多目标最优潮流问题的模糊建模及内点解法

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电压稳定分析的改进连续潮流法 郭瑞鹏　韩祯祥 摘　要　由于潮流雅可比矩阵在临界点处奇异，临界点附近病态，连续潮流计算在临界点附近的收敛性无法得到有效保证。为克服该缺点，对局部参数连续法作了一定的改进，改进后的算法能够有效保证连续潮流计算在临界点及其附近的收敛性。与CPFLOW程序的比较结果证明了该方法的正确性和有效性。 关键词　连续潮流　电压崩溃临界点　雅可比矩阵　奇异 分类号　TM 712 AN IMPROVED CONTINUATION POWER FLOW METHOD FOR VOLTAGE STABILITY ANALYSIS Guo Ruipeng, Han Zhenxiang (Zhejiang University, 310027, Hangzhou, China) Abstract　The convergence of conventional continuation power flow calculation can't be guaranteed near collapse point because of the singularity of Jacobian matrix at collapse point. To overcome it, locally parameterized continuation power flow method is used for improvement. The improved method can effectively guarantee the convergence of continuation power flow calculation even near collapse point. Comparison with the CPFLOW program on IEEE-118 bus test system confirms its correctness and effectiveness. Keywords　　continuation power flow；point of collapse；Jacobian matrix；singularity 0　引言 　　电力系统电压稳定研究的一个重要方面就是寻找恰当的安全指标和尽量快速而又有足够精度的计算方法。已经提出的安全指标主要有各类灵敏度指标、潮流雅可比矩阵的最小奇异值指标、负荷状态空间中潮流多解间的距离指标和裕度指标等。裕度指标能较好地反映电压稳定水平，受到电力界的广泛重视［1］。 　　为了计算出临界点，人们在开始的时候用常规潮流程序计算，逐渐地增加负荷，对每一步重复进行潮流计算。由于雅可比矩阵临界点处奇异，临界点附近病态，潮流计算将无法收敛，于是就把所能计算到的最大功率点当作临界点。由于不能计算到临界点，计算结果是相当不可靠的，不同潮流程序的计算结果是不同的，事实上很难用于实际情况。为了可靠、快速地计算出临界点，人们研究了不少方法，其中之一便是连续潮流法。 　　连续潮流法在PV曲线的每一点均反复迭代，计算出准确的潮流，所以能得到准确的PV曲线等信息，并能考虑一定的非线性控制及约束条件，具有较强的鲁棒性［2］。 　　连续潮流基本方程可简要描述如下： 　　　　　　　　　　f(x)+λb=0　　　　　(1) 其中　λ为实数参数变量，表示系统的负荷水平；x为n维状态向量；f为n维函数向量；b为n维常数向量，表示负荷增长方向。 　　现有的连续潮流法均在式(1)的连续潮流基本方程基础上增加一个方程，同时将λ当作变量，从而使雅可比矩阵的右下方加上一行一列，扩展后的雅可比矩阵即使在临界点处仍然是良态的，但其左上角部分却是奇异的。为保持稀疏性，雅可比矩阵三角分解时不选主元，因此不能计算到临界点。在临界点附近，扩展雅可比矩阵的左上角部分病态，修正方程的计算精度无法得到有效保证，连续潮流计算的收敛性也就难以得到保证。 　　为克服该缺点，本文对局部参数连续法作了一定的改进，改进后的算法能够可靠地计算到临界点及PV曲线的下半分支，并保持较好的收敛性。 1　连续潮流法的基本原理及改进 1.1　克服潮流雅可比矩阵在临界点附近的病态 　　连续潮流法的关键在于选择合理的连续化参数以保证临界点及其附近的收敛性。目前，参数连续化方法主要有弧长连续法［2～4］ 、同伦连续法［5］和局部参数连续法［6］。 　　式(1)的连续潮流基本方程有n+1个变量，但只有n个方程，不能解出定值解，它实际上是n+1维空间上的一条曲线。为求得定值解（即该曲线上的一个确定点），必须增加一个方程。不同的连续化方法其差别主要表现在所增加的方程上。为说明方便，将所增加的方程统一用g(x,λ)=0表示。用牛顿拉夫逊法解扩展潮流方程，其修正方程如下： 　　连续潮流法的关键在于选择合理的连续化参数以保证临界点及其附近的收敛性。目前，参数连续化方法主要有弧长连续法［2～4］ 、同伦连续法［5］和局部参数连续法［6］。 　　式(1)的连续潮流基本方程有n+1个变量，但只有n个方程，不能解出定值解，它实际上是n+1维空间上的一条曲线。为求得定值解（即该曲线上的一个确定点），必须增加一个方程。不同的连续化方法其差别主要表现在所增加的方程上。为说明方便，将所增加的方程统一用g(x,λ)=0表示。用牛顿拉夫逊法解扩展潮流方程，其修正方程如下： 其中　，为常规潮流的雅可比矩阵；上标T表示转置。 　　若临界点为正常拐点，则扩展潮流方程的雅可比矩阵J′在临界点处非奇异［1,2,4～6］，但由于其左上角部分奇异，连续潮流法将无法计算到临界点。 　　本文对局部参数连续法作了一定的改进。图1直观地给出了局部参数连续法的基本概念。它首先根据初始点x0及预测点xp增加一个方程xk=xpk，其中k为向量xp-x0绝对值最大元素对应的下标［6］，对于电力系统的连续潮流计算，则可将k限定于电压所对应的元素。本文未将xk=xpk当作方程来考虑，而是将xk当作常量，并将方程fk(x)+λbk=0移至最后一行。相应地，用牛顿拉夫逊法迭代求解所对应的修正方程如下： 其中　；fx′为fx划去第k行第k列后的矩阵；fkx′为fk(x)对向量X′的梯度；b′为向量b划去第k个元素后的向量；x′为向量x划去第k个元素后的向量；f′(x)为向量函数f(x)划去第k个元素后的向量；fk(x)为向量函数f(x)的第k个元素。

