由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
4 |( F0 |$ v2 h' X

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
9 U2 ]- b$ J: ^                         尺规三等分任意角的逻辑原理
( v! V' k4 x& N* A* a9 d                        苏小光
( J; m* `+ \3 D3 Z; W% \  j                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
+ ]+ A* z9 ~1 r                  
& S6 N# Q7 k# M; O, [) ]+ O0 z没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
% y( R) P$ K) }, f9 ?                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
. F$ @  C$ u6 P/ }! p            
7 U( R4 ^% b( p7 D则用直尺和圆规可得
* V; C% M( b6 |" R$ g            .          (1)        
    证明  
在∠AOB一边AO上,取
            
3 ]* w( k! J% F3 }5 g7 i以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
. H1 _6 g2 m4 B" Q5 X根据定理1,有
                    (2)
+ P3 M& Q: q# B在AO上取点E,使
            (3)
9 a7 @9 I9 b* n3 S6 M$ S以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
' ~' l0 x: T6 Q  N4 i5 g' L7 s             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
' E" E% Q: _% X, i  O        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
: W( D4 i. T: v: L4 {        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
即
       .       (6)
6 g9 Z9 E! F/ m% w; G2 }由(6)式知(1)式正确.证毕.
, H* k( V3 B$ Y! Q    本文的理论基础是
         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
! X2 W0 L+ T( h$ p) X  {! X  I                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
' I: l0 [9 ^6 }8 Y& z% y                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
' `4 l) l: z* r2 q% k     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
2 |9 U0 q! y/ x1 m                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
# I, M! R% K$ Z3 U4 C% H6 u    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
1 }) T3 @( ]1 v# u# _" h    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
7 @5 _( B0 W  @2 o在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
) F$ |: `: W7 j" ]) h7 v以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
4 Q- \# _/ I- L; H. B. a          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
* a7 I" y9 e; S0 m& J所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
0 t8 i8 T3 O; Q5 R: ]0 y0 f        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
0 Z; k6 h( j- G1 F; B4 k        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
) I2 w( N/ W6 N由(6)式知(1)式正确.证毕.
2 u9 X$ ?$ \# K! m7 P    本文的理论基础是
" }( ?2 L1 L3 d* Q* q: X# b' ]            \pi = l /2R
" j; X/ n6 K8 g! f若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
9 ]" g5 M: [7 Z) s/ p) z/ R

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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. c: x- U/ P! l
  _; \# E# w" M5 N没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
1 {5 v1 j4 D8 R5 m  }7 w

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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