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标题: 求证一个几何题目 [打印本页]
作者: whlysu    时间: 2011-11-24 17:04
标题: 求证一个几何题目
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-24 17:08 编辑 $ l/ j1 D/ K' M2 }- y* A

  h, L+ o  o6 r5 ~# x* n已知：如图! v4 @/ }' f, a1 W+ D; W( i% b
      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点. h+ Z& O: Z! m% P' K* F
      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径" d; o: k- z: o( S+ P) e
      3）⊙N是过点F、G、I的圆& m9 }" o: Z' ?* I1 \
      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点% q7 m* u7 p: x0 q, B; a. A; W
求证：HD=⊙M半径
: i7 P5 a8 i1 [; i6 c4 k 求证.JPG
2 l0 D6 q+ J0 |1 v, B4 _
7 v$ T# v  M! K1 T" F- R& G2 m
作者: whlysu    时间: 2011-11-25 09:11
有木有高手啊？证明不相等也行啊！！8 M. B1 _  l7 o0 z& @2 Z; n
自己顶
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 11:59
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
作者: whlysu    时间: 2011-11-26 17:40
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-26 17:53 编辑
0 q9 z% m. s1 X3 m8 W/ E
zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
' v" _, O9 a% K1 l) @* I四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

2 F) O) ]- {  }- f3 g: q. e* c- Y  x! b/ N  x+ t' g" g+ u: `( U
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
5 J7 _6 Z& d: m  K% l# K$ V现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？4 [  U  O! i7 @3 c5 m
求证明过程！！！
作者: whlysu    时间: 2011-11-29 10:13
怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 13:38
希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）0 X1 X& w  C  \: _$ G2 c4 X( z
在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
$ r3 k, U) _* u# p9 z) q2 `以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
+ h9 J9 K! K* V" P4 L, O设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
( J4 h: ~4 s! t0 N6 K0 LD坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
! ]/ p9 z' o; k& F根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
' J0 D  g( y) E7 o（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）/ D6 p' \# E: V  C
同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）+ v6 G' z% x4 t: K7 }
由F、G、I三点确定的圆的方程为, \) K" a% F' p6 \, f  y) I
|x^2+y^2                x                              y                          1       |
/ F8 h7 h  r5 e) z4 M1 G; J|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |: Q& T' N# C4 k9 w5 ^
|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0, n  j% G" N/ V% J  \1 q$ K" }
|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |: @; h3 u2 N+ i; t. q! S( Z
5 c2 w/ D' t0 K9 j, N  o
把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
6 e. l2 }+ h  y' d证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。
作者: whlysu    时间: 2011-11-30 16:25
yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
: b3 {2 x7 _" V$ K! o希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
5 c+ a, f2 c5 v* V2 X在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...
! j6 I5 o+ y) |
你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！, W5 e6 e& h8 s
不过给了我点思路。。。。
6 g3 B4 K: V$ e6 f) k我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 22:39
whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
: X1 ~. R- k3 e" g; M你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！* e3 k  E& ^: d4 S+ }5 E# l; c
不过给了我点思路。。。。: l' t( c9 B7 ^% o  c. b4 q
我试试以A点建立极坐 ...
6 C+ ?2 G' @$ Q; n$ d' @2 e! _
嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧
作者: whlysu    时间: 2011-12-1 08:42
yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39 2 R3 L& `% b% x% H  w1 O
嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...
9 Z  I$ u& w% I& p" V& O. ]& W) Q2 b
如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-1 14:11
whlysu 发表于 2011-12-1 08:42
/ E9 b! X+ x6 A如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
6 q' j5 S1 L. j, s4 ?
我不确定你的图做的是否标准。。。
作者: 严泉泡    时间: 2011-12-11 14:31
这个贴子要顶~~~~~~~~~~~~~~
作者: whlysu    时间: 2011-12-23 18:40
自己没做出来，但不想让帖子就这么沉了，等待高手中。。。。。。。。。。。。。
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:17
结论不成立吧！
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:21
用极坐标证明，把A放在圆点，证明动弦减去半径后得到的点的轨迹不是圆不就行了
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:38
看看我的判断有没有问题：' d7 S% ?) K3 m( |$ N/ U4 o# [
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ），从而，在AK上取P,使PK=1 满足P点滿足方程ρ=2COSθ-1,可判断P的轨迹不是圆
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-28 17:16
赞同楼上观点
作者: whlysu    时间: 2012-1-4 09:09
xxgzftj 发表于 2011-12-28 15:38
+ e/ k5 _) G2 T% ?看看我的判断有没有问题：; [2 N& }' Z3 H9 j, V2 @- R' ^
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ ...

