自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
- }' X" ]: n  ]4 }; E( X) s& }函数的主要步骤如下：
5 ^6 f6 }  a$ v; b( e7 g- J
# j3 T5 H4 b0 y' V( U1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
! P4 D* T7 p1 T) C6 W. F2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
; r6 L- s. v& A) K9 Z3.将步长 h 更新为 h/2。
- ]7 t  y0 w& i4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
. @8 ?/ b; S! X% c, u( b% ?" w6 j9 H5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

) I7 q: `' B6 \4 v这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
     \8 G  p/ l1 n' o, u. k% R
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) 8 D- x7 k/ W+ H) e
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   2 C% U0 M1 R; k0 ^/ v
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   : B' r/ E8 k* m7 r' ?2 [
5. * [$ c) h' R' C; ]
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解) V5 ^% H) z& f7 H: P+ b2 N0 ?0 p5 P
   
7. k1=f(x1,y1);/ r5 z8 }\" S+ q2 `; _
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);$ ~6 ^\" l, E, I
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   # R4 s' }- {\" N% y; c
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);* r0 D* J. B; `
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;4 I# O/ J# {! @9 K$ `
    
12. ; f$ P6 W+ v1 S+ E% I
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解1 p, \5 y& ^0 R, t/ I2 h
    
14. h=h/2;- F4 y5 D& `# R8 r  ]/ l\" z
    
15. 3 T6 p+ e7 d$ a* l: J
    
16. for i=1:2
    5 o- _* d9 R/ K& {! M$ g; S
17. k1=f(u1,v1);
    . R/ V  d+ H/ Q9 E
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ; \4 @4 @' H2 I+ L! ]3 b
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    0 |* r) P\" B; M! m* m  D) r
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    2 s\" H! d1 ^9 c: j1 ?
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;; l. u& M1 R. P
    
22. u2=u1+h;
    % v. j5 ]8 \6 W# s
23. u1=u2;
    ( ?& d: H- @, K7 F; a* [4 v
24. v1=v2;1 z0 U, Q& P# ?1 T' r, m! G
    
25. end
    * n. B1 x$ r' j
26. 
    ( u0 F  V- y7 T3 N. g
27. err=abs(y2-v2)
    \" }6 g/ i7 B5 E% m
28. : Y9 @) }. O$ T1 x# \9 c! Z% I) w
    

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