尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
# \' t( @% T' Z                             苏小光
' K+ T2 U: m% n3 j                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
2 @1 U9 i1 D( e$ ^    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
: K* ^/ _; h/ p* j  U           l_{2}=2r\pi .
- k7 ]4 F+ N1 u& x4 x( b    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
2 t- b* `+ q4 h            ∠BAG=1/3 ∠BAC
% x2 V: r4 @% V4 d. W& N9 c    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
+ z; G4 Q9 ?, T9 ]/ Q9 Y根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
# N1 @8 n0 u2 O+ U: Q: O5 d* Y           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
6 {& W/ Z8 y( c$ J6 M$ H$ o          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
+ w, Y) i' j/ D! h4 ^; P         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
7 u+ ^0 X6 z# H    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
- E* J6 S+ [1 m7 r7 K) N解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
/ L* s* k1 P6 C- c( }根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
- d5 Q9 y; B# K3 V7 I: ]    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
4 J, K1 R* x0 F7 M     所以圆半径
         r=AB/6,
5 n" {0 a0 f+ K  j. X4 @8 [- Y    在AB的延长线上取点D,使
0 u! P8 r# P* U; p) [        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
3 K9 _) o5 w5 G0 Z8 E% B   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
8 d. z3 L1 r0 ?/ w7 O0 Q* K7 x3 q! I作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
$ R: W; b/ D0 ~9 b8 j( [             x=(a/6a)a=(1/6)a
4 [, k) H3 B+ B& B& Y& O尺规三等分任意角.
* z. k" ]: I( i3 H2 f

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
8 f7 }! F9 V7 D: j5 v. G* b尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
/ F8 I4 r6 h8 k% x  @另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
7 G0 B# w% c3 [1 X* T; G' x5 y9 D我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
  w7 o4 \# O! d5 B              r／AB=N／360
* |+ _. o' W% Z! d$ T5 B9 F- ~2 w        显然有
7 `8 S$ f( A6 p1 S% L$ t1 \+ {              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
/ Y' ~4 a' ]2 N* K, f5 j/ B        易证
        △ACE∽△ABD，
9 ]  \" K; I: q4 u6 }       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
, X8 W. ^) v7 V0 P, p3 K* Y2 Z       BD＝(a／b)AB.
     令
/ S, u( B, d% I( X4 z8 C/ l$ ^. f       BD=r
! s, v9 I' v; e4 @! s. I     即为所取.
% g7 P1 d5 c5 ]  ^- X+ w- W7 f% p