尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
! z! Q- t. p5 T5 I                             苏小光
                          2011年2月22日
" o9 {! m  E* ]5 y% g     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
; y( S1 K' r( r! Y' e/ p0 M           l_{2}=2r\pi .
+ Q, h, N* y) q    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
% R( @0 q" p$ }# y& I            ∠BAG=1/3 ∠BAC
# {* U3 ]# E, }$ V- {: D5 \    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
8 }8 S3 |* ^: A& F+ _根据公式1 有
+ R  _" L: m. w- ]7 _6 [* I4 c+ u           l_{1}=(NAB\pi )/180
5 X6 S! H& d% C   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
# ]' ?, }8 s) C+ p           2r\pi=(NAB\pi )/180
  p' V9 P' D2 C" o' h   所以圆半径
4 w/ G' j; j2 z$ ^1 b          r=NAB/360,
2 r2 s2 s! g4 }% d' {/ @   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
/ x3 E4 h1 N0 V& M           ∠BAG=1/3 ∠BAC
1 i7 x6 b; J0 L9 \  @. T9 k3 \' ^# ]& Q证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
; \6 Z5 b$ R* W9 P- b; h    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
3 S* i6 x% r4 o          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
4 ?- R8 ?2 R6 P" B- \: X- ]        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
0 z, I. A: O. }$ [, }& Y+ e! i   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
6 n+ m1 E- \# s' ]# A             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
* y0 @) W/ ~; @1 I8 Q3 W

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
2 _) _& U4 k- v* m尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
* z; i- |; J8 g- k. c2 f- N        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
& L: g0 @* K  i              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
. w* a9 y4 ^9 D# @' H         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
" {3 A5 S3 H9 ]  h        易证
        △ACE∽△ABD，
- D! a6 g" X9 x6 V1 n. W       所以
       EC／AC＝BD／AB，
$ a& T- W! k0 P3 c     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
) G) s8 y  y9 ?* Y9 ?     即为所取.
& [" t5 |  s$ s  s) p9 Y( k. l