由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
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数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
1 c* ^. p8 \2 Q  e" l( g                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
5 y+ A9 r! ], E) J$ L     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
2 J. f# {, N% L                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
9 [4 B  z0 y, @5 U" U6 C/ F   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
% t. d% }) s8 Q, R. v            
* s. z" ~$ `: W+ e; i! O# G; k则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
7 t- r/ |' R* I5 r" g' X    证明  
在∠AOB一边AO上,取
            
) a1 a0 `* ^& ?$ U- L' w! p以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
2 c: ]- n" {2 |, N$ O在AO上取点E,使
            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
8 Y/ S1 C6 W; N( {; l3 M7 H3 U7 K根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
" P9 ^1 I+ c" v; d, A6 t根据(4)式知K
、F共点,所以
4 q. y7 Q4 ?/ ?7 ?2 P5 d        EG=GH=HF,         (5)
9 B9 M8 z3 U0 `/ v5 E5 l根据定理2,(5)式,有
/ Z& Z6 x, m& q        .
即
       .       (6)
) X) P) S: S  {* ~- G" x! C由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
& d5 u* J4 G) s1 D% W/ n  n         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
+ f  {& g$ x% C- q3 Y  Q     一)  问题的提出
+ `6 z3 e4 Y; A4 e- R/ q0 S9 q     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
. t2 W) M# d, J2 o0 @5 i    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
; h# h* x7 v5 B. w( z% a                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
7 X% p: B9 b. E6 Y& h   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
3 I0 w0 Z/ w  ^3 {% |       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
% k: T2 h- h/ f/ O1 ]' H在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
2 T9 X6 q: Y- Q4 o' @3 a0 y# Y根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
0 ]8 j0 B4 R/ H7 H在AO上取点E,使
: d! p" Q3 k6 R% Q  |  O$ y OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
( g9 S- n' t' B3 K- @根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
) O5 k" I4 f2 k9 B. l) _" `& U7 ^        CD=EG=GH=HK,
% y% k" c2 a0 [根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
" E5 b$ @! e8 m' s4 G6 o根据定理2,(5)式,有
/ V$ h7 r7 o) V5 f        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
0 b* Z' d: Q7 U5 |若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
5 p0 b4 m1 h- E/ ~' ]# @1 u

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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' s  q! }9 |8 I6 ]
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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