自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

* j3 B+ N' G* K7 i8 p1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
/ _0 N) \' a* y; q9 v5 O$ x' L2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
* F. q6 k7 Q4 A3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
! z: Y4 w7 ]$ z7 d& N! t5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
6 j) D0 a1 l# H/ i
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应1 U5 q  d$ d( O9 O
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) 1 K- Z2 }' Z0 ]7 K
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   * S0 @0 I% V/ d3 ]. [  x/ T+ B
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用, v% Q1 X; b6 ]$ W
   
5. 8 G9 S8 z3 v: J, L6 a) a. ]: ?9 }
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   - {2 T7 i( F7 Y+ [
7. k1=f(x1,y1);
     E- d! G7 B7 T: M) @7 K
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ) F' H# x\" E! S& K; f
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   8 A. a, V0 @# Z7 C7 F: P5 o
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    9 e- @! D* s! l
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    , `! C& V  m: C
12. - s, P' H1 K+ f* j# [
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解) t3 M& r\" e, y, K/ F
    
14. h=h/2;
    ' D/ x9 c( s3 M4 a' Z9 N- i
15. 
    0 i) \+ r! O* P
16. for i=1:23 k) u$ E+ _2 B+ H
    
17. k1=f(u1,v1);
    - ~6 D. _; U0 |* x1 I/ ~
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    * T5 w# a4 F, l5 F- S5 u+ K
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);2 o0 J; \. e9 P; b# u
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    \" ^5 U/ G4 K  V
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;\" G9 r0 X8 ?: g/ n
    
22. u2=u1+h;
    1 }* J' U0 s- R: Y2 U1 L1 a
23. u1=u2;
    * E; g* I3 z) m
24. v1=v2;+ P8 ^6 J, t) `3 R' g& P; t2 K+ s
    
25. end* \7 Q- q* \* y7 c+ s) ?, G
    
26. 
    8 \) s/ g! h7 m. D
27. err=abs(y2-v2); l$ `  y4 e! ~1 Z- W
    
28. 
    . {8 f9 ~8 @& p- ]5 `! S/ \

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