自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
3 ?7 ?0 H7 e& k  A6 e函数的主要步骤如下：
$ J! W0 ?/ x9 J  M0 y% Q
* r9 u# s, a" v9 L3 P1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
2 w- O3 P, z8 F! X5 M1 O: t3.将步长 h 更新为 h/2。
( z5 ?+ t6 ^: {, n* C8 B; H4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
. G$ u0 W( _  X! G$ i6 V5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
& U" n, |; n+ `9 j* e8 Z
. F1 E0 X3 x; _3 t% A+ k这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应( b# N( ~- a1 j8 k
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   0 ]5 Z; M1 [9 B% C9 V
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   4 ]; h& V( a# z/ C\" I8 \
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   ! x0 i1 c( f$ m  V8 ~. V
5. # H7 b5 |% R) E( C$ e( D+ e
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
     e  t1 b5 z5 `  @
7. k1=f(x1,y1);8 P7 J: r1 s: |0 Y  z
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   $ c: l( w$ Z! U
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   / c8 e/ z5 o) V- ~
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);& \2 \  P8 k/ y( v, q& I: M( Z
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;\" ]0 x- n3 U; L9 S1 C9 e
    
12. 
    7 Y6 N. _\" H: }6 o- x
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    ; g/ Z  D! O3 u& X\" A- i
14. h=h/2;
    \" n2 R; A4 X! k# V9 b' |( X
15. . R+ u! \* q6 J' @1 `
    
16. for i=1:2  c8 |. }0 l, C\" k
    
17. k1=f(u1,v1);
    $ s+ I% A& G* ]$ F' [
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);7 [7 A: a) z# W* E6 @
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);' z1 \+ A. \2 d* z
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);. l( C8 T7 a\" h0 C6 R8 I! H/ a3 f; h
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ) I8 H) B3 N3 A\" {0 W2 ?' V: {& _
22. u2=u1+h;5 a) K& \0 K+ }1 f+ x  X
    
23. u1=u2;
    6 q, b, ]7 _& f* c  e7 g
24. v1=v2;
    * ?2 K% b; z- H* G% @/ h
25. end2 n* Q5 T  |  r2 N5 B/ n* t
    
26. 
    2 v. s/ `) u. k1 x6 O, t* J  g
27. err=abs(y2-v2)
    6 R$ \4 U, w$ m# g, X' _% m
28. 
    3 o- r4 o2 k6 u\" \9 \# v8 t# ?( a8 a

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