数学建模算法总结（二）

杨利霞

数学建模算法总结（二）
第十一章 方差分析

' m4 R* |% c& o1 w7 u) j为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。
人们关心的试验结果称为 指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为 因素或因子，因素所处的状态称为 水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析
只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同水平时指标有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。

/ R/ i8 f8 M1 P5 u& Q4 }* N/ s§2 双因素方差分析
5 F1 Q5 _: U8 G1 N如果要考虑两个因素 B A, 对指标的影响， B A, 各划分几个水平，对每一个水平组
合作若干次试验，对所得数据进行方差分析，检验两因素是否分别对指标有显著影响，
! V5 t+ i8 L9 x或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。
! h2 e3 _' M: g0 Y+ s$ `  p
§3 正交试验设计与方差分析
由于因素较少时，我们可以对不同因素的所有可能的水平组合做试验，这叫做全面试验。当因素较多时，虽然理论上仍可采用前面的方法进行全面试验后再做相应的方差分析，但是在实际中有时会遇到试验次数太多的问题。如果考虑更多的因素及水平，则全面试验的次数可能会大得惊人。因此在实际应用中，对于多因素做全面试验是不现实的。于是我们考虑是否可以选择其中一部分组合进行试验，这就要用到试验设计方法选择合理的试验方案，使得试验次数不多，但也能得到比较满意的结果。

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/ i$ g# g8 T$ R第十二章 回归分析
' b  t5 |; O2 W& @
曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已经完全解决了，还有进一步研究的必要吗?
( r3 ]" ~0 H; W5 i6 C) Z3 l从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
4 s  r' r" A) N4 u（i）建立因变量 y 与自变量 x1,x2,……，xm之间的回归模型（经验公式）；
# z! ~# f& X2 h- M$ ^& j（ii）对回归模型的可信度进行检验；
（iii）判断每个自变量xi=(i=1,2,……，m)对 y 的影响是否显著；
（iv）诊断回归模型是否适合这组数据；
- K$ g- m* M( L2 y9 u' i- `（v）利用回归模型对 y 进行预报或控制。



/ {. M1 B( g: w1 }% ~; v/ c' P0 Z5 ]第十三章 微分方程建模

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以
6 g2 P% b( P; h0 ^: Q5 b, _, N9 b# r下几步：
5 I3 J6 m# j3 \( P: ~, T1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
' l2 l0 {* C% t9 f  B3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
  r4 ]5 k' W' y* o5 q列方程常见的方法有：
4 t% N6 L9 n; e（i）按规律直接列方程
在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法
自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法
7 s# v; G+ {, m6 j7 P在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。


0 K- x5 M2 j2 n6 G! x
第十四章 稳定状态模型

8 F' y- z' k; {* d% _6 \& L虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。


7 ^1 W& X  J3 H) K8 B/ n, e
第十五章 常微分方程的解法
4 p4 f* W4 K6 ^3 c
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
! f. U& c3 ~" r" [- H
$ u% J& N7 Y$ [% \& T欧拉（Euler）方法、龙格—库塔（Runge—Kutta）方法、线性多步法、一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法

: `9 T- o3 ]# `; P4 J) p: h8 J

& o# y4 l2 R; f  ~第十六章 差分方程模型

' L: H7 V; I8 Z$ V& W/ V; M/ Y特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等）

只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。

- k5 p! _9 a6 E6 a
第十七章 马氏链模型

. [4 [9 n* C; Z! z马尔可夫链的定义
现实世界中有很多这样的现象：某一系统在已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻累计销售额无关。上节中的几个例子也均属此类。描述这类随机现象的数学模型称为马氏模型。

2 A5 Y; d, H4 V% m; l/ N; B

第十八章 动态优化模型
! ~7 T! b) _9 b, u& I% L
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
  ~: U6 ^% Q! M9 u7 T
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
8 i: d7 g: r0 V& {+ e


" l" J+ V  A* N7 g- K第十九章 神经网络模型
/ W; Q, g2 }) P) Y
40 多种神经网络模型，其中比较著名的有感知机，Hopfield 网络，Boltzman 机，自适应共振理论及反向传播网络（BP）等。
* ~( U  ]: U* I
- ]3 z' f& j8 l0 F+ k人工神经网络（artificial neural network，以下简称 NN）有三个基本要素：
6 z4 f' d( t5 ~5 g1 Q' X" l（i）一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。
1 ]9 Y. z5 f" w  ?: i6 s# g: p（ii）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。
. Y7 f% d, _5 G, |8 n7 n6 A（iii）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范围内（一般限制在 （0,1） 或（-1,1） 之间）。
0 M6 P$ V# R5 G  m) [+ `
网络结构及工作方式
除单元特性外，网络的拓扑结构也是 NN 的一个重要特性。从连接方式看 NN 主要有两种。
（i）前馈型网络
/ \" h7 U; l( d* n各神经元接受前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。结点分为两类，即输入单元和计算单元，每一计算单元可有任意个输入，但只有一个输出（它可耦合到任意多个其它结点作为其输入）。通常前馈网络可分为不同的层，第 i 层的输入只与第 1 − i 层输出相连，输入和输出结点与外界相连，而其它中间层则称为隐层。
（ii）反馈型网络
所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。
NN 的工作过程主要分为两个阶段：第一个阶段是学习期，此时各计算单元状态不变，各连线上的权值可通过学习来修改；第二阶段是工作期，此时各连接权固定，计算单元状态变化，以达到某种稳定状态。
从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优化问题。


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第二十章 偏微分方程的数值解（2017年美赛B题、2005年美赛B题涉及泊松分布）

自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
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各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
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