 好样的。

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    yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38 . [) ^  N# ^/ U0 z
    希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
    ( T8 p# G* ~* X; M/ o3 u2 [+ z在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...
    4 l1 r: q: p% S: L3 c( b; N( ^2 {
    你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
    ! _1 J; T' M' S; T) N7 F" H不过给了我点思路。。。。4 g1 Y$ N6 h5 Q6 ^
    我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解
    adfdfjeoid
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    发表于 2011-11-30 22:39 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    whlysu 发表于 2011-11-30 16:25 9 S- ?8 a( E# n5 l' T
    你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！) a6 @) x, i  f3 [( j' k6 n
    不过给了我点思路。。。。$ y. G+ s8 o3 W; I$ j9 k- N( ?; d
    我试试以A点建立极坐 ...
    : f2 l2 L: j# E7 w
    嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧
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    发表于 2011-12-1 08:42 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta
    yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39 ! d4 J' D* C: w# t
    嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...
    / b" R) x& z+ M6 q0 n8 [
    如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
    adfdfjeoid
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