由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
4 D' M! A8 ~. o3 X0 A  Z                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
4 |. {4 w( L, U6 D" ^     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
! x! ~: c, F, L                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
3 y5 u3 V$ c; ^0 d    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
+ n# o) B9 j4 }3 X5 P1 h( E   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
; L( \9 N; m* Y& N" e- R   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
" l8 ?3 E; K4 \7 _0 J    证明  
在∠AOB一边AO上,取
            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
- ]0 q! N8 z5 D: k/ t( V" k0 A                    (2)
: q  P/ v" C1 j( z在AO上取点E,使
% b) i: F8 |" m; g6 G6 ]            (3)
* S5 c. s6 w+ r* w  \以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
2 g, Y, u, j& Z" }7 C* N- `, c             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
& X& d  x* x9 v2 d        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
0 R& o3 L: t5 ]# C' w( T5 k        .
即
. K& V$ e4 e) P5 |8 q; J7 `* K       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
' B/ w$ j, P# r& b. u         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
+ J/ V* U% p. I, ]' u$ U

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
/ Y2 f1 y5 q  Z' n                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
; s+ H6 ^+ E$ w, O1 G. Z- x     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
" F: ]6 K  }" E, H9 v                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
% Q; ~8 S* B- Y+ n& S                 l=NR\pi /180 .
8 [; D" ~9 n7 T* m: ~. _                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
6 N/ j' P2 k5 k   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
& |# `- e% ]% q# m: Z. f8 c            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
- {" r6 }& {2 d2 M& I2 [9 Z  e    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
! I5 }& S& p! S, Q在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
4 w, a/ \' J5 W/ Z            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
( h, r! m" I- h9 O; d6 C, A在AO上取点E,使
. Y4 J5 T. {- j1 K0 D' Y OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
) F& N! w2 e: a7 k1 }根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
2 ~. o0 u1 l0 f3 a3 [根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
' s+ [, m4 T) I8 w4 w7 S7 J- U即
) W) j$ z) {! U( w           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
5 R- G! C  w: v8 y4 d7 _2 l    本文的理论基础是
' |* k: n% B% H, m- w" _            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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8 _- |- J+ J; o4 d
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
9 \6 @: T4 L# q: n$ y

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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