自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
2 {+ ~& e# p$ J. H, v. {1 {1 K$ l函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
1 T( B+ D1 J1 F函数的主要步骤如下：

& v. i8 i% L/ k* u1 J4 ]1 W7 U1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
* B; ?6 y* j( k- D# u2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
! r2 V) p& u" x9 U* q
! l9 f6 i& \4 m" ]* S; Z: Y这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   - W( z; U$ Y) y+ \( @) ^\" w
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ' \$ Q( `2 J* i9 j& F5 K, i
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用\" @3 T\" C; O+ z* Z) u' d
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   / u1 i1 E+ \- p\" d3 ~1 X, o
5. 
   # i; y- H, l% P: y) \' n\" p2 X
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   ' U; T% D& e9 {% S5 u% ~
7. k1=f(x1,y1);: w. Z/ C) |- ^7 k  x
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   - p( y$ ]# j# q8 u+ n* e$ A
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);% Z! j! r: V, O9 s1 o
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    ) C3 Z) m$ b1 u6 W6 W$ p
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    . b; ~! ]  v( }6 u3 r8 D/ ^
12. 
    / s7 R* y# D. Q! n\" V% ?, s4 v
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    5 [- ^( J- W9 g' J
14. h=h/2;
    ) T' d9 k4 l! R# l' ?' f3 v* Z
15. 
    ) Q* j3 W8 B6 p. I3 ^
16. for i=1:2% L5 C* i) w) n6 O8 H
    
17. k1=f(u1,v1);# k) j1 K3 H2 F9 v1 S- A* E8 h
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);/ _5 ^/ F  |' _
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    ( M  Q; j% z# w( @( B! `$ i
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);4 l( s7 j# I* m& P
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ; w8 [& M- U/ }6 P9 \
22. u2=u1+h;, i+ b7 C2 D6 g: Q6 T# i
    
23. u1=u2;. B( D8 S6 R8 r- W( I; y2 Q3 L
    
24. v1=v2;2 R\" V4 n6 y\" |5 ?
    
25. end
    1 ]/ u4 X# M/ }( F0 {1 H+ v# i
26. 
    8 f- _\" m. M' s' R9 T
27. err=abs(y2-v2)* d) v4 e9 F+ m8 c\" O
    
28. 
    % [  ]8 Q, u& O& L0 W

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