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实二次域(5/50)例2

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lilianjie        

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    发表于 2012-1-4 14:05 |只看该作者 |倒序浏览
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    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-4 17:59 编辑   ?* S" }- G( g. e& P7 T* m

    . \3 D. u; w- l- L( bQ5:=QuadraticField(5) ;
    4 ~  [2 N1 i) F; \; YQ5;
    9 c! f$ w! ~, ?- B# Q7 vQ<w> :=PolynomialRing(Q5);Q;
    7 b  M: n/ @9 Y! E. z
    # R5 N* i0 G( L3 @2 X( rEquationOrder(Q5);# t2 Y" c* n( `) x
    M:=MaximalOrder(Q5) ;
    . U* C5 y- Z) G# ]* [' mM;
    * c8 t$ d& ^, qNumberField(M);5 U/ K) q: D$ e1 v1 C1 I
    S1:=sub< M | 1 >;S2:=sub< M | 2 >;S3:=sub< M | 3 >;S4:=sub< M | 4 >;S5:=sub< M | 5 >;S25:=sub< M | 25 >;S625888888:=sub< M | 625888888 >;S625888888;
    ( Q  @% p2 t7 V( ^7 Z# YIsQuadratic(Q5);IsQuadratic(S1);IsQuadratic(S4);IsQuadratic(S25);IsQuadratic(S625888888);
    # \; U  b0 Y, m) I% d9 j9 |Factorization(w^2-3);" \( n, _. Z/ R6 v) v* b
    Discriminant(Q5) ;
    " y: [+ ?) h+ E* \% eFundamentalUnit(Q5) ;  V& F8 ]- a& l5 I  w: V" `
    FundamentalUnit(M);) c2 X3 Q4 C7 y6 [: Y3 `$ W
    Conductor(Q5) ;
    " d. s) t, _+ q: }# ^" T* p6 WName(Q5, 1);: Y1 Z' C+ K/ y. _# }! [! j5 e0 ?
    Name(M, 1);
    ; t3 d- f+ ?( B( [, I; R" SConductor(M);
    ! Z4 ]0 L% N  L9 Y) m2 bClassGroup(Q5) ;
    " g7 r$ X$ \7 j3 l- DClassGroup(M);
    7 I+ k8 I* Z1 j7 E/ l' RClassNumber(Q5) ;) u4 o4 U5 E0 X# E
    ClassNumber(M) ;3 p6 L/ U& n3 G& C7 p

    # b% `4 }4 p9 r1 j6 F; P. SPicardGroup(M) ;
    7 b4 _0 C6 z5 i2 L$ w: u/ v3 LPicardNumber(M) ;' ?" P& S' [& F, L, V) \5 g
    ; ?1 p+ O+ |+ n8 z: c

    # B- P2 X0 A( m4 G0 `, PQuadraticClassGroupTwoPart(Q5);' M# [% ~2 r# G3 l0 F* J
    QuadraticClassGroupTwoPart(M);
    / U/ [2 E, z! v# z, J, Z$ h% u4 G, \' R5 T: ^6 o6 m/ a
    4 S2 N' S: I- x" \* S& ^
    NormEquation(Q5, 5) ;
    8 T- a) E2 E# V% UNormEquation(M, 5) ;! G: }. {5 x& X: N

