自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
$ R) j/ f# K8 e函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

. w# X) k1 g7 H* C! K- K" `, Z1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
( O- _3 f! t1 i4 q2 c2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
' [. v0 D- t' ^6 ^/ l+ [" l5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
) ^$ M8 r1 j8 Q
4 @4 N7 e' Y2 H这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   * t  c) g\" H$ J
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   % {% h  i/ K3 w
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用# d7 A& p8 {\" Z, G) U5 J% [
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用& u! I- q- O8 U: q
   
5. 9 S, k5 J+ A2 [  B7 X9 n; U
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   0 O- `: e2 I. F1 _1 @& c
7. k1=f(x1,y1);3 M; Q+ Q) _* R, P3 e4 }
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   % u- r4 Z# o) E: l3 Q) B
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   ; e+ U: `  J1 A( K1 _( Q) l8 f1 Y
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);) s! H. f\" @, s& j\" N4 \, C
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;1 k, m$ H& X- s3 ^. T  j- S, _/ x! v
    
12. 
    . D! e4 E: p/ r\" G! K: x
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解, X0 C' B+ Z' y
    
14. h=h/2;
    ' K% M6 X  T# i  B
15. 
    0 v5 E6 b# \! w8 q
16. for i=1:2
    + y+ P1 E. }  o, Q: M) |
17. k1=f(u1,v1);' O$ K& y0 |+ _  r
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);0 h# P* y3 R- ~
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);7 K3 A! S9 b$ r( r* d; k9 T$ E
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    1 I) d/ T+ T0 @& W) ^+ \- f* P
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;( [8 C: U2 q' H. V6 d1 |  W
    
22. u2=u1+h;
    2 }6 k+ x4 a; f2 N0 ~: g$ [
23. u1=u2;/ Z* I6 v/ n\" L4 \( |1 J
    
24. v1=v2;1 O, |+ R  m& R' L9 u; R
    
25. end( J8 P  D1 E5 ?, M8 d( t* [1 P
    
26. 
    8 K/ g6 O\" L: M. a! I% u
27. err=abs(y2-v2)
    , S& m2 L- K9 f7 R% j3 ?  m
28. ; b2 H/ e. i) P8 X# B7 [
    

复制代码

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