图1　局部参数连续法说明图 Fig.1　Key diagram of locally parameterized continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： Fig.1　Key diagram of locally parameterized continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： 直接求解该方程，可得dx/dλ。切线法取预测方向。 　　线性预测法是根据当前点及上一点的信息来线性地预测下一点。设当前潮流解及上一潮流解分别为(x1,λ1)及(x0,λ0)，则线性预测法取预测方向为：。 　　线性预测法的预测速度是非常快的，不用形成并求解式(3)的矩阵方程。更重要的是，它也因此避开了式(3)雅可比矩阵临界点处奇异、临界点附近病态所可能导致的计算失败。 　　对于连续潮流计算，由常规潮流计算求出初始点时，由于只有当前点信息，只能用切线法预测。从第2点开始则一般采用线性预测法预测。 　　给出了预测方向之后，还需给出步长h，才能确定预测点。步长选择对连续潮流法的性能有着重要的影响。步长取得太小，每一次潮流计算都能快速收敛，但是要计算很多次才能计算到临界点附近，若要计算PV曲线的下半分支，则所需的次数更多。步长取得太大，预测点与所求点的距离可能较远，每一次潮流计算所需的迭代次数较多，结果反而可能花费更多的计算时间，甚至可能导致潮流计算不收敛。 　　一般而言，步长选择的基本原则是在曲线比较平坦的部分取较大值；在曲线比较弯曲的部分取较小值。本文取步长h=hmax/max yi，其中hmax为一给定的常数；i=1,2,…,n。显然，该方法满足上述基本原则。 2　数字仿真与算例分析 　　为了验证本文所提连续潮流改进算法的性能，通过数字仿真的手段将该方法与现有的连续潮流程序CPFLOW［3］进行比较。仿真中取容许误差为10-6，hmax=0.03。为说明方便，以下将本文所提改进算法称为改进连续潮流法。 　　对于IEEE—118测试系统，图2给出了连续潮流程序CPFLOW和改进连续潮流法的数字仿真结果。仿真中，节点118的负荷按原功率因数增长。

图2　由CPFLOW程序和改进连续潮流法计算得到的 IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数 增长时的PV曲线 Fig.2　Nose curves of IEEE-118 bus test system calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数 增长时的PV曲线 Fig.2　Nose curves of IEEE-118 bus test system calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。

图3　IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数增长时 连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.3　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when load on bus 118 increases with original power factor 　　以上算例为单节点负荷增长情况。为了说明多节点负荷同时增长时的情况，对IEEE—118系统各负荷按原比例及原功率因数增长时的PV曲线进行数字仿真。图4给出了仿真结果，图5则给出了对应的连续潮流计算各步的迭代次数及λ值。 Fig.3　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when load on bus 118 increases with original power factor 　　以上算例为单节点负荷增长情况。为了说明多节点负荷同时增长时的情况，对IEEE—118系统各负荷按原比例及原功率因数增长时的PV曲线进行数字仿真。图4给出了仿真结果，图5则给出了对应的连续潮流计算各步的迭代次数及λ值。