    / A% ?0 a, K$ R4 M# Q! p% E; R
    / k& z* p/ p  j6 QQuadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 5 over the Rational Field6 S! O) g& Q9 x1 J
    Univariate Polynomial Ring in w over Q57 \$ Z4 j$ n* s& J% K. D, m
    Equation Order of conductor 2 in Q5
    6 k( W! y' y5 x, d/ _& _Maximal Order of Q5+ V) C; U  W% P  _: a
    Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 5 over the Rational Field
    7 \# t5 h- [9 y8 h+ ?: I" r% }) h, G. }Order of conductor 625888888 in Q5
    ; I$ v& y/ r( g7 N4 P0 M% n6 htrue Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 5 over the Rational Field  k% |& ~$ t4 A1 @& t% H
    true Maximal Order of Q5" Q& L- _" G8 @, E
    true Order of conductor 16 in Q5
    - Q1 E2 q8 R& s! ^3 E9 U5 Rtrue Order of conductor 625 in Q50 [% F, G. u7 T/ d2 \% {8 V" y
    true Order of conductor 391736900121876544 in Q5: r2 ]+ \  ?% U/ Y' a2 k/ x
    [
    * o( t( p& }7 q% B    <w^2 - 3, 1>$ ~, i, {6 l+ O7 W; K! i% i& r& Z6 i
    ]
    ' i4 ^/ K) v8 Z6 G58 y6 J% f: H; T7 r) r2 x( _+ w; s
    1/2*(-Q5.1 + 1)
    + e, c5 \; K6 ^/ ]* u-$.2 + 1( l$ a2 y1 E# H' C" J
    5
    6 p2 W' u  P! E. I8 ~* N; |: fQ5.1$ h) G" w9 A; G9 E' E2 `
    $.2
    8 Y# d( ?4 ~1 t3 `4 V6 V8 m7 e2 S1
    ' |0 [  y1 A* \2 y) hAbelian Group of order 1$ [. C1 X- c- \( R+ x
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of M
    4 s: i9 J" I; R2 tAbelian Group of order 1* y# u. q1 m& f
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of M: M9 J# P: s# |2 ^) ]* |
    1
    $ M+ k* O4 [+ n. p7 D16 \( l, p, P" j/ S& I7 M
    Abelian Group of order 1
      Y; W( I; p. H5 d# mMapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of M given by a rule [no0 t( X4 V, Q& `
    inverse]8 ^: D2 |1 M; p$ r; S1 Y
    16 D' Y; v+ J9 ?, y  Q- `, W
    Abelian Group of order 1" C/ R) q  o; j, Z( p6 Z
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Binary quadratic forms of discriminant
    3 y- j. @8 z" Z6 v5 given by a rule [no inverse]
    , m0 @4 b9 k. `* |4 O* g; |Abelian Group of order 1# C" r2 \5 m/ F
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Binary quadratic forms of discriminant# g1 V$ d6 ~0 N0 M# C
    5 given by a rule [no inverse]+ H( z# d6 j  j/ O
    true [ 1/2*(Q5.1 + 5) ]
    5 E' ?- L0 L% w5 ^) Utrue [ -2*$.2 + 1 ]
    + X% K7 w; ~6 Q. X' b. u. B% e" O7 C( L! L% ?8 |
    . L( Y( ?3 y' q' W8 O, |' \
    % K9 @( z" ~4 S) a. I$ }
    & t# |* J1 `8 b, ~( H: o
    0 N8 p2 ?& c( N- n% `7 Z( E

    . w0 G" S# Y+ q( b% A# ]& @1 p5 @+ k3 j6 v: f; g
    5 C  M6 Z4 n  e

    / r- @2 I4 w& d+ R$ l/ y$ a8 T  s% P3 }& t
    ) Z$ C+ J/ Q8 I. R6 j$ ]
    ==============' s( Q, G( ?$ Z& d
      G3 o) _# T& w+ s6 a- }
    Q5:=QuadraticField(50) ;# r+ ^' P3 D+ _" D6 M
    Q5;
    ( q! ]$ @) A6 A9 j3 ]2 A$ n4 ~: I, I3 ?6 G
    Q<w> :=PolynomialRing(Q5);Q;
    8 _: E5 e8 G; c6 zEquationOrder(Q5);. F# z# \3 L- p! r
    M:=MaximalOrder(Q5) ;
    ( c' E/ _5 n8 U0 c: O5 m- Q: xM;; p' ?  H5 i8 I# J
    NumberField(M);! L% z' E  G, ?+ T# D+ f% M
    S1:=sub< M | 1 >;S2:=sub< M | 2 >;S3:=sub< M | 3 >;S4:=sub< M | 4 >;S5:=sub< M | 5 >;S25:=sub< M | 25 >;S625888888:=sub< M | 625888888 >;S625888888;
    . A& b& F- o) M. b, R1 Z' QIsQuadratic(Q5);
    ) f* U9 ?7 g5 a, n9 m" ~9 aIsQuadratic(S1);2 V- N( f6 c0 u! _
    IsQuadratic(S4);/ ?0 {' p% ]( R7 ?
    IsQuadratic(S25);; i% }. t: h8 n/ v. Z( |
    IsQuadratic(S625888888);
    1 F, Y# l6 p! L; m: y( b6 mFactorization(w^2-50);  4 h4 s$ @* z' n/ h
    Discriminant(Q5) ;* Y+ v$ L8 h. e7 Z' @' q5 w
    FundamentalUnit(Q5) ;
    0 g; t% O9 t1 O9 V# i% ZFundamentalUnit(M);, T4 b2 q7 P) l- L% d% j$ n  J
    Conductor(Q5) ;$ |4 @* h* p9 A5 j4 O

