自适应步长的龙格库塔算法

2744557306

这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
" v' Q' J8 A8 @1 L; Y5 v) m3.将步长 h 更新为 h/2。
( K+ Z  I, s9 f; b. `& V4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应0 {) d1 l$ u# R' b, W
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) 6 ^5 @) g2 a1 g
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   4 X# \8 q8 S5 @% X/ U
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   & ~) m7 ^1 W  q; D' f5 b
5. 
   * C6 Z& S2 r& D, b  `% X
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   5 p6 i* a, G5 `0 H
7. k1=f(x1,y1);
   & ?: L, l  J& m$ V
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);/ U' x\" r  m$ i8 f: u
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);5 I& J$ b! {2 e) `9 T& @+ E: L
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    ' V1 y: S3 ]& a+ R& F( x
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;9 U\" s8 Q4 {# l/ |$ H
    
12. 
    8 T0 I0 D5 s. [4 s) h
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    : x& Q2 c' H( Q% l8 F% N* x* V: m
14. h=h/2;( `  r( Z\" h2 V\" {& S4 c: k! H
    
15. 
      Q7 t$ _9 Y\" Z& h\" P
16. for i=1:2) h- T5 N2 _4 n+ E( \$ A
    
17. k1=f(u1,v1);
    . p1 ~; p* P- l( A
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);0 A& w3 t1 z4 o6 W  H. `
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    & A6 ^4 V( U* z$ P
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);- j1 ?/ f\" F$ M
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;, Y. z' g/ e1 D3 c: p
    
22. u2=u1+h;
    8 z* r( r# V, |5 z2 Q) K
23. u1=u2;
    * [& H, Z) K) l* X# w7 r* K. O
24. v1=v2;3 Z\" Y% W0 Q  y. k
    
25. end2 N$ `3 E8 x# O1 q% Y; X
    
26. 
    8 a, M8 u( ^/ d* w& O  Z( J) b
27. err=abs(y2-v2)
    7 ~- E* S4 E; l9 L
28. % g$ r; |! F7 w, K3 g9 a
    

复制代码