尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
* m/ X: ]; H  i                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
0 k( R3 M0 g3 e8 |: L           l_{1}=(NR\pi )/180 .
/ J, F7 A( v/ j5 Q    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
% t% i8 S' ]6 F/ m2 g' [            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
6 K2 }) z. q2 ]! v根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
/ F1 E; |2 g- Q           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
# R$ Z- |% {$ |/ c          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
7 Y' ^9 ]; z9 `         r=BD,
0 [0 o% a) K* ^6 O- a* p   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
! q* A& n( ^: N2 N/ U2 B8 p( e8 \证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
+ R" L4 i* t7 i% F& J& y8 e) w' T    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
; d  v' q" K6 u0 x8 s: a          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
& x; S) R+ G3 \2 O8 q  D- W         r=AB/6,
, M; \5 s) J; n; J6 ]    在AB的延长线上取点D,使
& D* S. ^0 Q3 Q: ]/ t; s+ m  g! D, B        BD=AB/6
: [4 c, V! y% d& @6 `/ C# `! W    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
0 d9 }4 x( l* I: X1 N9 ?       ∠BAG=20(度).
4 g5 y% c9 o2 Y- U" P( E* F   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
5 ?$ O. }+ v3 i6 g作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
, \& z/ N4 g6 c, H, b( L  j- g4 I尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
; R% Q7 [* q, R0 a尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
2 j3 W6 ]% Q; e+ z2 e  E' s! s5 U我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
# D7 I2 E  O5 m# i4 r. F              r／AB=a／b,
9 a( F# s5 B) Y* W         a,b为正整数。
& @4 c; q: I, T         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
" \8 P- m6 [2 |        易证
$ M+ }, p1 g. F' }) S3 f        △ACE∽△ABD，
% e+ J2 F4 P: W       所以
       EC／AC＝BD／AB，
% q, w* r# Y/ g. T! n( E     即
2 J- x. f" l$ u: D) f' y       BD＝(a／b)AB.
7 X) m6 T% |! O9 ^* X& u     令
       BD=r
     即为所取.