本帖最后由 tysh670407 于 2016-6-6 07:35 编辑 ) o+ X3 c) K7 g* S* m
j& f I% q" V3 v' `& {# C: P. ]6 ~
论给定区间素数的分布规律公式4 s* d& j$ R# u6 r9 X y7 l
* b( j8 S) E8 j& b/ _) {# L0 D田永胜 (内蒙古自治区 吉兰泰 750333) 摘要:通过对自然数按照一定方向旋转排列,找到了自然数的等势区间并集,并对每个区间的素数分布情况进行研究,给出了在给定区间内素数的分布定理、公式及推论。 关键词 自然数;螺旋排列;给定区间;素数分布;规律; 引言 自然数沿数轴方向排列时,素数的分布没有规律可循;当把自然数按一定的方向旋转排列时,素数的分布就变得有规律。下面揭示它的分布规律。 1 自然数的排列规律 首先,按逆时针方向把自然数进行排列,如下图:
$ |+ Z! b7 H* y9 v
. H4 e% L0 w, P3 y自然数螺旋排列图 从上图可以看出,自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成,[1]∪(1,9]∪(9,25]∪(25,49]∪(49,81]∪(81,121]∪……∪((2x-3)^2,(2x-1)^2]…。并且,每个区间的最大数都是奇数(2x-1)的平方。$ V# Q/ ]. ^& g$ V U( S+ z
2 素数分布定理和公式! m d, q- A6 F( y
首先,来研究每一区间数字的素数分布情况: 第一区间只有自然数1,素数个数为0。 第二区间为(1,9],有8个数字,其中素数有4个,所占比例为 4/8=0.5。 第三区间为(10,25],有16个数字,其中素数有5个,所占比例为 5/16=0.3125; 第四区间为(25,49],有24个数字,其中素数有6个,所占比例为 6/24=0. 25;以此类推。 其次,再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律。1在中心,不是素数;在区间(1,9]有8个自然数,最大数是9,求9的自然对数的倒数,1/ln9≈0.455,与该区间实际素数所占比例接近;乘以总数8,值约等于3.64,取整数后为4,与该区间实际素数个数相同。在区间(10,25]有16个自然数,最大数是25,求25的自然对数的倒数, 1/ln25≈0.311,与区间内实际素数所占比例0.3125很接近,乘以总数16,值约等于4.97,取整数后为5,与该区间实际素数个数相同。在区间(25,49]有24个自然数,最大数是49,求49的自然对数的倒数, 1/ln49≈0.2569,与区间内实际素数所占比例0. 25很接近,乘以总数24,值约等于6.16,取整数后为6,与该区间实际素数个数相同。以此类推,如素数分布规律表所示。
' U+ f# y& V$ C: u! W4 S R
$ D5 E; v. p7 U4 _# U. X" F( _, u
素数分布规律表 由上表可以看出,在第2到第8区间,实际素数个数与理论素数个数相等,其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动,每个区间实际素数的所占比例和理论素数分布密度非常接近。 下面,给出素数分布定理的一般形式。 定理 设x为自然数,在给定区间((2x-3)^2,(2x-1)^2]内,素数的分布密度公式为 1/ln(2x-1)^2 给定区间内自然数的个数为 (2x-1)^2-(2x-3)^2=8x-8 用π(x)表示给定区间内的素数个数,则给定区间素数个数与自然数的个数之间存在如下线性关系 π(x)=( 8x-8)/ ln(2x-1)^2 若用Sn表示n圈内素数的总和,则
: K( i t+ f- o6 d v6 w
( f; @+ h% h% X' W: s$ q/ K+ s
推论1 在区间((2x-3)^2,(2x-1)^2]内,只有有限个素数,当x趋向无穷大时,素数也趋向无穷大,即 * S9 y* U3 n, ?: ~' w
3 U& q9 x: B8 U, t$ `3 G
接着,再来看每一个区间的孪生素数的分布情况:在区间(1,9]内有2、3和5、7两对孪生素数,在区间(9,25]内有11、13和17、19两对孪生素数,在区间(25,49]内有29、31和41、43两对孪生素数,在区间(49,81]内有59、61和71、73两对孪生素数,在区间(81,121]内有101、103和107、109两对孪生素数,在区间(121,169]内有137、139和149、151两对孪生素数,在区间(169,225]内有179、181和191、193两对孪生素数,每一区间内被小于或等于(2x-1)的素数约去后,都有两对孪生素数。因此,得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数。
# K5 } H6 L3 A1 J5 i8 a
# z- S; E y. S1 B 推论2 在区间((2x-3)^2,(2x-1)^2]内至少有两对孪生素数。当x趋向无穷时,孪生素数也趋向无穷。 1 P& [2 u" T9 E, t4 m# ^: o( {& A
7 B3 O1 d" j* c
: o. g; ~. F3 B
! `' }: f+ [4 l$ J7 g$ e 推论3 在区间((2x-3)^2,(2x-1)^2]内,实际素数个数总是在理论素数个数左右波动,即它们的比值在1左右波动,当x取有限数值时,所有区间实际素数与理论素数之比(π(x)/((8x-8)/ln(2x-1)^2))的平均值趋向1。当x取无穷大时,无穷区间实际素数与理论素数之比(π(x)/((8x-8)/ln(2x-1)^2))的平均值等于1。即当x→∞时, {π(1)/ [(8×1-8)/ln(2×1-1)^2]+ π(2)/ [(8×2-8)/ln(2×2-1)^2]+ π(3)/[(8×3-8)/ln(2×3-1)^2]+…+π(x)/ [(8x-8)/ln(2x-1)^2]}/(1+2+3+…+x)=1
4 q, m1 z& m8 P" c1 A; F0 P* r7 T
4 a) \7 i8 B# ]2 D4 K1 G4 Z
7 g3 P" {6 m( p( w, q# U& }, p7 g1 d/ W% W; E: G; {' } I+ Q
3 T t4 R8 s5 g- ^$ A
1 d3 ^3 X B! I5 T! k" b0 @
2 c9 g* f1 s* h6 ~3 H% m u, K; p( q. y2 c
& m+ i+ X0 |5 X1 V8 Y$ \5 S/ w1 x+ e7 L6 S0 y+ V* E
* d5 s. w2 v7 y8 m9 e
$ r# \8 R \; q" m" j) c# G% K& B. w) T \
|