一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
- D3 d  V! @- P设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
. o. w0 [- R+ c8 C% E; R  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
6 V, ?# F6 h8 A$ f+ b   .
  .
/ ?. j7 K; r7 ^% n- _2 o; e  qm-1*rm≡qm (mod n)
' K8 X- {( d$ q9 l, S* E1 m 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
, Y" K. X$ g- V4 z1 ]   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
+ z! L; d; _% Y3 g+ d     28*11≡9 （mod 299）
' u. B/ V2 X6 |% W, v     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
3 Z# X8 n. a( m) w# C  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
; i' u! B4 n) E" P: O; t: h8 I  1    输入a,n  
: k. `* @; {# ]3 Q# [- v  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
# s- j" J6 h! `; V  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
5 |# A9 q# {" j: b! e  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
2 l, _$ ^$ T6 d1 R$ U1 C" G  8  a=q
  9  goto 3