自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
2 z  T1 g0 P9 Y6 B函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
4 K4 @' e7 s+ {$ @1 M, D5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   2 W8 n; f7 c/ A$ b! A( ]! P
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) 7 L+ S4 r! z\" K. o8 l8 a
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用/ z1 G8 j1 ?7 [+ @\" ~/ h
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
     f! p. U\" s  Y6 Y6 e7 D
5. 
   : i: `) n3 q! S: A# H/ u9 ~1 m$ O
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解8 f) _3 Q2 c) W\" u: M* R3 @
   
7. k1=f(x1,y1);9 E  m1 n& d; ?# O- y% a$ ^3 G4 I
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ! f% l9 E+ m) y2 F7 N7 q9 ~& n
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);  O\" V0 _+ O0 k% c1 U3 a% L- b5 A5 _
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    / v6 w* r9 r# ~. L0 A\" U
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% I- `, H  k3 s! z
    
12. 0 n8 M+ |' m% V9 ]9 y3 m
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解2 Y: [9 J$ s: w2 I0 m7 T- m
    
14. h=h/2;/ _5 ~/ D- z* P; t
    
15. 
      S& y$ w1 s. J/ e! O# ^$ d+ V8 x. ?$ S
16. for i=1:20 X0 d. t0 S5 {9 Y4 ]
    
17. k1=f(u1,v1);6 v' B& d+ b) y0 {8 l' u3 K
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    \" j2 M7 Q7 {$ f7 A' ^1 Q0 [1 v
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);) ?' |% `) }9 j) F\" o4 R
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);) x\" }* }\" o, m8 W\" s6 d
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;( H7 }! R! n9 Y' Z& r
    
22. u2=u1+h;
    % U; Z1 P  E3 |- g2 D
23. u1=u2;
    , x! ?, x' U4 w* R5 Y; r2 w\" R
24. v1=v2;
    \" ~1 |7 @6 O& [% H& [  n0 f\" _
25. end
    2 b1 e/ j: V- y7 r; o1 i
26. 
    # r; ]3 d- G3 [4 H: s& S' m. O
27. err=abs(y2-v2), ]; }- S  u  j3 \' R4 b( i
    
28. 
    8 X\" _9 N& }; l2 p% c& I$ b\" R\" {

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