哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
( Z; q' W! L8 B' V  h- ]1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
& D2 h, S6 q9 y它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
7 v. M, G- s5 S* P7 _将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
; u+ \  T: @* {- K- g9 x% B则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
* A' `' W# b+ W+ y- S将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
6 _- [0 X, Z, o, J: g' u即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
5 V* `: ^6 C- m# V1 S同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
/ C# k) O/ e7 V1 H0 V$ K- A# N6 _由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
. d' z8 \9 T' `! y（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
9 f' f  D  ^$ O. _ 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
' H! F0 a! l, ?; ]设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
  h" V. Q8 T8 }/ u* \8 {/ h用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
6 t! m7 j2 N) ^; wPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
7 ]' `6 {' b% V  G2 m其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
- o  s$ w9 ?) ~  o& f" Z例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
  N! r- q- \8 N6 a- P2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
% w+ G: q3 F8 p5 Y% X& R2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
4 h/ h4 R- z" C直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
9 n  n) r8 v9 Y0 K5 L, D0 x) I即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
& n  o5 h( ?' k' a1 G! P3 H4 P代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
5 D% Y. Z2 D* f' V从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
  i: L7 I  @( s2 P0 G$ b9 ~# e由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
, I8 D, E" O, i+ H9 _4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
7 W5 A% p1 C8 P) m二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
: j8 R9 S: o9 Y. F- K, M1 Q若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

  r- C& ^, r% n+ H得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
  Y$ ]0 l1 h, o  ^若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
: o$ N/ ~. z* @6 E" O: a在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
+ ^" W( Y  E4 ?; D（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
4 K$ J8 B# V1 h. S' R8 J+ |( q3 n2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
, `# g9 B! f6 j# I' k% {, L: p# @即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
3 W: [2 u/ n: f7 f+ w8 t- C设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
: O9 u1 Q# j9 O/ B# A3 X' s2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
) @8 v0 O) g3 A% |+ P2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
) P1 ~9 m1 @$ G1 m' P, K6 ~2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
+ r! T# x7 ?) F, d. L# uPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
) e; H/ Z+ I9 r+ g8 p) X& b) l则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
5 [5 A3 `- `, s4 W2 c) b(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
! n3 T2 `  H) x3 tM=11111111111111111+3=11111111111111114
% G$ ^! t: O( S2 {根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
# K0 D0 i( t! n6 {已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
$ R3 L3 R- Z/ ?" l  sPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
; j) Z3 m- L2 z4 R) {9 }4 QPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

