自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
" Q- N! ]' h3 Z" O函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

+ [& U2 F) w/ P1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
/ ]+ |, Z$ i7 y5 d/ v3.将步长 h 更新为 h/2。
+ A; B2 P0 w+ r! F7 [$ r. e& O4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
$ P& H4 ]' @/ s+ r4 d! Y  L, H
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   2 s7 e- n: W2 g
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) * Z5 `; @2 I\" m+ x* t) n, W
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   \" B) G, B2 W2 o* e% \
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   ) \' O7 J$ U& y) e8 v
5. 
   , h8 B* N) |\" I$ z& U' w0 \
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解0 s# R! s( j7 {
   
7. k1=f(x1,y1);
   $ s1 `$ S7 T, R: X! L( q) `
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);& j: ]% D  `2 l6 r! h& C6 `
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   $ O$ t/ T# R* k/ a
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);; [; X' z5 V! K& g- K; r: |5 q# F1 F
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% g. \- `2 `# V
    
12. 4 P2 b- i; E5 ]) e5 h
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解: p' u5 @\" i. ?& H. B0 ~
    
14. h=h/2;' \5 h, K1 I$ f0 C: }
    
15. * V/ A  q# K# w( H$ c
    
16. for i=1:2
    5 W1 h- v  j, ^! ^6 r, P; W1 n2 X! ^
17. k1=f(u1,v1);
    4 u. N4 K. O! N
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ' a3 O& V/ x; S; r+ m9 J' D* ~
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    \" X& s! i  ~+ Y$ I4 \5 b
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    8 x8 C9 v% e, t& v$ c& F6 Z8 {\" I\" v' J6 N
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    & Z* v8 \0 |+ q) o# B4 {
22. u2=u1+h;* o6 K\" D4 h, a' ?
    
23. u1=u2;
    $ N4 l* C! _- _8 ~# P
24. v1=v2;
    7 Y! R1 X2 o4 T& ^( H
25. end
    4 C3 r& N( L3 s: }. g
26. 
    + V- `$ x; C/ [
27. err=abs(y2-v2)
    ) }& e6 b. K! ]; [
28. 
    # f2 e7 y. j5 R) P

复制代码

$ Z. J2 ~5 L) V; K