图4　IEEE-118系统负荷按原比例 及原功率因数增长时的PV曲线 Fig.4　Nose curves of IEEE-118 bus test system when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 及原功率因数增长时的PV曲线 Fig.4　Nose curves of IEEE-118 bus test system when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。

3　结论 　　本文提出的改进连续潮流法有效地克服了常规潮流雅可比矩阵在临界点处奇异、在临界点附近病态给连续潮流计算所带来的一系列困难。即使在电压崩溃临界点及附近同样能够保持较好的收敛性，有效地改善了连续潮流法的性能。改进后的连续潮流法能够可靠地计算到电压崩溃临界点及PV曲线的下半分支，并保持较好的收敛性，是对现有连续潮流法的一次发展和完善。 作者简介：郭瑞鹏，男，1972年生，博士研究生，研究方向为电力系统电压稳定分析及控制。 　　　　　韩祯祥，男，1930年生，教授，博士生导师，研究方向为电力系统电压稳定分析、人工智能及其在电力系统中的应用等。 作者单位：浙江大学电机系　310027　杭州 参考文献 1　段献忠.电压稳定问题的机理和建模及实用算法研究：〔博士学位论文〕.武汉：华中理工大学，1992 2　曾　江.电力系统电压稳定的稳态方法研究：〔硕士学位论文〕.杭州：浙江大学，1996 3　Chiang H D, Flueck A J, Shah K S, et al. CPFLOW: A Practical Tool for Tracing Power System Steady State Stationary Behavior Due to Load and Generation Variations. IEEE Trans on PWRS, 1995, 10(2): 623～634 4　Jumeau R J, Chiang H D. Parameterizations of the Load Flow Equations for Eliminating Ill-Conditioning Load Flow Solutions. IEEE Trans on PWRS, 1993, 8(3):1004～1012 5　Iba K, Sazaki H, Egawa M, et al. Calculation of Critical Loading Condition with Nose Curve Using Homotopy Continuation Method. IEEE Trans on PWRS, 1991, 6(2):584～593 6　Ajjarapu V, Christy C. The Continuation Power Flow: A Tool for Steady State Voltage Stability Analysis. IEEE Trans on PWRS, 1992, 7(1):416～423

图1　局部参数连续法说明图 Fig.1　Key diagram of locally parameterized continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： Fig.1　Key diagram of locally parameterized continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： continuation method 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： 可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。 　　对于局部参数连续法，式(2)中gTx=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。现假设J″在临界点处奇异，则在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,wn］T≠0，使得J″w=0。构造向量构造向量w′=［w1,w2,…,wk-1,0,wk,…,wn］T，则有J′w′=0。由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。这与正常拐点处奇异。这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标在临界点处非奇异。 　　对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，xk对应于电压下降最快节点的电压，这表明fx′是将系统最薄弱节点当作是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着fx′非奇异。因此即使在临界点处，非奇异。因此即使在临界点处，fx′及及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界点。 1.2　预测机制及步长选择 　　连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。 　　切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。式(1)对λ进行求导得： 直接求解该方程，可得dx/dλ。切线法取预测方向。 　　线性预测法是根据当前点及上一点的信息来线性地预测下一点。设当前潮流解及上一潮流解分别为(x1,λ1)及(x0,λ0)，则线性预测法取预测方向为：。 　　线性预测法的预测速度是非常快的，不用形成并求解式(3)的矩阵方程。更重要的是，它也因此避开了式(3)雅可比矩阵临界点处奇异、临界点附近病态所可能导致的计算失败。 　　对于连续潮流计算，由常规潮流计算求出初始点时，由于只有当前点信息，只能用切线法预测。从第2点开始则一般采用线性预测法预测。 　　给出了预测方向之后，还需给出步长h，才能确定预测点。步长选择对连续潮流法的性能有着重要的影响。步长取得太小，每一次潮流计算都能快速收敛，但是要计算很多次才能计算到临界点附近，若要计算PV曲线的下半分支，则所需的次数更多。步长取得太大，预测点与所求点的距离可能较远，每一次潮流计算所需的迭代次数较多，结果反而可能花费更多的计算时间，甚至可能导致潮流计算不收敛。 　　一般而言，步长选择的基本原则是在曲线比较平坦的部分取较大值；在曲线比较弯曲的部分取较小值。本文取步长h=hmax/max yi，其中hmax为一给定的常数；i=1,2,…,n。显然，该方法满足上述基本原则。 2　数字仿真与算例分析 　　为了验证本文所提连续潮流改进算法的性能，通过数字仿真的手段将该方法与现有的连续潮流程序CPFLOW［3］进行比较。仿真中取容许误差为10-6，hmax=0.03。为说明方便，以下将本文所提改进算法称为改进连续潮流法。 　　对于IEEE—118测试系统，图2给出了连续潮流程序CPFLOW和改进连续潮流法的数字仿真结果。仿真中，节点118的负荷按原功率因数增长。

