论给定区间素数的分布规律公式

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论给定区间素数的分布规律公式

田永胜

（内蒙古自治区  吉兰泰  750333）

        摘要：通过对自然数按照一定方向旋转排列，找到了自然数的等势区间并集，并对每个区间的素数分布情况进行研究，给出了在给定区间内素数的分布定理、公式及推论。

        关键词 自然数；螺旋排列；给定区间；素数分布；规律；

        引言

        自然数沿数轴方向排列时，素数的分布没有规律可循；当把自然数按一定的方向旋转排列时，素数的分布就变得有规律。下面揭示它的分布规律。

        1 自然数的排列规律

        首先，按逆时针方向把自然数进行排列，如下图：

                                                               

自然数螺旋排列图

        从上图可以看出，自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成，[1]∪（1，9]∪（9，25]∪（25，49]∪（49，81]∪（81，121]∪……∪（（2x-3）^2，（2x-1）^2]…。并且，每个区间的最大数都是奇数（2x-1）的平方。

        2 素数分布定理和公式

        首先，来研究每一区间数字的素数分布情况：

第一区间只有自然数1，素数个数为0。

第二区间为（1，9］，有8个数字，其中素数有4个，所占比例为 4/8=0.5。

第三区间为（10，25］，有16个数字，其中素数有5个，所占比例为 5/16=0.3125；

第四区间为（25，49］，有24个数字，其中素数有6个，所占比例为 6/24=0. 25；以此类推。

其次，再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律。1在中心，不是素数；在区间（1，9］有8个自然数，最大数是9，求9的自然对数的倒数，1/ln9≈0.455，与该区间实际素数所占比例接近；乘以总数8，值约等于3.64，取整数后为4，与该区间实际素数个数相同。在区间（10，25］有16个自然数，最大数是25，求25的自然对数的倒数， 1/ln25≈0.311，与区间内实际素数所占比例0.3125很接近，乘以总数16，值约等于4.97，取整数后为5，与该区间实际素数个数相同。在区间（25，49］有24个自然数，最大数是49，求49的自然对数的倒数， 1/ln49≈0.2569，与区间内实际素数所占比例0. 25很接近，乘以总数24，值约等于6.16，取整数后为6，与该区间实际素数个数相同。以此类推，如素数分布规律表所示。
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素数分布规律表

        由上表可以看出，在第2到第8区间，实际素数个数与理论素数个数相等，其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动，每个区间实际素数的所占比例和理论素数分布密度非常接近。

下面，给出素数分布定理的一般形式。

定理

        设x为自然数，在给定区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，素数的分布密度公式为

1/ln（2x-1）^2

        给定区间内自然数的个数为  

（2x-1）^2-（2x-3）^2=8x-8

        用π(x)表示给定区间内的素数个数，则给定区间素数个数与自然数的个数之间存在如下线性关系

π(x)=( 8x-8)/ ln（2x-1）^2

        若用Sn表示n圈内素数的总和，则
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        推论1 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，只有有限个素数，当x趋向无穷大时，素数也趋向无穷大，即
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        接着，再来看每一个区间的孪生素数的分布情况：在区间（1，9］内有2、3和5、7两对孪生素数，在区间（9，25］内有11、13和17、19两对孪生素数，在区间（25，49］内有29、31和41、43两对孪生素数，在区间（49，81］内有59、61和71、73两对孪生素数，在区间（81，121］内有101、103和107、109两对孪生素数，在区间（121，169］内有137、139和149、151两对孪生素数，在区间（169，225］内有179、181和191、193两对孪生素数，每一区间内被小于或等于（2x-1）的素数约去后，都有两对孪生素数。因此，得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数。
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        推论2 在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内至少有两对孪生素数。当x趋向无穷时，孪生素数也趋向无穷。

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        推论3

在区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］内，实际素数个数总是在理论素数个数左右波动，即它们的比值在1左右波动，当x取有限数值时，所有区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值趋向1。当x取无穷大时，无穷区间实际素数与理论素数之比（π(x)/(（8x-8）/ln(2x-1)^2)）的平均值等于1。即当x→∞时，

