哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
" U5 Q& J2 ]2 _8 \) I1、质数表示式的由来
% K8 t6 [) y. @( F已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
$ A$ [$ \  T# H将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
5 c0 n: A( ~2 {1 q+ B8 o( l以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
6 ]4 c5 A3 }& {7 l1 B1 m! X2 w* P将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
; L, ~( W3 T0 d1 C2 ]由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
3 G+ Z2 D" {' }1 d' M即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
. m/ S$ t" q, u/ ]由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
! N" T7 P9 R0 H# v( Y  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
2 @) @, l. H3 ~3 X( c9 F" Q均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
& y& _* m! F& g7 |即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
/ Z& p$ H0 J. q$ L9 v用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
  ^% G6 `- U& l+ QPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
% m0 M3 z/ n$ z' U; [3 _% s3 \& G其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
" r3 L, O* P) y$ ^1 u这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
0 _% z* T! x) H! r' k例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
; t( ]' t1 n0 I9 H" o* k2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
+ I/ Y" I9 P! b& L) Q: h5 u即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
  |  V# y' c. ^& \在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
* t$ f. I8 f  ]即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
2 k7 j% j' P0 ]9 ^或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
3 ~- p5 L2 ^8 t/ N% z从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
, P  g5 h# R8 W, S由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
3 g! P/ O/ Z/ A, T) N7 I, X" j' N' l（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
5 I% k8 `: _8 L* Q; L1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
4 U. a2 ?; s5 F  d若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

2 Y: X4 G+ h, i. e得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
' g7 `- v; Y! E; A0 U同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
- u4 w) `* C: S' J0 ~在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
! G) E( y. ^9 C5 ?（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
4 A9 a% h2 v- P  G; A) _2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
* F# g$ V$ @4 G6 M! j1 R设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
. d) Y4 \1 S8 H即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
4 l8 A, Y7 Y% ]# D例  
4 c" L$ {- g4 s1 a) ^% Pn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
+ L' H# n/ @4 T. g2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
! }1 e; r; M5 u% Q5 T/ r  x$ f2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
( M3 _3 x9 U* P8 Z: n1 T% W/ E7 |又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
$ t1 I5 _0 w6 _+ [因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
8 R  x. z# O- x9 x, C1 K+ s! T则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
3 K" N% r  m9 f7 L根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
% X# b' _, @, x! U. ]! Y然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
2 T9 U6 q! ]% }( f) e7 }已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
2 m/ X, _) ?$ OPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

