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这是一个 MATLAB 函数,名为 half,用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。% ]8 Z+ K/ Q+ D# s J& Q
函数的输入参数为:起始点 (x1, y1),当前步长 h。2 x. z& B' ?8 G, d) A
函数的输出参数为:更新后的节点 (u2, v2),新的步长 h,以及误差 err。$ K9 L, o: O) h7 b4 S
函数的主要步骤如下:
3 N& L: g0 q" z {* c! i: A. M7 U, l p4 L5 k0 w! m
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1),以便在计算步长为 h/2 时使用。
1 s7 A4 ^/ M, U+ k2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。+ p" O: L/ `' t4 }% S* D
3.将步长 h 更新为 h/2。
5 l. j) u0 { x4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解,进行两步迭代,得到新的节点 (u2, v2)。- C4 B% f( M! H: p, x
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。9 i0 G, F; ]3 s, j6 [* G& m. e- Y% E
8 e* s( Z1 C: p1 ~这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分,通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法,其中步长 h 随着迭代逐渐减小,以提高数值解的精度。- %half.m 该函数用来调整自适应
( E\" [4 G( }1 s - function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
& m* p7 K5 H, g( U2 _ - u1=x1;%u1为x1的备份,供步长为h/2时计算下一个节点时使用
+ H$ K/ A1 F6 c# p$ l# B - v1=y1;%v1为y1的备份,供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
& d! @7 `0 h9 p3 _' y - 4 a o9 c) e: ^+ ~' w( H
- %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
1 ]$ E+ D# x\" T- P) i - k1=f(x1,y1);
! e2 t* Q: z+ w1 h* w4 G- f* L8 Y - k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);; T) t* v+ Q+ ^) h4 x
- k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
2 d: m% c, m3 j - k4=f(x1+h,y1+h*k3);+ S1 x7 D2 O. n: w3 L2 C
- y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
8 a\" Y* b7 q; T. O; u {2 }6 x
& ]# P# x1 s# p o; Q- %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
* c, Y. ]0 b8 H - h=h/2;0 S) l {$ K- `& i
0 Z2 F$ C5 L) X' J2 q* C0 o- for i=1:2
5 a8 N( s0 S I; q - k1=f(u1,v1);3 l\" T2 v4 C' x h2 h
- k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);4 p* k, q1 n5 R# _& W\" D, f' X6 e
- k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
( O8 ~9 u) r8 _7 U: u! I' P; S4 v - k4=f(u1+h,v1+h*k3);
: W I2 W% b1 q. V7 a1 `: q; J - v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
8 Z% Z, b0 f9 q2 z& I - u2=u1+h;0 Q8 T c' n: E
- u1=u2;; o! I3 n7 f: f( g% W- C- I( ^
- v1=v2;
: v2 ?( T b# t8 m+ Q% Y - end. s# J' Q+ M: |0 V1 m! I
- ! C' T% y+ F$ Y
- err=abs(y2-v2)! }7 e% O5 K7 N, a& \
- 8 u! V% v) w/ f
复制代码 % [9 v8 S1 Y7 W/ }8 w$ c
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