{π(1)/ [（8×1-8）/ln(2×1-1)^2]+ π(2)/ [（8×2-8）/ln(2×2-1)^2]+

π(3)/[（8×3-8）/ln(2×3-1)^2]+…+π(x)/ [（8x-8）/ln(2x-1)^2]}/（1+2+3+…+x）=1

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1 ^, K$ O4 c4 _- x10031至10040区间素数分布情况，实际素数在理论素数左右波动，实际素数总数40541，理论素数总数40515，差值26，占比26/40515=0.000641737。单个区间最大偏差（4111-4052）/4052=0.0145607。见附图。
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. g! k0 W8 h4 ?/ Z( ?4 w1021至1030区间素数分布情况，实际素数在理论素数左右波动，实际素数总数5374，理论素数总数5374.单个区间最大偏差（562-537）/537=0.04655493，见附图。
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2 |% Z; p0 G4 I9 z- y" ~  f
! y* v; @) f/ v5 x9 \7 F% |给定区间素数的分布问题，其实就是素数的筛选问题，我们不可能一下子解决所有的素数的筛选问题，只能分区间来进行，这样问题就好分析了。自然数集可以表示为一系列连续区间的并集，分别对这些连续区间的素数分布情况进行研究，就会发现一些规律和公式。
" u& q" |, d2 ^& Q, ^对于给定区间（（2x-3）^2，（2x-1）^2］，素数的多少可以用小于或等于2x+1的素数去约，剩余的就是素数，用素数筛选后素数所占的比例是多少呢？
/ P* [9 L' H8 T* x# i; f设给定区间数的比例为1，
被2除后余1-1/2=1/2，
0 |( ?5 @) O) s! T8 A/ s' u被3除后余1/2-1/2*1/3=1/3，
被5除后余1/3-1/3×1/5=4/15，
; G' ^: ^- O3 ?* X0 P被7除后余4/15-4/15×1/7=24/105；
被11除后余24/105-24/105×1/11=240/1155；
- D+ `8 Z  T: J7 U8 O7 ]" D% d被13除后余240/1155-240/1155×1/13=2880/15015；
) N3 z& @* c$ ?* d( X" o) H) l被17除后余2880/15015-2880/15015×1/17=46080/255255；
被19除后余46080/255255-46080/255255×1/19=829440/4849845；
被23除后余829440/4849845-829440/4849845×1/23=18247680/111546435；
9 F$ \- v% D( h6 x. m以此类推。
例
第2区间（1,9]，自然数有8个，被2约后剩余1/2，8×1/2=4；
第3区间（9,25]，自然数有16个，被3约后剩余1/3，16×1/3=5.33，取整为5；
第4区间（25,49]，自然数有24个，被5约后剩余4/15，24×4/15=6.4，取整为6；
第5区间（49,81]，自然数有32个，被7约后剩余24/105，32×24/105=7.31，取整为7；
第6区间（81,121]，自然数有40个，被11约后剩余240/1155，40×240/1155=8.31，取整为8；
第7区间（121,169]，自然数有48个，被13约后剩余2880/15015，48×2880/15015=9.21，取整为9；第8区间（169,225]，自然数有56个，被13约后剩余2880/15015，56×2880/15015=10.74，取整为10；
9 w6 d: W% L( V第9区间（225,289]，自然数有64个，被17约后剩余46080/255255，64×46080/255255=11.55，取整为11；
7 `0 ]( u8 e9 d' A第10区间（289,361]，自然数有72个，被19约后剩余829440/4849845，72×829440/4849845=12.31，取整为12；
  以此类推。

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& c' y( x- I; w1 E! _+ T, D% X# k    突然发现素数是有限的，当对素数的分布密度1/ln（2x-1）^2求极限时，即x→∞时，lim1/ln（2x-1）^2=0，也就是说，无穷区间的素数概率为零，素数也为零，即( 8x-8)/ ln（2x-1）^2=0，因此，推论1的极限应该是0，而不是∞，所以得出1到∞区间的素数的总和是有限的结论。
* b9 Z  k* N' y2 A  v3 m& H8 _

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又一个数学悖论，素数真的是无穷的吗？
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% W7 s# V: ^& q. q' F: d想了一个月，突然想到，如果引入无穷小的概念，就可以解决这个问题。

) L' |% f$ p5 q0 u    因为1位于无穷个区间的中心，数字按照等角螺旋进行排列，无穷大的倒数自然就是无穷小了。如果我们用符号⊙表示无穷小，那么
! z* A' v& g& Mlim1/ln(2x-1)^2的极限值就等于⊙。

    这个结果验证了我们常说的一句话：宇宙其大无外，其小无内

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发张JPG格式给定区间素数分布表。

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    1793年，德国数学家高斯由直觉看出了素数的分布的渐近分布定律：π(x)=∫dx/lnx,从2-x的积分。
高斯和勒让德还猜想极限(x→∞)limπ(x)/（x/lnx)=1，这个猜想就是著名的素数定理。1849年，俄国数学家切比雪夫发表博士论文，在假定π(x)/（x/lnx)极限存在的前提下证明了(x→∞)limπ(x)/（x/lnx)=1。
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; |% M% R2 f0 l: Z    其实，前辈的猜想是对的，高斯是以1000为单位的区间，看出了素数的分布的渐近分布定律，而本人通过研究相邻两个奇数平方之间的区间素数分布，给出了区间素数分布的公式，实际与理论素数之比在1左右波动，如果把所有区间的比值平均，平均值趋向数值1。

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给定区间实际素数与理论素数之比的平均值趋向1。图中三个平均值平均后为1.000894746。