二次剩余值的关联计算(上)

songls

        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
9 T2 ?0 D% `. b3 n( @   对于完全平方公式：
* j* `9 t. h5 K- g& g0 ^( M   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
  P# ], V2 F) S/ I. r, Y7 F) J. O+ V$ l
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
8 v- ~  g1 v3 |; p+ \    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
0 q( ]" c# i$ j4 J. Z* l! Y2 Y    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
; }* m9 G+ u6 F0 X. V. U  p( i1 b
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
) `. \: L( d) n; |, r% ^
7 r- ~1 }  a" N: h3 k; x  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
# [6 @/ b! E) F  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
/ j* s) Q3 m9 x   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
( [: V* _9 |/ _7 z
  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
) m  j% ^- `8 ~5 U0 x) l5 h/ ~    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
( y: E& Q1 a8 [9 t, b, G: w, k   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
# A: Q) [* I: _    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
. Q0 @3 w* a! W% w, l      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

- X7 R4 m( B  F) l) P8 R9 m 二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
. P. b( D) x8 h; @# e. e      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
% O1 A1 Q4 R, Z$ _% ]  _, y7 M5 m     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
/ d. N) }  D+ Z8 \- B' p2 ~      a^2 ≡ b (mod n)  =>
4 I# b- R# D9 a# F0 w2 ]; M& }' ~     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
, v! R  V$ b, `! j$ h; U     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
6 r7 G1 M- Z% k( v     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
( T5 u6 O- f( \1 x9 J5 X       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
/ ]0 U7 Y. ?- l% D) e$ [, m     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
, P" c. N2 _- b  h: C
   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
# {9 X/ x; ^! s/ G* \) Q   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
3 G' k* Z; s5 n4 S3 ]2 M! d6 z% t    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
. l9 c$ B2 t, A    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
7 b% @. S: I/ e, B  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
' s  X$ [$ L* c% Y& q   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

  ~$ Z+ U* A' V) K* U% \- Q   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
- @& m/ o' o: q/ F9 m6 U$ {- G    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
6 f; @# a  K: y* A    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

2 C0 h) r1 l6 U9 y6 ]' ?5 t    按m/j , (3-1)式变成:
/ i% u3 W& ?  F! ~) [! T- R4 _& B    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
& x, @; r/ s6 }# g. Y
   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
8 f% S/ P6 h: D- m; O   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
5 r) ]5 Q2 |! h0 {+ n2 j0 Z   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
* E. F  c3 T. `8 q3 `, X   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
3 \" e5 Y& e- l1 h    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
2 H: j1 A0 o1 g) m" |: ~' H" n; e
$ j3 l7 T+ B% ~" z