图2　由CPFLOW程序和改进连续潮流法计算得到的 IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数 增长时的PV曲线 Fig.2　Nose curves of IEEE-118 bus test system calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数 增长时的PV曲线 Fig.2　Nose curves of IEEE-118 bus test system calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 calculated by CPFLOW program and improved continuation power flow method when load on bus 118 increases with original power factor 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。 　　由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。 　　图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。

图3　IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数增长时 连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.3　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when load on bus 118 increases with original power factor 　　以上算例为单节点负荷增长情况。为了说明多节点负荷同时增长时的情况，对IEEE—118系统各负荷按原比例及原功率因数增长时的PV曲线进行数字仿真。图4给出了仿真结果，图5则给出了对应的连续潮流计算各步的迭代次数及λ值。 Fig.3　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when load on bus 118 increases with original power factor 　　以上算例为单节点负荷增长情况。为了说明多节点负荷同时增长时的情况，对IEEE—118系统各负荷按原比例及原功率因数增长时的PV曲线进行数字仿真。图4给出了仿真结果，图5则给出了对应的连续潮流计算各步的迭代次数及λ值。

图4　IEEE-118系统负荷按原比例 及原功率因数增长时的PV曲线 Fig.4　Nose curves of IEEE-118 bus test system when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 及原功率因数增长时的PV曲线 Fig.4　Nose curves of IEEE-118 bus test system when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 when system loads increase with original proportion and power factor 图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数 增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值 Fig.5　Iterations and λ value at each point on nose curve of IEEE-118 bus test system when loads increase with original proportion and power factor 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。 　　由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。

3　结论 　　本文提出的改进连续潮流法有效地克服了常规潮流雅可比矩阵在临界点处奇异、在临界点附近病态给连续潮流计算所带来的一系列困难。即使在电压崩溃临界点及附近同样能够保持较好的收敛性，有效地改善了连续潮流法的性能。改进后的连续潮流法能够可靠地计算到电压崩溃临界点及PV曲线的下半分支，并保持较好的收敛性，是对现有连续潮流法的一次发展和完善。 作者简介：郭瑞鹏，男，1972年生，博士研究生，研究方向为电力系统电压稳定分析及控制。 　　　　　韩祯祥，男，1930年生，教授，博士生导师，研究方向为电力系统电压稳定分析、人工智能及其在电力系统中的应用等。 作者单位：浙江大学电机系　310027　杭州 参考文献 1　段献忠.电压稳定问题的机理和建模及实用算法研究：〔博士学位论文〕.武汉：华中理工大学，1992 2　曾　江.电力系统电压稳定的稳态方法研究：〔硕士学位论文〕.杭州：浙江大学，1996 3　Chiang H D, Flueck A J, Shah K S, et al. CPFLOW: A Practical Tool for Tracing Power System Steady State Stationary Behavior Due to Load and Generation Variations. IEEE Trans on PWRS, 1995, 10(2): 623～634 4　Jumeau R J, Chiang H D. Parameterizations of the Load Flow Equations for Eliminating Ill-Conditioning Load Flow Solutions. IEEE Trans on PWRS, 1993, 8(3):1004～1012 5　Iba K, Sazaki H, Egawa M, et al. Calculation of Critical Loading Condition with Nose Curve Using Homotopy Continuation Method. IEEE Trans on PWRS, 1991, 6(2):584～593 6　Ajjarapu V, Christy C. The Continuation Power Flow: A Tool for Steady State Voltage Stability Analysis. IEEE Trans on PWRS, 1992, 7(1):416～423

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