自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
6 I, i$ i: F* j+ ~( T% P" o函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
9 x' q/ o% L/ f. ]* v3.将步长 h 更新为 h/2。
5 Y1 N3 q' w) {9 g7 r. B4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
: q5 M0 p2 ^* E$ P7 u* q5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
" h* e  O  {. K5 ]; }. }" |2 I8 _
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应' [7 C( |& _, ^\" [0 ]
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   9 \. S$ b6 B) \
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   : C, _  C5 o9 a5 e5 W! `) q
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   ! R# J& y$ l2 t4 ~% Z
5. \" I% j7 ?3 C1 t* x2 Y. S
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   - f. Y. Q: _: x# x, d6 `( n
7. k1=f(x1,y1);
   2 Z8 a) c3 f% J3 V0 z. |
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);+ _. \+ }3 V' Y* ]: g6 O& y
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);% |( O% v; Z  e- e7 @; [3 P7 t
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    % F; B4 d- v5 D2 F
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    3 G2 z4 j/ |$ |\" D
12. ! N( B' r- C% \/ g
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    # d8 n  `* G$ C
14. h=h/2;
    # T6 `5 e8 E1 a0 ~; B
15. 
    : [: m- A2 F: V4 M- ]% x# H\" ]
16. for i=1:22 H4 V  I\" o. B0 I, Z2 @' Q7 F
    
17. k1=f(u1,v1);
    8 M' x0 W( S% X! w8 k7 d, n  q
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);0 B* `# f1 V& `; d+ K# \
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    ! ?: V8 k0 M3 s  o: m* [
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    ( f6 W9 b# U: Q; i! G
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ; M* M9 Q) y\" q; y) g
22. u2=u1+h;: C9 ~$ Z$ `( D- F+ d4 \% X
    
23. u1=u2;
    ; l\" y% K4 ]# b5 S8 I
24. v1=v2;
    % Z! w1 w+ y3 x
25. end) F. k7 n5 M- t
    
26. 0 P8 |/ k4 s( }! }# C& K
    
27. err=abs(y2-v2)) P; i, H5 C8 `\" ^
    
28. 1 Q5 l; g% c% e+ }
    

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