求证一个几何题目

whlysu

+ {. b9 e$ B5 `* V) F; O5 D
1 ~" `. f- g7 c& E( Z6 P已知：如图
      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
; L2 R1 e8 D' @6 |3 K      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
      3）⊙N是过点F、G、I的圆
      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
求证：HD=⊙M半径

$ Y3 Z$ ?) M1 O1 u5 `+ |7 S& u
. O/ ~# U- `1 I: r3 E  }- I/ j- O

whlysu

有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
% _' H& |- o; ^3 x自己顶

zhenglingming

zhenglingming

四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

whlysu

zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

9 ]' `% h* \5 `' L如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
求证明过程！！！

whlysu

怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！

yinbaoli

希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
3 d" z  M5 B5 a6 l) \' E# a$ f) s在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
D坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
1 I; v+ U, U4 f2 |2 u- T根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
- W, w0 }& i% j. J（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
' x2 C4 _7 X/ p- q9 p. h* Q同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
由F、G、I三点确定的圆的方程为
7 L% I8 Z+ B# P! `5 z; p|x^2+y^2                x                              y                          1       |
, K5 U! F- u# U! P# W5 i5 P6 K|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
" K7 d" g% {3 G9 a9 w|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
3 _2 U) W* v2 x8 F" x# e. p|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
7 K, z# L& I& j+ x* o( E
3 }% B; N9 F, @2 i6 y/ P; _把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
" E. K. F) t- H3 B4 B- O证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
: y  p8 j. M+ `/ q$ o希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...

9 S/ y- l4 W3 b( P/ {$ a你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
0 j5 Z+ ~5 d- n0 P) v不过给了我点思路。。。。
4 J, A  o5 E" j1 w7 P% j我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解

yinbaoli

whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
( r. R# V$ c" h) k) ~2 R你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
不过给了我点思路。。。。
我试试以A点建立极坐 ...

) `- B/ F7 i; A% e嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧

whlysu

yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
8 }6 F  R: O# {嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。