    $ t8 N0 e4 c# ]* {* HName(M, 50);+ R. K: a+ Q+ H: |1 q& u- z
    Conductor(M);% @8 ]" D* J9 Y
    ClassGroup(Q5) ; : M! g1 O, ]6 ^( ^) K" M
    ClassGroup(M);# J; k; q/ M% {* a
    ClassNumber(Q5) ;
      D7 x; s9 W: e: CClassNumber(M) ;
    , R, h8 s# ]; k  ]6 o8 T8 kPicardGroup(M) ;
    : w" J8 }; o& a3 A: h$ D- ePicardNumber(M) ;
    7 Q: p- }' S$ \* J+ P. Y  ]" f- Y5 v2 `# \8 q7 @
    QuadraticClassGroupTwoPart(Q5);9 S' N/ X) G# A' f* G' }
    QuadraticClassGroupTwoPart(M);
    / \; {2 @  V$ W8 eNormEquation(Q5, 50) ;) }0 [1 R! g3 a
    NormEquation(M, 50) ;9 S9 v! M" y) e. c. v
    ) L5 }* @3 t( ~% q
    Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 2 over the Rational Field' w6 W9 \' u$ Z  f4 ?+ S
    Univariate Polynomial Ring in w over Q5
    4 `+ V& f! K+ f0 {5 _Equation Order of conductor 1 in Q57 ]2 ?& ^/ p( ^' w4 N
    Maximal Equation Order of Q5
    0 O- O0 k7 i2 y, d7 G0 vQuadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 2 over the Rational Field
    ! i! r4 w6 ~* u" i" t2 C& d. H0 VOrder of conductor 625888888 in Q54 r" Y& P0 y; O7 b
    true Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 2 over the Rational Field
    2 h/ B8 F: }# `1 W6 H: D, {true Maximal Equation Order of Q5: Q/ A/ x' _- l0 B; H
    true Order of conductor 1 in Q56 b2 H' a% k. _! V9 L
    true Order of conductor 1 in Q5$ u) g1 R) v6 o. q% J: o( w
    true Order of conductor 1 in Q5
    ) @. n& j7 T2 K[9 X, W( M0 o2 V! r$ h7 Q
        <w - 5*Q5.1, 1>,
    3 r: d2 u) t+ g, v5 Z: C    <w + 5*Q5.1, 1>( J8 d. e3 Y5 e7 b# Y7 d6 m3 @
    ]
    : ?. r; v  _9 p& @0 `: X8 Q86 D# x8 _" e# w4 }
    Q5.1 + 1
    & t8 E5 Y" U3 y5 c- j$.2 + 16 v) s9 A9 p2 Y3 Q2 j; e+ b
    8
    ; Y0 S' h- S  M. e; J2 k9 r7 e, S2 M7 g7 P# B; g% U
    >> Name(M, 50);
    , u  S6 G" q: f; ]- ~       ^
    ! K& P1 r4 g, NRuntime error in 'Name': Argument 2 (50) should be in the range [1 .. 1]
    , D. l  l- `9 y2 V; V9 ^3 J1 H6 [4 U( n
    1
    , z( c9 W3 g  ~- u4 e- XAbelian Group of order 1
    , y) Y( O( K$ s  `8 YMapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of M
    $ j3 F! v# u+ R) e2 jAbelian Group of order 1
    4 [" P6 ]/ I6 w. I# TMapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of M4 D9 t( j" v( {8 D$ n
    1
    , w5 V* O! p$ l5 e+ H1 f1! W# Y; M2 ?: m# J) p
    Abelian Group of order 18 t7 {# P5 n$ m1 n9 Q8 U
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of M given by a rule [no6 ^9 t* t; Z' p, {; i
    inverse]; Y  B6 S, n, ]$ N) Q$ @6 @
    1
    ; b$ W1 `  m3 j1 |  H+ hAbelian Group of order 1* Q* M  \2 h8 @" U
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Binary quadratic forms of discriminant: F3 v! l, h4 r9 o( M
    8 given by a rule [no inverse]
    / F4 w. e' {1 A1 L7 {( nAbelian Group of order 1; s; w7 |; E4 ~3 F
    Mapping from: Abelian Group of order 1 to Binary quadratic forms of discriminant
    1 m$ ]% G# r" n6 k8 given by a rule [no inverse]
    5 Q! r2 p2 z2 |' K# P$ Ptrue [ 5*Q5.1 + 10 ]
    7 P! R& X0 `. j* N, h: c- |( ?2 rtrue [ -5*$.2 ]
    zan
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    [LV.4]偶尔看看III

