尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
  j% b5 ^# @( y3 E* P     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
* X: Z4 t: ]" o8 t" R3 \8 U7 D& @    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
6 G( d" X3 N7 `$ Y3 z. y           l_{1}=(NR\pi )/180 .
2 J! D/ y6 o7 E4 [0 |' a/ [    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
, d" g1 R, P4 d) A2 X6 L    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
! e; ~0 V0 {- B* ?( ]            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
7 ^1 Z4 O- m0 p. R           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
% C9 I. @# g0 w* ]6 m           2r\pi=(NAB\pi )/180
. _2 t" e0 C/ o3 n   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
; u5 @6 c9 N, l; M. p. u   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
, Z9 r- v* I5 }( N- a           l_{1}=(60AB\pi )/180
- i! F' `7 o' j    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
/ m0 U7 |' g. w( ]& e: z5 r& ^& `          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
! @6 N7 \9 q) `4 X1 h         r=AB/6,
' n3 T7 V$ p: J  h0 w3 @    在AB的延长线上取点D,使
3 \. ?: ^% _( f  ]3 @        BD=AB/6
7 D. H4 g+ e" D$ C/ W    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
( Q* P, H$ O' r  ?       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
/ F1 f  ]% |5 \/ H2 L  s5 y2 m作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
5 X  N; m1 B5 O               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
' u2 y2 f2 p& Q$ `5 v尺规三等分任意角.
0 D7 S. e3 M2 z: a% u7 x

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
$ M- c- A5 @. }" q我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
: c: \1 n. Q9 m        由一楼有
6 j* S' q' I5 E* Q+ [              r／AB=N／360
        显然有
' n7 J7 ]- L" R              r／AB=a／b,
$ o6 j! x  Y6 ?+ D8 R  I         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
8 R0 e- j9 p8 z! Q' h. x# }# K        △ACE∽△ABD，
       所以
6 f# x$ ]. S# L: ^+ u1 w, m3 r0 D/ `       EC／AC＝BD／AB，
  u1 g4 o9 Q) t     即
       BD＝(a／b)AB.
2 _9 h0 y! ~5 {+ ]/ y8 J* _     令
. U+ g, K% e8 j" K       BD=r
     即为所取.
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