" L  h$ j( m: [. F  ^3 e8 Y0 J       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
) L- ]+ y3 b( L4 @三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
7 j7 ]8 E+ Q) b+ o: m" c设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
/ J# V* y% U) k+ o/ q3 ?) W代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
% r) O% P% l0 g6 h0 ]+ m! A+ `（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
7 m  N2 Q( n0 j6 `2 t或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
- t5 k9 g3 x) L- a代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
, s% k( v) |: |: n  ~, s或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
! s" ]' f6 Z! V" I+ ^  X. H7 }  O/ P当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
; d" M) e$ H# y9 p+ \设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
# E+ ]2 u& o6 ~. ^代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
+ `, ?( X: s1 F2 N! W( ?' J即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
8 ?2 i4 I) F, T% b在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
$ V# t% H/ o  l. Q设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
' z1 Q% m0 y) ~; o若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
6 g  l1 G) h2 w, N同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
9 b* ^$ D) X3 L( R# Fn为偶数2n=0,4,8,12……
. R+ E7 V" S3 ]& J( w$ P5 b2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2 z9 ?% I3 t3 p* m2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
, ^, M' D7 k+ b! `2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
1 H; i' f* f# t# p9 z3 |2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
  c% g1 j" A' H6 B' I, t将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
6 r3 |: V# x: @* U  G8 rPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
7 z7 m6 y* k  G 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
0 y, v0 b7 w; q7 E9 t$ `又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
) j8 M+ B4 P+ u- @或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
# X) H: A( k: @. `（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
7 ^- `1 x- w/ c                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
+ _( Z4 E6 H: C- v/ M得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
* c1 ^( I; x9 r3 \     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
7 A3 h7 M% n  \1 y    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
+ H( d2 q' G6 |$ h' i, B+ HPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
5 R( n" v  m8 B      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
: {4 {0 K3 Y- P7 O, x7 t9 Z2 S（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
2 N8 M$ f2 O# J8 Z 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
% k9 \& a& W" {) L! q: Q% \: g* y即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
, O! K' u8 J4 X. E: s! T1 K" p存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
$ {  R, J8 J3 W在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
% W! V2 w4 Q( c3 t: D                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
& a* S7 n2 J" \, S# M                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
  C: [1 j/ z6 C. V1 b这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
2 [* Q8 r7 X0 w" l* e" t. }& p' YPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
; o# P( T; r2 u      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
+ _/ [( E  c0 V2 }      =2+3+20+3=5+23
9 c: ^/ h3 l! x0 ~; B第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
) _. C/ N: `1 [2 x& f: }6 x            =4+3+28+3=7+31
0 J4 T* T% z. c2 [+ S            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
9 c' u; L5 j8 n: ?* @1 W0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
" d: q; D/ w/ n& r& d# i% A0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
+ ]! p) o  p# V  s# W* D3 T+ a                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
( S2 ?- p; D" R4 \) A0 y3 `5 N9 p                                   =28+3+94+3=31+97
: @2 u$ Y0 Y: M" {                                   =58+3+64+3=61+67
& i+ x4 {9 `8 ?3 K6 _  i. _. S综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
' o2 j" x7 M2 q- @                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
2 l! |% w2 A/ D6 |                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
0 F9 _, r9 z% l: r. S2，质数表示式的证明
/ a6 o; M4 [: [  Y; t2 F7 K(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
6 q9 x0 q  j8 a. ~7 ^' P) s* R+ E3 {      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
/ ^* u% _# z1 N& `5 R5 }9 w2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
  U, T- Q; q  s2 x& xPn=2n’+3   ……（1）
7 q) k1 s# `7 C5 d, d: [7 z" UPn’=2n-2n’+3……（2）
- {/ o  Q- ]4 ]0 [2n=4n’+2n’’’ ……（3）
* Q" u& t/ B$ n# m) O$ T" i上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
4 P5 X$ }0 O8 n) E- @2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
2 c0 V+ N+ Z' T7 ~2 ]% }8 t& M  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
% S% ]% O" G; M) u  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
3 D# _/ E- x: X) T5 r; i  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
& A9 r  H1 M7 d2 u' [( m4 z4 D( Z7 {  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
4 y6 @) W0 |' f, H: w1 X1 jPn’=2n-2n’+3……（2）
: R9 f0 c3 `0 @2 p1 f7 K  e7 f4 G2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
' @, ?+ c6 ~: N0 b7 K②解方程的步骤
' f/ m) U; L3 T设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
: W& d' ^7 ~8 ?, G5 ], p9 ~$ c: k即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
& |- x9 K0 E) e4 @又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
& `( m. P* }$ y: _* \! _% S   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
5 q+ F- U7 X- e. M! h) jPn=2n’+3
9 z0 G" i' L6 ~$ o) L8 _' HPn’=2n’+3+2n’’’
) X8 R- X4 r( Z 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
% s) m; L' O9 P5 z( \9 b即Pn=2n’+3成立
! T( Q) S; l% T0 _Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
: h8 Y) s. M- W则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
1 o# l+ I5 [( }   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
2 g+ \; Y& ^  t7 }- R% C     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
7 C# f/ ~# Z; u3 Y' d3 U' z      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
  y0 O- q$ d4 A$ a, _6 y      10       4        6         2        8       5        11          16
1 b. ~) s  K$ `      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
: W3 s/ K& U; c# |! z, M      16       16       0         8        8       11       11          22
" p8 L7 z8 _. x$ r8 S     18        16      2         8       10        11        13         20
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
, [# c- h  |& c7 n     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
8 d3 O6 W- K/ @8 c: X' _2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
( c' Y. u6 u. o2 }/ ]" ]六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
' u0 F  Z5 `# H9 b, K1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
: z+ d% q! ^- E8 ~' z(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
3 @/ v* c# L9 C2 m; P(3)，它们的分布是不规则的
+ d2 n2 e1 t! }1 C# \5 a$ _由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
; {8 |; I. Q3 p! i2 H2 H ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
" V- ^( p7 S# f$ ^0 O ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
5 ^* I( F3 r/ l" l9 k6 ^$ O③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
$ ~" G8 ?+ a: f7 C: w6 n2 G! i ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
4 `! A+ V; |) \" {" Z* _ ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
. V( w* ^0 w4 _1 w3 q3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
5 \' h; v+ {6 [  d! x鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
5 H$ \8 h. ]& `. n& E7 l3 r注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
! i8 }7 B. v( I! l公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
9 B( ^1 r9 F! {& i$ R. h这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
4 L! Q. x( r+ R% A0 p: G7 _8 V０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
1 J" v# ^- G+ ~' D2 D" m3 r4 ]6 W. t- I# \因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
3 N7 Q3 ]. F, ^. d" f, W, d( r 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
* }" H( Z1 o1 R# r/ b/ y注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
& H# v9 [( K# |% e下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
% a2 J$ X: |/ S: o5 {& D- z& KPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
! g/ l! N- a1 h) ~5 p+ c: ^即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
# O0 z9 ~6 I* D& q, [/ z" `由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
3 s6 A% s! B! ]1 S# ^2 jM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
9 ~: ^6 ]2 g- Z8 M由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
  v9 v' M( p5 G1 @6 a' j则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
8 z9 e) e2 B# \& }3 c. S2 o例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
) {* W1 [, t7 H5 ~$ M2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
: D6 k8 J  Q7 P  {% X  bM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
" C4 m+ S7 @. `
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
0 Y5 ]2 V6 c$ y                                          3+3=1+2+1+2=4+2
4 T5 [: s3 }5 G8 q' M- D9 p" ?/ P; D. v# B0 t                                          3+5=1+2+3+2=4+4
+ c: w% t/ p* L  g& j3 u9 V) e2 U                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
  C6 e* j4 i( E$ y0 {7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
0 F6 H8 E: s; M) N…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
7 s2 ?) D1 h% [3 ]2 y* v+ o当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
' k/ d$ J+ L4 O! f: b  Z+ D若n为奇数时  2n’=2n’’=n
2 {$ d( K. c% _+ H, n. R若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
3 H, R; x( v  _  K% M笔者   蔡正祥
        2011-8-6
* q; x8 u8 n, Y# v通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

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