自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
% H! V9 |. [. s: ]函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
8 e7 V) I- V" {' d( s6 W. P9 L5 T函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
# H6 l. E6 H& x, C8 V函数的主要步骤如下：

, \% L5 @. r0 D; C1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
3 |9 [, O' H4 H6 S: a2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
) O7 R4 f6 M4 ~6 P0 m* A  ~& \4 S3.将步长 h 更新为 h/2。
! m0 C# Y8 Y+ J. v+ q! w7 N! t4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
' w2 Y' T1 P8 z, ?* n0 j( L6 e; p- C$ ~
- h# v$ Q+ S7 n  b这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   \" d$ F4 }\" h6 C5 ?' U
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   3 q3 V+ f$ h) ]) h. B4 `: p- B$ ~
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   , m( T7 B' `' R% ~
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用* M3 T2 N' L& r' U  S+ ]6 k& i
   
5. 5 ]* a$ I) b8 l+ T) I) N- C# n
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   7 |( O/ ]1 x9 W1 H, Z
7. k1=f(x1,y1);$ }* [1 m8 J2 m1 ~
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);6 a! a# f+ k0 c; K5 m
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   * a8 X7 V9 x0 h
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);  y' P- [8 i$ B7 \
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    # ?. I! K: g+ ~$ Y
12. 9 `4 M+ b2 P+ t/ \3 p8 M# u/ q
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解7 K9 |6 d; F9 k* g
    
14. h=h/2;0 W. b* ^( H# _
    
15. 
      E2 }2 f' S  W\" a+ w
16. for i=1:2
    2 ?! _# J; g  A8 r' m! }
17. k1=f(u1,v1);
    ; D- `! I8 H: p7 s
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    \" n3 l6 h/ R5 i
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    3 v, i( X# j: [. |8 [\" A$ f
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);) P. K- S; f! N) M& Z5 y6 P
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;. S, r& P6 c: X$ ]% V( m
    
22. u2=u1+h;. b# w# Q+ M1 g6 b
    
23. u1=u2;
    ) S1 M' i. {, i\" E+ }4 o: p' t
24. v1=v2;
    2 W2 F) o; w2 X3 P7 u3 d( P  l. N+ A
25. end& D+ C. A9 J% w
    
26. ! G6 m: t3 D( ~( M7 `: H
    
27. err=abs(y2-v2)' g5 Q3 Y$ r) a\" C- x5 x9 B& M
    
28. $ j# t/ Y1 W7 I7 I7 d5 g
    

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5 S5 L  X& F7 p2 K5 s