& f0 k; y& {+ L+ I3 C4 J7 M点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 19:59
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09 2 g# g3 o5 S. d/ H/ m
点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
; z2 b4 S0 ?) a. _% {4 d+ @
整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者不就矛盾了。
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:01
一时没想周全，帮忙看看还有问题没
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:02
能说一下这道题的题源么
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 13:46
xxgzftj 发表于 2012-1-4 20:02
3 I% K, L& {5 o; B. K% m/ ]5 S能说一下这道题的题源么
+ f8 ]: z4 ^( n' s
题源来自这里：/ C( J; u3 [1 x
http://www.madio.net/thread-104188-1-1.html6 y/ }+ v( p! o( M+ a0 J
在这个帖子中不知怎么得到AK+SK的。+ q! G: g$ \( ]# f1 C3 @; a
最后得出结论：只要能证明我出的这道题就能证明那个帖子中的尺规三等分任意角。
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 14:09
xxgzftj 发表于 2012-1-4 19:59 0 \& Z) w: V8 j# V; o& S9 ~4 M2 e. U
整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者 ...

6 k9 V) c# g3 v) B7 d: z整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，+ u' @) N% O4 m5 k  `
只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-6 15:32
whlysu 发表于 2012-1-5 14:09
# G1 W+ w! f' k# E整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，
  S3 S/ H$ b& L5 \' E只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！

1 C2 x; V( K$ H6 w  U# U% e局部也不是圆。要得到圆的话只有俩办法，（一）整体图形是圆，然后从其中取一部分；（二）整体图形由圆弧和其他图形分段连接而成，再取一部分。从ρ=2cosθ-1看应该都不符合
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-14 23:11
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09 1 z  S, g1 X) e  L. @( K! O2 @  f3 ]
点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件

1 d: s4 V3 E( \4 L' N# H& X' [4 o: T再看看满意不
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-18 20:52
作者: xxgzftj    时间: 2012-3-19 00:00
作者: 红柳树    时间: 2012-4-13 18:53
这道题可以这样表述：已知圆C：(x-R)^2+y^2=R^2,A(0,0);B为C上之动点，E为AB上的点且BE=R,求E的轨迹方程。9 A- u" @8 Z; E$ z7 d0 p1 j8 Q
        设E（x,y)* M) \. E: C' Q$ e; e
        用极坐标表示C的方程式：r=2*R*COSθ
, e+ Z* L6 u& r5 e* G+ J        则E的方程式为：r=2*R*COSθ-R
! `$ j! Y% O4 N        可知 x=R*(2*cosθ - 1)*cosθ  ;   y=R*(2*cosθ - 1)*sinθ7 B9 n7 j% C8 ]4 ~: D; ?5 `6 \( [
        化简它，看是不是圆或某段是圆，就行了
作者: cool-liu    时间: 2012-10-25 16:37
前面的几种证明思路我都看过了，我觉得都不好证明。这里其实用初中的几何知识和证明方法就可以证明本题了，我把我的思路大致的写下来，希望对解决这道题有帮助。我的思路是：首先我们要充分的利用好题目中的8 {5 X$ ?7 P9 D2 y4 A$ D
2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径，这个条件，连接BM,CM,EM和DM,我们要把证明HD等于圆M的半径转化为证明三角形HDM为等腰三角形，而前面的条件也类似的可以转化为几个等腰三角形，再利用这里的几个角与角之间的关系来转化，可能要用到圆心角，圆周角定理等，最会证明在三角形HDM中两底角相等，即证明它为等腰三角形，及证明HD等于圆MD的半径
作者: cool-liu    时间: 2012-11-28 16:42
大家看这题怎么解
作者: 蹶腿的圣徒    时间: 2012-12-20 23:11
可以确认结论是错误的。因为由对称性知：I可以位于直线NM下方，相应地H可位于NM上，那么只要圆N不经过点M,HD就不会等于半径。



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