自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
$ I: J$ e/ i; k7 g8 i* ?. M7 X函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
% {! F) v3 {* Z- G9 n& O
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
+ N! z9 n. b# W# e& D. `2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
& T3 U" T* y* N+ A: w" C% I9 e, y3.将步长 h 更新为 h/2。
+ c) g+ p! Y' I5 O2 t+ k4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
, \5 Z* q' e* e6 @/ M5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
# T  K: v1 Q6 _' P  n  C, E: o" n
9 u$ b% X( e- T1 H这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应7 C\" H# n! M8 y4 A  a3 |1 ?' v
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   - q- m7 e0 }\" g
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   - t2 l. D- J/ X7 i; w, ]6 @- Y  C
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   8 e2 q0 t# g1 ?; x. r0 r  ?' O& a
5. 
   \" D' K# i4 c1 ~- c$ H5 q
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解8 S9 i# v+ [, ]# ~* m
   
7. k1=f(x1,y1);& {8 ~$ ?: y: n$ P3 E
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   , u0 y4 s& |4 a\" m7 p& R7 G9 [
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   % l+ a4 i' o& Y1 Q, q! i
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);2 E5 B\" W9 s\" W) |6 c
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    , S\" O+ H( _9 v) l+ @
12. # a/ f3 A' s6 E% v. w( n( E\" w3 J+ L( ?) X
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解5 ~. k4 M  E& t7 R: K' [
    
14. h=h/2;
    & {$ d& {& c, m
15. ; F# B7 w( X% C' b
    
16. for i=1:24 ?. v% f# o$ r1 P1 k, K6 B
    
17. k1=f(u1,v1);5 Z% u9 j3 B2 R/ G- |5 n: X$ I! [
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    0 D+ }2 ]6 ?6 A3 I
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);; i) ?8 J- e: D1 c0 c\" S% a% F9 ]  B
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);. a1 n8 ]* @1 u5 U6 y9 }$ p0 A
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ; I% E& c8 t0 c4 v* S
22. u2=u1+h;
    ) e% Z( f/ k2 T  f
23. u1=u2;
    $ x. Q! Q3 n9 G+ m
24. v1=v2;
    - L$ w2 q, @! `# _7 S( i\" ?
25. end
      X; R9 o3 T4 ~
26. 
    3 Z2 }) G\" O' v/ \* \. J  A
27. err=abs(y2-v2)
    4 T; \\" K6 D, K* e: o5 T6 d  }4 U9 V
28. - p\" O- N, ?0 a
    

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