自适应步长的龙格库塔算法

2744557306

这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
3 N& L: g0 q" z  {* c
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
1 s7 A4 ^/ M, U+ k2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
5 l. j) u0 {  x4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

8 e* s( Z1 C: p1 ~这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   ( E\" [4 G( }1 s
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   & m* p7 K5 H, g( U2 _
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   + H$ K/ A1 F6 c# p$ l# B
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   & d! @7 `0 h9 p3 _' y
5. 4 a  o9 c) e: ^+ ~' w( H
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   1 ]$ E+ D# x\" T- P) i
7. k1=f(x1,y1);
   ! e2 t* Q: z+ w1 h* w4 G- f* L8 Y
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);; T) t* v+ Q+ ^) h4 x
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   2 d: m% c, m3 j
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);+ S1 x7 D2 O. n: w3 L2 C
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    8 a\" Y* b7 q; T. O; u  {2 }6 x
12. 
    & ]# P# x1 s# p  o; Q
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    * c, Y. ]0 b8 H
14. h=h/2;0 S) l  {$ K- `& i
    
15. 
    0 Z2 F$ C5 L) X' J2 q* C0 o
16. for i=1:2
    5 a8 N( s0 S  I; q
17. k1=f(u1,v1);3 l\" T2 v4 C' x  h2 h
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);4 p* k, q1 n5 R# _& W\" D, f' X6 e
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    ( O8 ~9 u) r8 _7 U: u! I' P; S4 v
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    : W  I2 W% b1 q. V7 a1 `: q; J
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    8 Z% Z, b0 f9 q2 z& I
22. u2=u1+h;0 Q8 T  c' n: E
    
23. u1=u2;; o! I3 n7 f: f( g% W- C- I( ^
    
24. v1=v2;
    : v2 ?( T  b# t8 m+ Q% Y
25. end. s# J' Q+ M: |0 V1 m! I
    
26. ! C' T% y+ F$ Y
    
27. err=abs(y2-v2)! }7 e% O5 K7 N, a& \
    
28. 8 u! V% v) w/ f
    

复制代码