自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
* }7 C5 x4 a& N8 v" _0 C函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
) i7 U5 \+ b% N6 h7 ?: j9 e9 O函数的主要步骤如下：
7 e2 l' o0 B7 e( p
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
6 S* R4 w9 u& c$ N6 [/ z2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
. U- M9 t- U! R5 ~. t% w& h* ^  [5 ~5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
$ H6 m1 _2 \( L  \: x) h
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应7 _+ g7 R' r, }. v  g4 ?9 a
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   1 n% L/ D( Q& m6 H$ |# h% Y
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用0 k; Z' a( K3 f# M8 D
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   0 l3 ^7 n5 D+ i' P  m: S
5. 
   : `9 \& `+ U) L. Z( p% p
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   : f; U7 U, ]9 [6 m9 X9 d
7. k1=f(x1,y1);- q. o& H: h# p- R7 H* U
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   9 J* [/ A% M, q3 H; Z1 m
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);& Q0 ]$ s7 [9 v& f8 z: W$ F
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);9 I1 Z\" g  Y6 u
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;. {$ u) a$ F6 u' w\" ?
    
12. 
    7 A% p  ~3 n: d1 H9 L' j$ u6 x% P1 l
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解( Q6 t4 F6 E% ~$ l; v* {# h: f7 B
    
14. h=h/2;4 i\" J0 m3 F% A  K
    
15. 7 F! W5 N( E$ G! m7 I. l0 P
    
16. for i=1:2
    0 X/ a. d3 Z% ]+ ^( T
17. k1=f(u1,v1);
    % P) C0 k5 m; E- ?# k# {! v9 e
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    0 Q1 k/ X/ L+ x/ p
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    , o) G0 X. @. h7 Q# y) v9 E
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    . _) ~( S! `' L+ w+ H; \  c1 m. d1 d$ y
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    2 g& _! M5 E3 Z# R; u
22. u2=u1+h;  N6 p, z7 w: @/ {2 r
    
23. u1=u2;
    \" @! e, w$ G8 u4 S' X/ |- S/ u7 E
24. v1=v2;/ z0 s& \7 b5 [9 V% E0 X# L1 D1 N
    
25. end( I) l8 j+ C( S3 o, Y, r$ ]% B
    
26. 6 }3 ]/ D# p7 i/ u5 _\" d
    
27. err=abs(y2-v2)9 v- S! ]( a3 w4 G# e* Z
    
28. 
    7 i; w2 N; h; a

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