由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
2 B1 g  s4 n3 m4 c5 E: W
3 D7 d1 [4 V5 s  u

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
3 l6 @+ O5 U% T2 p/ i                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
. r+ b; c7 ]! U                      2011年2月20日
( b. _3 |8 M+ @, `6 E. O7 \     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
7 w+ M' x# n& ~- f8 {2 d" T            
则用直尺和圆规可得
& M* W+ @' L& B" p            .          (1)        
( \; a; a9 L9 F( E$ s# r4 R    证明  
* ~1 i& j  m9 P; N$ o) W- Y, h6 z在∠AOB一边AO上,取
1 G2 F( u: _/ f+ J- {$ m- e, r' ^5 |# o            
: M: r# Q, G* ?* A3 M% L以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
$ f7 {& |# ?$ A根据定理1,有
2 d" b3 V) z) h+ g  d  N                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
. C  C2 V8 F# j$ A  z, k以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
; s1 v0 X; T6 `) d7 @  }& F, s2 R3 ]! L根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
& B& \6 r9 j8 O) l1 k  q( R% m所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
" H# u: {' i6 V3 h0 C- P- g8 F# }) Q4 U        CD=EG=GH=HK,
& g. {. \9 l* u# p- o! [4 Q' I根据(4)式知K
* @( M( [4 w# V/ \、F共点,所以
4 x' M  L$ D% N        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
  W  W! k1 _% j5 i即
- I3 n: N5 d7 a- O  d4 }       .       (6)
% U% d) t# \- l0 X/ {& T/ j由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
9 g: A0 a: ]5 U! V5 [         
9 Y6 b- _* E( \5 K若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
; _9 P' a& g6 |+ B2 P0 H1 U

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
( J! c! B4 Y- F4 j9 u8 e2 B3 m                         尺规三等分任意角的逻辑原理
3 ^  z/ v% u' v                        苏小光
6 P% E% i8 k0 \. w! r8 J1 \                      2011年2月20日
/ d1 j$ E. N' f% C* a4 a1 X; @     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
) k& @* _! i7 ^- r                  8x^3-6x-1=0
+ b: H* `. h# P. `# m0 z没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
                 
7 y$ P2 i* K( k+ m   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
6 [4 y) ~# E6 o, F# A. X   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
: m% d6 q) `# M0 o    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
* a/ R! d( E- {4 S3 ^, y            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
" X3 ]! K6 S; X  j3 a, m  y; Z根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
$ ]/ K# u* T4 u: h' R3 L% x& U根据定理1,(2)式,(3)式有
' Z8 e  V; n/ i/ l6 E1 `! m# V% a          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
4 i) q) d0 n. \+ K所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
# |+ A' S% Q/ l: W) }        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
% `" a3 @7 L2 f! t        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
+ u' s* b( A! k        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
5 C0 S  R& T6 m% ~0 w7 U1 ]           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
- t- T" J$ m0 P9 j6 f% I9 d若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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5 R+ p. h& b, ^$ O6 x# ?( S
3 B: ?' B/ a8 o2 m没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
, {5 D- f) e5 v: E* l3 s* \

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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