自适应步长的龙格库塔算法

2744557306

这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
- p; K. L$ u1 z; S( U函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
) Y8 |4 x6 g0 `: A5 [# Y( X函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
( |* U: R& L2 u' ]4 s3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

0 r. c5 u; t0 g! h# E/ r这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应5 \\" y$ |& g8 R! e% ?
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ' |\" F- z+ g; c  T2 T
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用# |! N; Q1 w# E( ]
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
     K! o6 T: n8 I* @
5. 
   ( J5 Q! g& |4 v) h, e* ~1 J( V
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   2 A9 T\" x% @( t
7. k1=f(x1,y1);( {/ A: d( V( g9 X) M1 R+ [
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   . b- V4 l, Q9 e& c  K* r4 j\" Y
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);$ j, J+ W2 P, y+ Q
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    7 A, X. R7 P, i4 M+ r' X/ }
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    2 j1 o0 w& m/ ^) o' H
12. 1 C+ b9 |1 c  X, P
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    6 W) j4 T9 s0 i' {; N0 D; Y4 i
14. h=h/2;
    : L! {: l) \& P1 T6 c0 Z\" d5 w: Q
15. 
    3 `! j  m2 ]* F
16. for i=1:2/ }5 r# B6 b% a\" t\" ^7 C; c
    
17. k1=f(u1,v1);
    $ O& w9 u8 [, u0 \6 X6 P
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ! Z/ E3 c  f3 x6 Y$ L
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    $ S7 j: r) t5 i1 R( Q, [
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    7 E6 q7 U; B$ X% `& n\" v: k
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;# |) s; L* {0 ~! I
    
22. u2=u1+h;2 B1 u3 |# q4 w8 `  ]
    
23. u1=u2;
    8 y' t5 O\" N9 i9 {: B
24. v1=v2;
    \" \& D( V7 Y8 x3 }& b, b
25. end
      y  A! f; O- p$ O, _* ~
26. % J+ }% c& {2 Y9 g- S& h% r
    
27. err=abs(y2-v2)
    / Y\" U\" p6 i4 {
28. / v\" [- X% W9 P4 D; Y
    

复制代码

* j' U7 c2 [/ p+ j4 J