+ U8 V. C7 K1 ]# r; g       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
( f  W& d/ h6 Q8 i) x设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
, B9 y/ f9 n& ]- L) x若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
( u( D$ b& p) C: {- ~( n9 u若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
5 c8 g& v4 S4 O1 R' m, U, q代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
1 ~: q% E1 @6 W0 a4 `3 I（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
+ Y2 {3 O5 l7 @或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
4 U) X# f. ?# j或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
! U/ y; k0 ~0 Z7 I/ d6 k8 m在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
! N% H. O4 L. S代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
- |7 X1 E: z  Y设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
9 y! \( j0 B! Z4 j5 ]5 d同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
. C" m" O9 P9 p4 a4 J2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
' s+ O. E: l5 o2 p将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
' x$ D; Q/ g2 ^/ c2 n0 J$ V5 R7 |. y$ ] 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
- N: I  p# C- Y3 a$ U3 [+ n+ t( X% ~（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
/ f1 P# L( H( c又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
/ X9 J3 k5 J$ WPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
0 m/ }2 I1 [/ B% ^由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
1 A' y8 ?3 r$ m! g" I" Y得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
1 H, U) d1 \% v% Y3 f# @2 B% G     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
' C1 J6 a2 }' r3 R! W    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
9 Y& \% r( e: _/ H* L6 \    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
# p& E& s" ^6 u0 r! ~, ZPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
& b9 e" I+ Y+ E2 j% g: G（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
8 v$ w4 l8 |0 k  D+ u即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
' i* N! H. g# O. U) v' L1 s存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
. Z7 X$ y, C2 ^/ c+ K0 S' h5 R由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
3 H' G  w. `: v! e第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
: G( {' T! F) L. U$ r' {$ M4 _                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
- m! l% q9 z; N2 \                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
4 j3 r3 o  Y+ z2 f                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
* \- _% D& r7 ]3 ?% V7 v即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
+ _9 A& }* y; E5 k. LPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
* m6 `* P2 X6 l      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
6 ?( v+ |  r, f& g+ ^! \; y: Y. ]            =4+3+28+3=7+31
/ h# i* @. b3 N6 s' o2 m            =4+3+44+3=7+47
, P0 j2 o4 L  T( m( G" V2 g            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
  _7 W1 p% j- e( l$ `% U7 ?9 {: J0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
7 `, v! r" s" A6 ~它们的偶数公由数分别为24，31对。
; ~# X5 {4 w9 i9 d8 ^) G/ X. l2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
% ?/ }  G) w1 z2 U, D                                           =28+3+64+3=31+67
) _2 C1 b1 p- u; E! u- _3 s7 s                                           = 34+3+58+3=37+61
0 n, O: X9 r% A2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
, ^* D3 Z1 k& G                                   =28+3+94+3=31+97
( n# Z6 i8 f, t8 l% ?                                   =58+3+64+3=61+67
: z2 q$ b0 b0 z综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
! n! L+ x4 P+ h: D! P2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
) Y% k( H5 [, g% y                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
: n) X% C' }$ @  l1 Z! v! Q                                                   =3,4,5……
, R& F6 i" H3 j即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
9 J6 s" T# _; [0 G2，质数表示式的证明
  b5 `, N8 b+ Y2 q; {/ y2 V(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
: X! J$ Z7 `* M+ i2 m0 C) Z+ G* f设N=2    2n’=2n  代入上式
; P4 I* ~* ?( T  W* u, L2 f得Pn=2n’+3  
$ p; V' T6 Y# {9 t' x      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
/ X) B" a' |6 M2 T又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
1 f! J1 r& J$ H* t) s+ ?2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
' ]/ v3 o5 W& ^( V1 {4 N" ]& v8 QPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
# X# Q* p, W  u4 Z  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
5 t) ?0 q4 V1 F$ A* t  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
; K' H  @2 J8 D) c, m/ h% T9 F  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
& C" ^- Q3 L; S6 _3 A/ @" a2n=4n’+2n’’’ ……（3）
6 ~8 {  G  o# O8 f①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
# `. ~& X  I% I2 f2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
7 w: b1 K/ E5 v/ A- T( y②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
. ^6 m$ j. _  W6 M5 @+ R即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
& T; Q7 Z/ o% G" q8 b' E已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
" S. j# a8 m+ E$ Z) F( A* @又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
+ F' J$ G; y. YPn=2n’+3
/ f" ^) O4 S$ \$ C# E  Y1 T: uPn’=2n’+3+2n’’’
2 N2 W) t0 B: P3 G+ E) _ 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
7 A/ l) u2 G% |% ]% J. b5 s4 L4 d  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
) Z* J4 i3 ^# C+ x, {0 g0 R, y3 用数字来检验质数表示式的成立
& m# E. P- K# [8 p已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
" a, Q( b* w3 K+ {: P$ ]- ?# m      10       4        6         2        8       5        11          16
7 ~0 I5 b; a: j  c0 b      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
8 p, h) }" s8 i& Y8 J0 l0 p      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
, f7 T& F0 S4 v2 a     92        32      60        16      76        19        79         98
) q8 z2 U' Z: z3 \     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
/ r  |8 M0 }4 l' p     122       32      90        16      106       19        109        128
- @8 n, o* _2 r+ R% ~     122       56      66        28      94        31        97         128        
2 e; t4 t" O5 q: s     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
# q" m) s, h" y! ~(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
! M4 c" @1 ^$ b8 F(3)，它们的分布是不规则的
" m* @  l5 j( @7 ?: [由上述三个特征得到三个定理（见注2）
& C+ b4 z" }$ ]* u# O即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
# y$ |( z9 _! `' D8 h! M( V③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
/ D  Z0 j" R7 V! l" U% R5 ` ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
* b: t! p3 r: E7 m3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
+ @. d# N% i8 z/ k7 ^# u# u2 \! e/ W注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
+ x6 p3 x* l& D" u( W( S公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
& Q) |! d! f' E如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
1 {9 D; c$ P& l* I这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
* [7 r3 }9 v" J又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
% {2 z# f- h, F０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
: K6 h  C8 v# y' R% l4 S 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
9 l& t' \7 L6 k8 L( `6 ^2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
9 D# |3 }/ ~9 |9 a* x% z+ N7 P注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
3 w3 ~, Q( j2 ?& R' F已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
( D+ i7 ]! Y3 s) n7 UPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
$ s, F  T3 T2 Q4 v  Z即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
+ P& s1 Q3 V2 i3 Y- G) V由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
4 _2 |; e/ G# T得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
3 e2 r3 X- D, {( [% r例
  y8 |! Q, [) _) h" wpn        3        3        5        5        59        61

3 I: J( O' s8 J. {7 hPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
- c$ n. P+ d1 H, Yn’         0        1        0        1        4        3
- O2 K9 m; B0 `% ?0 O5 WM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
4 ]" Z/ e! W0 h: Z; s由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
! d( G# z9 S2 S. u2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
4 d; W1 Z* Z4 _9 {" ^2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
& T2 m$ Z/ D9 M  d4 E- PPn’        3        5        5        7        67        67
+ Y) S% O+ f4 N$ \9 r3 a4 x
: {2 T/ q/ @- X5 u, U注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
( v: R( Y3 P6 E0 b5 M( i                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
0 R' g) a- w8 _59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
' y7 ^. ?  E/ q4 a( t  s…………………………
4 b. L2 t# h: u9 v, r# H3 R在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
* v2 M  e0 J0 {4 _5 p9 u3 u7 e当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
$ g, s4 Q8 K& T6 p* t( |3 n9 E. O若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
& Y5 ^8 p- ~4 r- p4 A8 F =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
        2011-8-6
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