自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
. z3 J4 X( S8 t7 \函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
/ U( {  g/ V1 \$ h2 f6 K9 }1 |: d函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
: ]' m* Q: h$ m: w! [' H函数的主要步骤如下：
$ F% r8 a+ h' d0 k# W
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
3 z/ Q2 N& m  J6 N/ [2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
- {( ^& x2 K- _' x4 B3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

1 D+ T4 I* s. o0 N. Q: v  V这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   , o# b0 i% Z+ V+ K
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ! [5 _/ N8 j2 ?; T
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用  R: b/ p' R4 n
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用2 Z9 q1 w* O) X) z3 u
   
5. 
   ! d& `, w# ^2 f8 w
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解7 J/ o: n* B& g/ A% W
   
7. k1=f(x1,y1);. |/ o/ T3 R- G$ g% h: z. F4 y, P9 g
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);5 y) m* d5 y% D9 A1 S4 R- ~7 b$ w; T
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);5 D/ V9 N9 K/ c5 y
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);% e4 o( d6 f4 ~- _# F6 u# ~
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;5 @; i' K+ G. D3 L
    
12. 0 ^4 z\" Q- T# ~! e* D& F
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解' N0 I* F! F% E* \- D\" i
    
14. h=h/2;4 ]\" s1 ?+ Z+ x  y
    
15. 
    7 M6 x/ k* ^4 h* X7 T* u2 ^2 U' j
16. for i=1:2
    # t# P' x: B- o\" i* C7 A: u
17. k1=f(u1,v1);
    / }7 n- c$ O' p6 u, h4 e- b. V8 U% C
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);, H# R: S! O' ?) P  \; H
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    ) U- q' [3 V# F\" z, z% J2 C3 w: j
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    3 w# h5 o3 i0 t0 f0 b# M4 @8 y\" N- `
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    & M& }& P0 c$ x# j# L& T) \
22. u2=u1+h;
    1 n7 W\" M# i: Z) H! r( N
23. u1=u2;9 S5 k. y( v+ |# p& E$ W
    
24. v1=v2;1 L3 h0 a, @1 ]# W; B
    
25. end
    8 o6 Z( g0 m6 y3 R+ Z! ?
26. 
    3 U, {6 U. v/ k+ c\" o9 L) j
27. err=abs(y2-v2)
    - w7 G6 q- L7 _9 S0 l6 q
28. : M# d2 z\" a2 \1 }7 w
    

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