哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
6 m& E# l3 e. p已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
3 V/ r( |& X1 N- o) J% }将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
4 n# }4 g- G9 V' D* ^! e! V2 W9 B已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
! C# @: u. U0 a6 L9 I- q8 a5 W以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
1 D6 S1 n& y, J  x2 c( J' `则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
9 P4 |8 B2 h! E9 |* {7 Z, ?9 }8 M9 E即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
- A6 R: A8 `+ o2 E# S（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
  E9 h0 @: O. v9 L1 n" t! L7 Q 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
; N8 _1 R8 e5 a/ x/ J  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
7 p5 s1 z1 _& _7 l0 \由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
$ a5 [" a5 [; |均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
9 D* G" l  K! P$ ~+ V/ M2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
1 |/ h" Z+ B) H7 ]6 z# I% Y即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
/ Q- V3 [( S; m+ aPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
( k! b, m1 i- A/ {, v; a; o  p7 I                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
4 U% b' z  {" J7 Y' G例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 l4 ]. a8 Y& }! f$ l1 p- F2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
; v2 J& r1 V. s- u0 f' b直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
) ^) [% n( z; h: ^% n* |即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
% q' v. k* [+ F% C: h6 p! O在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
" ~, {: J) R" t8 I* I! _6 D+ R7 L代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
, B4 a$ L8 ]# {" a/ m. H3 N在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
( a3 }. j3 E! L2 W代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
. u4 J' B6 }( w5 e或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
! S8 V' u; d* f由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
7 `1 t* Y% v8 s: ?- s由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
8 _' ~) d2 r. E. l（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
6 f, h$ i6 i6 H( c0 M若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

- S0 S" c2 h: O# j; `8 J* r得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
8 h# \: a  d! s- x2 r/ C即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
1 H2 P$ l6 h! X+ ~: ?. M: k例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
$ k& p' A4 H& G3 p2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
1 y. [5 H' ?0 b9 Z2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
) ^& |! X2 E! w. P2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
( Y; O8 u3 }# R0 qM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
& o4 F2 h3 E$ n2 e) v' PPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
6 A) J& X4 Q7 @( g+ X* p: x3 ~! P
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
2 F  g9 Y4 Q: z6 b7 {- G又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
5 ]5 I( `4 p( }" n(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
! W: Q( w. t) h# \0 a* j. n$ RM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
3 F6 |2 ]4 b+ ~' p2 F6 d* ^然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
: q  Z$ D2 ~7 z5 y' ?4 i0 Y4 nPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
, X# K, a5 ?- n1 O3 r0 mPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
) w" X6 M0 }6 A
* Q' ]8 o- E* Y       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
  v8 H. ^5 t2 L0 u& {三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
0 a$ i: _* E) t8 s7 T设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
9 W9 P! m' @, D% a8 X  g若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
' _* y2 k4 ?2 F- q% ?: c3 E若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
; Y, X  g0 }+ |2 z/ e# v( X" ]代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
9 _& D( N$ t4 z5 O! C（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
5 z# ^- k* J# [. o" e或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
& `4 y% E6 \; y4 V! Q8 B2 ]/ P代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
$ g+ s8 x1 s8 H6 O' v$ s; Y设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
' C' x2 _/ y' j( L代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
, c" S% k2 ]6 N或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
( F( ?4 F0 E* l* d; G7 I即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
3 c- v2 Z  |9 f1 k0 n同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
" F! k. h0 x& s, `9 }# T. D) bn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
7 p( J  q  y- q' m5 ^2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
3 l6 W  m  N) F+ s5 f; M) q2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
( ~  p& M0 P9 N, N7 d% `8 L$ y$ GPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
8 u0 ]  p1 f4 B  K' h  E设  Pn=2  或        Pn=3
  Z/ g" A3 Y9 G+ J5 n8 `. _ 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
9 H- v# H  Y; W8 Q: m2 Z四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
" Z$ \0 i" ]9 Z# h  X. a& E6 t$ d) C由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
2 O" q/ r# [+ D" @. u' d* @6 e0 k得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
) q$ [9 e( d, I* l/ w" n' C& }     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
3 ^& R0 ]) S8 z# R- p     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
5 n1 R. o& k2 H; H     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
  j- T8 l# X( y8 N" B! O2 t     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
" Z  {1 r9 d8 t8 N7 L! _    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
3 w! G; u9 k9 Y0 |    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
/ z6 d) h/ e6 G4 n    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
# Z, d$ P& P% ]8 m2 F  jPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
; _) Z5 p  S# S+ @: v0 L      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
3 T. _' b7 `6 v0 r存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
& }, A9 t  }/ T. S五、质数表示式的证明
/ f1 S$ T' N( v' V- p1 x( Y) i1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
% s% }0 Y) f# g9 d$ ~4 w在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
+ S! v" K3 B  [5 x$ h& y                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
$ i2 k: ]% x  C, i! L5 I                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
* z2 V6 b4 n0 i- A2 NPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
3 i* Z' {; D# U0 H4 j4 i      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
: @! b) b& y1 M  c; i5 m8 ?            =4+3+44+3=7+47
7 f  {) Y0 Y9 u: ~# Z# _            =4+3+50+3=7+53
7 ?$ z% q* q, Y; F+ ]( Z7 k& s# ?又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