    二次域上的分歧理论

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    [LV.4]偶尔看看III

    本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-5 12:42 编辑
    + `; n! o9 b' F2 o3 D9 F0 R( ]7 L( q+ G4 Q9 P8 L3 k$ _
    基本单位计算fundamentalunit :
    " h3 {" |1 }: p2 Z5 mod4 =1                                              50 mod 4=2
    % p1 [4 c  B% u& o% L
    3 B8 ?# O4 H! ^" b; c  H x^2 - 5y^2 = -1.                                 x^2 - 50y^2 = 1.
    , b) J' q6 ^4 G3 ?2 e x^2 - 5y^2 = 1.                                  x^2 - 50y^2 = -1.
    ' j; S1 R2 s0 u3 ~9 s3 h) F 1 A9 ^* h! c/ b( w0 {! B( p
    # A8 F; q( E9 e5 P
    最小整解(±2,±1)                              最小整解(±7,±1)0 f1 P9 d' S: r& F6 Z
                                                                 ±7 MOD2=14 X+ l1 l: C* D9 e" K/ x( R9 I4 D
    + Y# O" i) l8 Q; S
    两个基本单位:

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    [LV.3]偶尔看看II

    lilianjie 发表于 2012-1-4 18:31
      A- K6 U; @: p8 A% s* H基本单位fundamentalunit :4 x! y3 w7 ]0 Y. d! o$ a( y
    5 mod4 =1                              50 mod 4=2

    % o% C/ }8 m1 q8 g# G5 l基本单位fundamentalunit

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    本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-4 19:16 编辑 / b# D  Y6 X' g# z8 |1 p  w( I
    $ l- M5 ~+ n+ A$ ]. c7 p/ v
    判别式计算Discriminant& {5 ]! X1 j! l) t0 Z% o+ N2 C- U

    4 W& `1 h, j! a$ X& s0 h5MOD 4=1
    ) P' t8 X( `5 F) h# Z
    / f5 l( k# ?# j/ q3 R(1+1)/2=1          (1-1)/2=0, D2 `: B( O  O* B
    4 m1 m) T) T$ r9 t
    D=57 |* [! Z8 x  I  l' U% q6 n

    : h! @. |; |" ~$ h+ b  X, \& v' X2 \0 R) g
    50MOD 4=2; I9 m- N0 `4 o; b/ S
    D=2*4=8

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    lilianjie 发表于 2012-1-9 20:44 & Q7 C% r8 w) s' X0 l/ w  s7 q# F

      M5 f8 m- l; _$ h% J分圆多项式总是原多项式因子:
    : n. Z3 l0 b: J! ~: D4 j, }C:=CyclotomicField(5);C;# I$ R; i8 \$ {: O: r$ U* |) r- a$ k
    CyclotomicPolynomial(5);
    ; o( o4 z) X! d0 N4 y4 T" w! t* D
    : h5 H7 h, t: h0 Q
    分圆域:4 @) U8 @5 W7 ?  F) e
    分圆域:123% b( x& x: `. V7 B4 F. K& [

