尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
: T: K& z, i  A0 v% `     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
. X* M" l9 H6 w; s, ~           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
0 }: s( e4 n% H            ∠BAG=1/3 ∠BAC
9 C) d; K( E) b1 w: T, ^# n4 I    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
+ a( o5 ~) X& z5 J" o: d  b3 U   所以圆半径
# q: J. \8 \- q: u, T: l          r=NAB/360,
- Z/ L3 v  s& j9 Q) x( T. y' K. O* v   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
2 h! s% U6 G: T9 n% o- |   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
/ t- Z' [5 \4 V" p, p           ∠BAG=1/3 ∠BAC
5 E/ r3 P; M, R% V$ u- O8 T" r, Z证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
: [0 J# C9 r, `" ?! a7 }! @' B解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
% a# r2 q. j% y3 Z8 Y  m4 W: J          2r\pi=(60AB\pi )/180
6 L% K5 C2 X3 m  e# I# R3 C     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
( h0 ?0 E1 {, `9 B4 H  N   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
; n8 W3 q& E; g" A- z* E! c. \9 ^               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
; C7 t' C# g) S0 @7 b8 \' O9 U" O' d尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
7 Q6 [' g& q: h6 o% r我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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