由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
% R$ P) e, _8 z4 F                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
, e$ u/ b! Q! R     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
$ m3 Q, i& V  T1 e% L没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
3 P3 [4 ~/ F4 l' \, _   三) 问题的终结
2 y" D5 _4 B' Q/ U   定理3 若
* g' Z, ?6 J/ T9 F( X            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
1 x. _+ p7 B0 m) u# x6 d    证明  
在∠AOB一边AO上,取
+ q  {# Y& |5 Y9 z+ ~8 {            
! C$ x6 F* q! `' A以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
& j+ I. c- h! z/ p根据定理1,有
' X6 t5 [; X2 e. S$ a" n                    (2)
$ S' r* M9 O! @) l6 }- W在AO上取点E,使
* L' L) \/ k( ~5 c) `            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
% P/ u* b$ x9 [! n5 b        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
) C4 ]" @9 e3 \8 @# B、F共点,所以
: ]% a4 Q% o3 w$ |# C        EG=GH=HF,         (5)
  u# c$ B# w) F* }1 X* {根据定理2,(5)式,有
& e6 j& Y5 S" c0 \% c$ _        .
( u( i! I6 c# g即
% A) O. d/ w! K! l/ Q3 G       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
5 O7 K! E8 n. B$ v0 O                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
; E0 g  O, Z: f( t3 l( s) F没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
  E9 n# ?7 k2 C  Z                 l=NR\pi /180 .
* v+ P) i6 w5 |" D( x. e1 h                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
/ {4 W& _1 I4 n" F: f$ i+ j   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
, L( v$ q4 v4 d- n5 n% D- x, j( g            
则用直尺和圆规可得
' N- v; E# K4 b+ K       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
- g0 V# e4 a% f    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
; i) I! J3 i5 _' v9 Z            
) m( d0 @' ?! m7 @( J; t, _以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
& E# \# I/ F. _3 s3 ?6 ]8 S OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
" T. I% K" v, i2 v4 X0 Q) R5 b以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
( g* ~5 R9 o! {8 ]4 ^# u根据定理1,(2)式,(3)式有
* J; C0 n$ `- h; W) K  O          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
+ v3 W  ^8 H, A* @所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
. s+ k) d, `' Q, \% O6 d        EG=GH=HF,         (5)
4 L% s; y& a& W! }2 w6 y根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
0 w: v- q9 M2 O$ V, _, Q( U即
2 G3 E& g  c7 H           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
! M" m) u) B. |+ j0 A. Y( v由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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+ h6 h5 ^+ G0 `  }8 b: z" p3 D没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

永远支持中国数学建模