尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
9 X- n& q& y$ P0 h+ U- d: k                             苏小光
                          2011年2月22日
8 |3 z( Q  O" ]: D2 X     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
, }9 W8 E  d* ^9 L    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
' w9 c& q- z/ T8 x根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
$ D6 d$ O" U9 `0 `3 k1 z           2r\pi=(NAB\pi )/180
/ d  ?# S3 z  |, s& A4 ^7 d   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
+ F' m, U5 ~( S2 p/ I% J( `4 {7 p         r=BD,
7 G2 R* G, C2 Z2 J0 X! x   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
5 a4 d9 V# @1 _( q           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
. H& ~: D: g" J! M( q  D' \    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
: r( K! @, G5 b根据公式1 有
- t- X% V2 e0 T; f% }           l_{1}=(60AB\pi )/180
/ X2 z% Q1 O" ^& S0 R1 ]4 v    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
. u: c& y9 w  z) U3 f8 ?9 p8 K          2r\pi=(60AB\pi )/180
) u& g3 K. p+ }( O     所以圆半径
) y' B* o( Y8 S+ e$ g( p         r=AB/6,
. F* p1 L& x( w, ~) B# @    在AB的延长线上取点D,使
. f0 W2 M5 }* r" L7 h) b        BD=AB/6
  T# W- h- o$ ?* E. ^+ A7 P    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
' W3 j5 C: T3 h$ _               AE/AB=CD/BC
; y# ]: q% Q6 A7 \) K# P' r             x=(a/6a)a=(1/6)a
' A# ?/ ?; j  U3 N尺规三等分任意角.
0 E- A9 e% a, m6 M$ P9 K

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
. T" T4 m0 ~' K( i: b% M我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
1 A2 K8 c/ n$ L! a            关于怎样作出 BD=r   
/ [& m3 b$ p% U+ N% n+ ^        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
6 f% a. P/ \3 J5 j         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
3 W( h$ ]8 b4 m$ F/ r; J' [        △ACE∽△ABD，
       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
8 u0 {5 w7 O* k. x( b) h       BD＝(a／b)AB.
& g8 i- J/ i) P     令
       BD=r
     即为所取.
4 r- v% @7 w$ l- b2 n