求证一个几何题目

whlysu

3 V* H, z4 k' v. W' z
已知：如图
' k3 t. s3 l( F  u: R# e& @1 I      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
. {$ M9 Y$ t4 E, b7 n+ ~      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
; f& ~) z) J( |7 g      3）⊙N是过点F、G、I的圆
3 S6 l/ i& e0 O$ Z* l      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
求证：HD=⊙M半径

& c; j6 U% A( t2 t
2 z. w7 o* v- J. t6 y

whlysu

有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
自己顶

zhenglingming

zhenglingming

四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

whlysu

zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

; Y3 q' U5 c0 K0 Z7 C* w
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
+ U5 [: R: h4 X求证明过程！！！

whlysu

怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！

yinbaoli

希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
& E* ]) K: q2 C1 A5 L/ i7 Q5 h/ z. l在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
; Z, Y1 j: A# `9 [" F& OD坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
- O1 A& J1 g5 i7 @- y; x（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
+ ]- \1 V& y* V) d1 T' d; V同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
# B' ^8 v3 k0 b- n9 b6 F- K由F、G、I三点确定的圆的方程为
1 h) N2 v  @  l( B% ^' d- u8 ?|x^2+y^2                x                              y                          1       |
|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
/ ], {" D& j( ^! }0 }5 a- _|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
3 G* u) i- L8 `' j1 A% c|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
6 X9 h# S0 G: M! G8 s
: v0 F! ~& r, ~/ }& \! Y把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
$ P+ B( }- \6 `/ G+ W希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
$ H5 s- P/ k& Z( G在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...

你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
  z) H* L0 p4 W; k: p  D不过给了我点思路。。。。
" X+ d6 D! l! f. R6 l我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解

yinbaoli

whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
4 l% h4 V, }$ u9 K  F% F7 H' m( }! F不过给了我点思路。。。。
我试试以A点建立极坐 ...

嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
6 K: A& ?7 [: B嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。