尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
7 f! r* @) c- X. w# d! _! o% ~                          2011年2月22日
( C# A0 ]7 y) H     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
, V3 T1 f& M0 }2 n7 D; g    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
2 b  {+ s* c. f" b$ A- z2 z1 j% z           l_{1}=(NR\pi )/180 .
9 |3 R4 a  _+ i/ p' l    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
6 q7 r7 s5 l9 M' a; s; Q: g1 O           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
- J3 E/ u8 _$ V- F1 P7 k# t   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
, K8 g& s4 \7 ?& s9 ^           2r\pi=(NAB\pi )/180
8 E6 S& {2 U( N$ [   所以圆半径
8 s9 c: G) a4 g) R7 Y1 M) N          r=NAB/360,
- h6 g. N. C$ Q9 m   在AB的延长线上取点D,使
+ `% R5 P& y! y% ~" q         r=BD,
. h1 x0 N  m7 m$ h3 T' j) _   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
9 V1 h0 D" j7 b7 M& l; H8 B           ∠BAG=1/3 ∠BAC
5 ~: U1 V) Z1 M0 J7 X证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
- _3 M# [  J6 Q' p           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
, o! V3 C4 S9 I# o. \: T2 Z          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
: K6 I4 N& \# C- R$ s3 U8 R, u3 j         r=AB/6,
1 Q: g) g) t# J# W: }0 M    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
6 T) J, R" g! T) p& B0 L$ [& `( V    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
( N# Z" C1 K* r& T; A5 b$ B( O* i; O   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
5 r* [: h( l6 D5 f- m作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
4 q  j. L$ F: Y5 Z               AE/AB=CD/BC
2 b* i# ?. _& g1 D2 {             x=(a/6a)a=(1/6)a
& W5 w' M) L, r9 i: w1 n* y尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
" [, H6 `" S  _% O* E* V; Z我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
3 [& I+ c# }4 u( z  n            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
+ V$ j, ~3 V* }6 p8 [/ G6 D. r              r／AB=N／360
0 K+ E1 j+ x6 @6 P        显然有
              r／AB=a／b,
5 U2 S+ G' W5 ^0 g/ r" Q: }- n) {         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
# g7 B0 }) t! O% g" n        易证
' V$ U2 S( p- U( C& R6 e        △ACE∽△ABD，
       所以
1 v8 g8 \+ e! v: |       EC／AC＝BD／AB，
. W. S  X, ^: M" A* q6 x- B     即
       BD＝(a／b)AB.
/ k: n+ x, {+ e7 I  J( ^& s- e     令
       BD=r
     即为所取.