' e( G. f' J5 V  M! k% r它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
0 t  B, i! A! e+ h; S2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
  ^2 e( ]0 p1 C                                   =28+3+94+3=31+97
( u  Y" R* x7 m& ~" l2 g/ e                                   =58+3+64+3=61+67
! k" v) ~, q% f6 z综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
9 `2 c" T* e3 G( c! [2 k2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
- t% I0 v3 E4 A! t                                                   =n+3
                                                   =3,4,5……
) R1 ^9 {' J* z4 l, z& \# w3 Q1 }即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
+ [" {0 O' r; b& e% Y1 T得Pn=2n’+3  
! r* M7 H3 [4 H" n) r5 N, s      Pn’=2n+6-(2n’+3)
) w: g5 {  X. C* V      Pn’=2n-2n’+3
, k) i" h2 G7 T又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
$ B0 G4 g; g3 T- [2 F/ Q2n=4n’+2n’’’ ……（3）
, \2 U& Z/ k1 f+ ~7 M8 S上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
7 g. ]8 ?- X+ c( Q2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
+ U, X+ p7 m# H  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
& Q$ |( ~5 K/ t# S# `* B9 C  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
9 M; m/ S0 M& N* B. t9 g% E  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  Z3 O5 D  ]2 g* ~  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
& d( t8 `( i! r8 Q2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
( L4 \0 i/ P, l7 U②解方程的步骤
5 k7 N- j! V8 f设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
* X+ [: ?8 P) \( I4 x③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
' ~7 c8 y% c, A7 \  a/ }已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
" b( P, o  S- ?. N9 r% P( F2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
! V1 B5 K6 d8 ?* k4 ]( ^; Q6 d' W得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
( F4 s* T2 G: C, u1 @ 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
& {1 ~3 Z  z- K6 w' o  z% F  =Pn+2n’’’
1 o5 \) f5 {3 A2 Y% J! `/ v" V! z  =Pn+0，2，4，6……
% l8 C; y5 G' X% n7 _) m& O已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
" G/ `% F. R# E4 M. Q: L5 ~3 用数字来检验质数表示式的成立
& B  q6 w5 |7 D- J. B. f5 j2 U# }5 a已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
/ P( m1 E+ O8 }& b+ A, x9 |   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
# {9 p! y# y1 J7 b! f0 U+ x4 Y      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
' i6 ^8 J" W4 ]& ~( ]      10       4        6         2        8       5        11          16
' c- k6 b; W5 V# f6 X. {1 _      12       8        4         4        8       7        11          18
  {/ h/ E% m! {      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
* J) ^$ ^- {% f' D9 Y5 N     18        16      2         8       10        11        13         20
* V9 _* ?  s& w4 Q; P3 f, F9 [     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
5 y! G/ v0 {2 F) k: h) g     92        56      36        28      64        31        67         98
" [7 t; T; A& D! E# L6 c! |+ C     92        68      24        34      58        37        61         98
* f6 f' w3 A) x7 H3 ~     122       32      90        16      106       19        109        128
$ l) w* `: f7 [; ~     122       56      66        28      94        31        97         128        
# i  M  J  U, I4 {& v" u     122       116      6        58      64        61        67         128
# i4 N# J! j' H  [" O' o6 m 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
- }2 ~4 ^! Z1 H4 t, h: _2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
) ?! Z2 o2 f8 [0 G/ A+ u  p  ?六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
1 x- G! s( x& w' \" ~(3)，它们的分布是不规则的
: v9 M" B: P3 j2 U* W, G* W, J由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
7 ^( ^& R! o, E8 b7 I4 ]- h ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
/ c" y( w  r$ n( h# e( j5 Z③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
# A. X; g5 T. [  Y! j ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
0 K, X) L; i) Q+ ~9 ?8 `" R鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
& i( p1 J/ }4 z. N注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
' Y1 j* U" ^0 E$ _1 P0 y公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
" N  a* ~" J$ m. L: k: k! Q又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
# G+ ]9 R2 A. L3 t& i( ]8 _０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
/ V. q) z, p& W( [( Q" @* b0 T' ]因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
  y: s9 M+ m6 Y" _ 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
) J7 D! ^$ Y6 e注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
/ _' e) D, v& ?" @. T0 J% j下面来证明定理一：
- ?7 B& Y1 \7 Q已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
/ B& e" y5 _- \# d1 w则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
' K8 s( b, u) k: ?/ B由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
8 K9 a4 I3 x' r0 N/ uM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
5 `- `# k& P3 Z5 T7 f由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
2 K+ U0 i, o- F* o# X- K: K$ @  i得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
2 E3 L- D+ B2 V例
pn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
1 i2 i4 D& Q" p0 x# N2n’        0        2        0        2        8        6
' B, h: [3 ?& Un’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
1 x% [: U: ~/ c  K即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
8 f- ^/ S+ ^) z, E; K2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
+ x7 A5 s3 O. @+ E1 ]2 r- i9 G2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
9 L2 Q" C2 T5 n' i) EPn’        3        5        5        7        67        67
4 C0 r4 L- t" H; t4 F+ z
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
! |8 L; ^1 \1 q% v  e* _若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
3 R/ R( z, S" F4 o  a- j( ]式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
8 }* J: U$ R2 _0 F* a/ f: G9 l9 |8 h                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
% }) p( V- H& z& L                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
5 _0 W' `% D+ K3 h2 w6 x7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
) |! t. P: G% y$ N: K61+67=59+2+65+2=4+124
. K3 U" {3 A1 K…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
+ _; S" \; ?. H0 A1 {1 u9 ^当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
# h9 c7 b6 Y2 |, D, [4 i- J' w若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
' {6 Q' J6 \4 z6 \# ]4 ]/ s- z2 @ =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
& V; w0 D+ E! Y+ B9 g: A9 }: M再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
- Y4 q, Y6 X* ]        2011-8-6
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籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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