    , ?! q4 _, V; QR.<x> = Q[]% N) U* A% {) ^. B
    F8 = factor(x^8 - 1): ~7 o+ }9 ^9 B3 P  G
    F8
    # _$ ]$ R$ [  Q3 L+ Y7 b4 h4 S" [3 B) q* X( u' [4 o5 p. D
    (x - 1) * (x + 1) * (x^2 + 1) * (x^4 + 1)(x - 1) * (x + 1) * (x^2 + 1) * (x^4 + 1) 7 k5 E8 p9 `8 T( j8 R1 b

    # B( D% u/ _* }2 @' s2 Z. N1 RQ<x> := QuadraticField(8);Q;& |& ]# S0 V. I2 n5 M' h$ |
    C:=CyclotomicField(8);C;
    ! [( E/ d  C) b+ qFF:=CyclotomicPolynomial(8);FF;
    ! ?' m3 h9 V- Y( H7 ^$ J- _: ], R- g% q8 y
    F := QuadraticField(8);
    $ s. |* K% L" d* [5 sF;: ?! v- M9 I  H0 \& Z
    D:=Factorization(FF) ;D;
    & Y8 b& z: w( t/ XQuadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 2 over the Rational Field9 Y' c1 U. ~' u8 F: F/ Y6 y; X
    Cyclotomic Field of order 8 and degree 4- e9 v5 ~0 P' n2 F
    $.1^4 + 1
    . V8 E8 G& ]; k; C' {1 {: ^Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 2 over the Rational Field
    5 _6 u& E; v7 N" @7 q% U: s4 s[
    : i2 Z4 ?9 T5 t8 N' @  T! ]& ^4 o    <$.1^4 + 1, 1>- Z0 K+ r' q3 z8 u0 C
    ]& M0 G2 @! q! I! J8 k& w
    : k, u7 s6 E7 H9 a  u7 W
    R.<x> = QQ[]
    ' L3 g- \$ S: H' \F6 = factor(x^6 - 1)7 s/ s% z" H8 D* Q$ A1 a* a/ T
    F6
    * X( m0 S4 _& a! J. p6 U( j8 i0 h, ]. s; M3 R8 w' F6 ]$ f: |
    (x - 1) * (x + 1) * (x^2 - x + 1) * (x^2 + x + 1)(x - 1) * (x + 1) * (x^2 - x + 1) * (x^2 + x + 1) 5 b" U  z' J- Q. k
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    F;
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    Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 6 over the Rational Field
    ; `4 E, Y: R0 E/ N: D' {Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
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    8 V1 L  B- f6 y+ BQuadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 6 over the Rational Field
    " {# q4 V1 w  w4 t+ i[
    ) N5 i8 i, U- V2 s& t    <$.1^2 - $.1 + 1, 1>' \; N, B% B. m% C0 o  s
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    (x - 1) * (x + 1) * (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) * (x^4 + x^3 + x^2 + x +* X4 \' A$ @1 I; y! [; Z
    1)(x - 1) * (x + 1) * (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) * (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)& I3 v9 z# T: J2 R& @) T* w- ]( o

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    C:=CyclotomicField(10);C;
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    F := QuadraticField(10);
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    D:=Factorization(FF) ;D;. S& _) ~) X: w! Y, A- E" R
    Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 10 over the Rational Field
    $ O; K9 l1 F0 [. A$ e0 eCyclotomic Field of order 10 and degree 40 p1 L  u7 O# e$ V$ ]# L
    $.1^4 - $.1^3 + $.1^2 - $.1 + 1
    1 ]$ G  f1 \4 Z6 e3 E3 k- BQuadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 10 over the Rational Field6 t8 }" p1 a: Y+ A/ H2 A$ ~
    [
    ' ?9 P, I( U. x# ?    <$.1^4 - $.1^3 + $.1^2 - $.1 + 1, 1>
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